Angles orientés et trigonométrie - Première S
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Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Angles orientés et trigonométrie Première S Eric Leduc Lycée Jacquard 2014/2015 Rappel du plan Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc 1 2 Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés 3 Cosinus et sinus Définitions Angles associés. Cosinus et sinus d’angles associés Équations du type cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a) Équation cos(x) = cos(a) Équation sin(x) = sin(a) Cercle trigonométrique Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Définition no 1 Un cercle trigonométrique C est un cercle de rayon 1 sur lequel on distingue deux sens de parcours : ⊳ le sens direct (sens contraire des aiguilles d’une montre) ⊳ le sens indirect (sens des aiguilles d’une montre) Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles 1 + b O − Remarque Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Remarque no 1 Le périmètre du cercle trigonométrique est 2π ⊳ Le périmètre du demi-cercle est π ⊳ Le périmètre du quart de cercle est π 2 Enroulement sur le cercle trigonométrique I Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles (C ) est le cercle trigonométrique de centre O de rayon 1 orienté positivement. Soit D la tangente à (C ) passant par le point I , muni du repère (O ; I ; J). La droite (D ) a pour origine I , à tout point N(x) de la droite (D ) on associe le point On enroule ainsi la M(x) où x est une mesure de l’angle IOM. droite (D ) autour du cercle (C ). Enroulement sur le cercle trigonométrique II D Angles orientés et trigonométrie +π + N(x) Eric Leduc + 2π + Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles 2 M(x) +1 + O + + I + −1 π +− 2 + −2 +−π Le radian Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Définition no 2 Soit N le point de (D ) d’abscisse 1 et M le point de (C ) associé au réel 1 par enroulement de (D ) autour de (C ). ainsi On définit 1 radian comme la mesure de l’angle IOM construit. 1 radian est noté 1 rad. Remarque no 2 correspond à la longueur de la mesure en radian de l’angle IOM ⌢ l’arc IM Conversions Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Propriété no 1 Le mesures en radians sont proportionnelles aux mesures en degrés. Tableau de conversion : Cercle trigonométrique Le radian. Mesure en degrés Mesure en radians Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles 180 d π α On a : Tableau de conversions : radians degrés 0 0 π 6 30 180α = πd π 4 45 π 3 60 π 2 90 π 180 2π 360 Mesure principale Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Un angle possède en radians une infinité de mesures. Si α est une mesure en radian d’un angle alors α + 2π est une autre mesure de cette angle, α + 4π en est une autre, α − 2π en est une autre. De manière générale α + 2k π où k ∈ Z est une mesure de cette angle en radians. Définition no 3 La mesure principale d’un angle est sa mesure en radians dans l’intervalle ] − π ; π]. Exercice no 1 Angles orientés et trigonométrie Associer à chaque points du cercle trigonométrique (à l’intersection des pointillés) le réel qui le repère. Eric Leduc 1 Cercle trigonométrique. Radian #» j Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles b b O −1 −1 #» i 1 Exercice no 2 Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles 1 2 Exprimer en radians une mesure de 50◦ . 7π Exprimer en degrés une mesure de rad. 16 Exercice no 3 Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Déterminez la mesure principale des angles de mesures 59π 19π et . respectives : − 3 8 Rappel du plan Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc 1 2 Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés 3 Cosinus et sinus Définitions Angles associés. Cosinus et sinus d’angles associés Équations du type cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a) Équation cos(x) = cos(a) Équation sin(x) = sin(a) Mesure d’un angle orienté I Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Comme pour un cercle trigonométrique, tout cercle du plan peut être orienté. Soient #» u et #» v deux vecteurs non nuls du plan. Soit C le cercle trigonométrique de centre O. ( # » OM = #» u Soient M et N les points du plan tels que : # » ON = #» v Mesure d’un angle orienté II Angles orientés et trigonométrie b Eric Leduc B Cercle trigonométrique. Radian ℓ + Cercle trigonométrique Le radian. b b b Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles N b O C A M Mesure d’un angle orienté III Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Les demi-droites [OM) et [ON) coupent le cercle C en deux points A et B. ⌢ On note ℓ la longueur de l’arc AB parcouru de A vers B dans le sens direct (ℓ Ê 0). #» # » Au couple de vecteurs (OA ; OB) on associe la famille de nombre réels de la forme ℓ + 2k π où k ∈ Z. Mesure d’un angle orienté Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Définition no 4 Chacun des nombre de la forme ℓ + 2k π est une mesure de l’angle orienté de vecteurs ( #» u , #» v) Notation Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Notation no 1 L’usage est de noter ( #» u ; #» v ) un angle de vecteurs et de confondre un angle et une de ses mesures. Par exemple, on écrit : π ( #» u , #» v )= 4 π [2π] ou bien ( #» u , #» v ) = + 2k π où k ∈ Z 4 Si x est une mesure de ( #» u , #» v ) alors ( #» u , #» v )=x [2π] Mesure principale Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Définition no 5 ⊳ Parmi les mesures x + 2k π de l’angle ( #» u , #» v ) de deux vecteurs non nuls, il en existe une et une seule dans l’intervalle ] − π ; π]. Cette mesure est la mesure principale de ( #» u , #» v ). ⊳ La valeur absolue de la mesure principale de l’angle orienté ( #» u , #» v ) est égale à la mesure, en radians, de l’angle géométrique défini par #» u et #» v. Exemple Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Exemple no 1 Déterminer la mesure principale de ( #» u , #» v) 37 1 ( #» u , #» v )= π 6 202π #» #» 2 (u , v )= 3 Repère orthonormal direct Angles orientés et trigonométrie 2 b Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles #» j π 2 b O −2 B b #» i A + 2 C −2 Une unité de longueur étant choisie, dans le plan orienté, dire ³ #» #»´ que le repère O , i , j est orthonormé direct équivaut à dire π #» #» #» #» que : || i ||=|| j || et ( i ; j ) = 2 Sur la figure ci-dessus, on associe le repère orthonormé direct au cercle trigonométrique C de centre O. Angle orienté de vecteurs colinéaires Angles orientés et trigonométrie Théorème no 1 Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian ⊳ #» u et ( #» u , #» v sont colinéaires de même sens si et seulement si #» v ) = 0 [2π] Cercle trigonométrique Le radian. #» v #» u Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles ⊳ #» u et ( #» u , #» v sont colinéaires de sens contraire si et seulement si #» v ) = π [2π] #» v #» u Relation de Chasles Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Théorème no 2 #» : Pour tous vecteurs non nuls #» u , #» v et w #») = ( #» #») [2π] ( #» u , #» u , w v ) + ( #» v , w Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles #» w #» v #» u Angle opposé Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Théorème no 3 Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v : ( #» v , #» u ) = −( #» u , #» v ) [2π] Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles #» v #» u Propriété Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Théorème no 4 ( #» u , − #» v ) = ( #» u , #» v )+π Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. #» v Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles #» u # v» − [2π] Propriété Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Théorème no 5 (− #» u , #» v ) = ( #» u , #» v )+π Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles #» v #» − u #» u [2π] Angle orienté et vecteurs opposés Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Théorème no 6 (− #» u , − #» v ) = ( #» u , #» v ) [2π] Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles #» v #» − u # v» − #» u Démonstrations Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles ⊳ ( #» v , #» u ) = −( #» u , #» v) [2π] D’après la relation de Chasles : ( #» u , #» u ) = ( #» u , #» v ) + ( #» v , #» u ) = 0 [2π] d’où #» #» #» #» ( v , u ) = −( u , v ) [2π] ⊳ ( #» u , − #» v ) = ( #» u , #» v ) + π [2π] #» #» #» #» ( u , − v ) = ( u , v ) + ( #» v , − #» v ) = ( #» u , #» v ) + π [2π] #» #» #» #» ⊳ (− u , v ) = ( u , v ) + π [2π] (− #» u , #» v ) = (− #» u , #» u ) + ( #» u , #» v ) = π + ( #» u , #» v ) [2π] #» #» #» #» ⊳ (− u , − v ) = ( u , v ) [2π] (− #» u , − #» v ) = (− #» u , #» u ) + ( #» u , #» v ) + ( #» v , − #» v )= #» #» #» #» #» π + ( u , v ) + π = ( u , v ) + 2π = ( u , #» v ) [2π] Rappel du plan Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc 1 2 Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés 3 Cosinus et sinus Définitions Angles associés. Cosinus et sinus d’angles associés Équations du type cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a) Équation cos(x) = cos(a) Équation sin(x) = sin(a) Cosinus et sinus Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Définition no 6 On considère le cercle trigonométrique dans un repère (O;I , J). +x Pour tout nombre x, le cosinus et le sinus de x, notés cos x et sinx, sont les coordonnées du point M M(x) du cercle associé à x. On écrit alors M(cos x;sin x). Pour tout nombre x 6= π + k × 2π 2 (avec k entier relatif), la tangente du nombre x est définie sinx par : tanx = . cos x cos x O + J sin x +1 I Propriétés Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Propriété no 2 Pour tout réel x ⊳ cos2 (x) + sin2 (x) = 1 ⊳ −1 É cos(x) É 1 ⊳ −1 É sin(x) É 1 ⊳ cos(x + 2k π) = cos(x) où k ∈ Z ⊳ sin(x + 2k π) = sin(x) où k ∈ Z valeurs remarquables Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Propriété no 3 x cos(x) 0 1 sin(x) 0 π p6 3 2 1 2 p 2 2 p 2 2 π 4 = = p1 2 p1 2 π 3 1 2 p 3 2 π 2 π 0 −1 1 0 Angle associée Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Soit x un réel et M le point associé sur le cercle trigonométrique C π π 2 +x 2 −x Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles b b 1 π−x b b x b O −1 x +π 1 b b −1 −x Angles opposées Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Propriété no 4 ⊳ cos(−x) = cos(x) ⊳ sin(−x) = − sin(x) Angles supplémentaires Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Propriété no 5 ⊳ cos(π − x) = − cos(x) ⊳ sin(π − x) = sin(x) ⊳ cos(π + x) = − cos(x) ⊳ sin(π + x) = − sin(x) Angles complémentaires Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Propriété no 6 Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles ⊳ cos( ⊳ sin( 2 − x) = sin(x) 2 − x) = cos(x) π ⊳ cos( ⊳ sin( π π 2 + x) = − sin(x) 2 + x) = cos(x) π Exemple no 2 I Angles orientés et trigonométrie Sur le cercle trigonométrique C , on a placé le point M associé àx Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian 1 Cercle trigonométrique Le radian. b Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles M(x) b O −1 C −1 1 Exemple no 2 II Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc 1 Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Placez sur C les points associés à : 3π + x 2 5π − x Simplifiez : sin( π 5π − x) + sin(3π + x) + cos(5π − x) + cos(x − ) 2 2 cos(x) = cos(a) Angles orientés et trigonométrie C est un cercle trigonométrique On s’intéresse aux réels x solutions de : Eric Leduc cos(x) = cos(a) Cercle trigonométrique. Radian 1 Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles b M(x) b C O −1 −1 ½ 1 b M(−x) M(x) et M(−x) ont même abscisse cos(x) = cos(−x) L’équation cos(x) = cos(a) équivaut à cos(x) = cos(a) ou cos(x) = cos(−a) On a : Résolution de cos(x) = cos(a) Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Théorème no 7 Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Soit a un réel : x = a + 2k π ou avec k , p ∈ Z x = −a + 2pπ L’ensemble des solutions est : cos(x) = cos(a) ⇐⇒ © ª © S = a + 2k π, k ∈ Z ∪ −a + 2pπ, p ∈ Z ª Exercice no 4 Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Résoudre dans ]−π ; π] π Cercle trigonométrique Le radian. 1 Angle orienté d’un couple de vecteurs 2 Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles 3 cos(x) = cos( ) 4 1 cos(x) = 2 cos(x) = 0 sin(x) = sin(a) Angles orientés et trigonométrie C est un cercle trigonométrique On s’intéresse aux réels x solutions de : sin(x) = sin(a) Eric Leduc 1 Cercle trigonométrique. Radian M(π − x) b b Cercle trigonométrique Le radian. b Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles M(x) O −1 1 C −1 ½ M(x) et M(π − x) ont même ordonnée sin(x) = sin(π − x) L’équation sin(x) = sin(a) équivaut à sin(x) = sin(a) ou sin(x) = sin(π − a) On a : Résolution de sin(x) = sin(a) Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Théorème no 8 Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles Soit a un réel : x = a + 2k π ou avec k , p ∈ Z x = π − a + 2pπ L’ensemble des solutions est : sin(x) = sin(a) ⇐⇒ © ª © S = a + 2k π, k ∈ Z ∪ π − a + 2pπ, p ∈ Z ª Exercice no 5 Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Résoudre dans ]−π ; π] π Cercle trigonométrique Le radian. 1 Angle orienté d’un couple de vecteurs 2 Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles 3 sin(x) = sin( ) 6 1 sin(x) = 2 sin(x) = 0 Exercice no 6 Angles orientés et trigonométrie Eric Leduc Cercle trigonométrique. Radian Cercle trigonométrique Le radian. Angle orienté d’un couple de vecteurs Définitions Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Propriétés des angles orientés Repère orthonormal direct Angles orientés et colinéarité Relation de Chasles 1 Trouvez les réels x ∈ [−π ; π[ tels que : sin(x) = − 2 Trouvez les réels x ∈ [0 ; 2π[ tels que : cos(x) = − 1 2 p 2 2
