11 15 Codage affine 1°) Table de cryptage ci

15 Codage affine
1°) Table de cryptage ci-dessous :
Lettre
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
p
10
13
16
19
22
25
2
5
8
11
14
17
20
Forme
cryptée
J
M
P
S
V
Y
B
E
H
K
N
Q
T
Lettre
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
p
23
26
3
6
9
12
15
18
21
24
1
4
7
Forme
cryptée
W
Z
C
F
I
L
O
R
U
X
A
D
G
L’application de codage doit être « injective » (deux lettres distinctes doivent avoir des images distinctes).
2°) Message : MIJUZ CZRI OJ IVRLLHOV.
Forme décryptée du message : BRAVO POUR TA REUSSITE.
3°) Message : MERCI.
Forme cryptée du message : TVIPH.
16 Codage affine
p  3n + 7 (mod. 10)
1°) Table de cryptage :
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
p
7
0
3
6
9
2
5
8
1
4
2°) Forme cryptée de son code secret : 8503.
Son véritable code secret est 7612.
11
17 Équation et tableau de congruence
1°) Tableau de congruence
Reste de la division
euclidienne de n par 5
0
1
2
3
4
Reste de la division
euclidienne de 8n par 5
0
3
1
4
2
Explication :
 Si n  0 (mod. 5), alors 8n  0 (mod. 5).
 Si n  1 (mod. 5), alors 8n  8 (mod. 5).
Or 8  3 (mod. 5).
Donc 8n  3 (mod. 5).
 Si n  2 (mod. 5), alors 8n  16 (mod. 5).
Or 16  1 (mod. 5).
Donc 8n  1 (mod. 5).
2°) Déterminons tous les entiers relatifs n tels que 8n  7 (mod. 5) (1).
On a : 7  2 (mod. 5) (2).
Donc (2), (1)  8n  2 (mod. 5)
 n  4 (mod. 5) (d’après le tableau de congruence précédent)
Conclusion :
Il y a trois manières de conclure :
 Les entiers relatifs cherchés sont tous les nombres congrus à 4 modulo 5.
 Les entiers relatifs sont les entiers de la forme 4k + 5 avec k  .
 Les entiers relatifs cherchés sont les entiers relatifs dont le reste de la division euclidienne par 5 est égal à 4.
Remarque :
 On ne peut pas diviser les deux membres par 8.
En effet, il n’y a pas de règle qui permette de diviser les deux membre par 8 (
7
n’est pas entier).
8
 On observera que l’on a déterminé les entiers n qui vérifient (1) en utilisant un raisonnement par équivalence.
12
18 1°) Tableau de congruence modulo 7 :
Reste de la
division
euclidienne
de a par 7
0
1
2
3
4
5
6
a 3 est
congru
modulo 7 à
0
1
1
–1
1
–1
–1
 
2°) (a, b, c)  *
3
Déterminons les restes possibles dans la division euclidienne par 7 de l’entier a 3  b 3  c 3 .
On constate que le cube d’un entier relatif est congru soit à 1, soit à – 1, soit à 0.
Pour répondre à la question 2°), le plus judicieux est de procéder par un arbre : c’est un arbre ternaire.
On prend une page complète.
On fait toutes les branches à la règle.
13
a3 est congru
modulo 7 à
b3 est congru
modulo 7 à
0
0
–1
1
0
–1
–1
1
0
1
–1
1
c3 est congru
modulo 7 à
0
*
0
–1
–1
1
1
0
–1
–1
–2
1
0
0
1
–1
0
1
2
0
–1
–1
–2
1
0
0
–2
–1
–3
1
–1
0
0
–1
–1
1
1
0
1
–1
0
1
2
0
0
–1
–1
1
1
0
2
–1
1
1
3
14
Autre manière de répondre (plus rapide) :
On dresse un tableau de congruence.
x  ... [5]
0
1
2
3
4
x 2  ... [5]
0
1
4
4
1
2°) x 2  5 y 2  3 (E)
((x ; y)   2 )
Il s’agit d’une équation diophantienne.
Démontrons que l’équation (E) n’a pas de solution.
On va s’intéresser à la non existence de solutions entières de cette équation en utilisant les congruences.
On raisonne par l’absurde.
On suppose qu’il existe un couple  x0 , y0  d’entiers relatifs solution de (E) [on peut aussi écrire  x0 , y0    2 ].
On a alors x0 2  5 y02  3 d’où x0 2  3  5 y02 .
Cette égalité peut s’interpréter de la manière suivante : le reste de la division euclidienne de x0 2 par 5 est égal à
3.
Par conséquent, on peut dire aussi : x0 2  3 (mod. 5).
D’après le tableau de congruence précédent, nous observons que ce n’est pas possible.
Autre manière de répondre :
(E) implique que x 2  3 [5] ce qui est impossible d’après le tableau de congruence de la question 1°).
On en déduit que (E) n’a donc pas de solution.
20 1°) Déterminons suivant les valeurs de l’entier n, le reste de la division euclidienne de 2n par 7.
Plutôt que de dire « suivant les valeurs de n » on devrait dire « suivant les valeurs du reste de l’entier n par … »
20  1 (mod. 7)
21  2 (mod. 7)
22  4 (mod. 7)
23  1 (mod. 7)
24  2 (mod. 7)
25  4 (mod. 7)
On observe une périodicité de « période » 3.
17
Soit n un entier naturel.
On note r le reste de la division euclidienne de n par 3 (« période »).
r peut prendre trois valeurs 0, 1, 2.
1er cas : r = 0
Dans ce cas, n = 3k (k  ).
On a alors 2n  23k .
Or 23  1 (mod. 7) d’où 23k  1k (mod. 7) soit 2n  1 (mod. 7).
Par suite, le reste de la division euclidienne de 2n par 7 est 1.
2e cas : r = 1
Dans ce cas, n = 3k + 1 (k  ).
On a alors 2n  23k1 .
Or 23k  1 (mod. 7) d’où 23k 1  2 (mod. 7).
Par suite, le reste de la division euclidienne de 2n par 7 est 2.
3e cas : r = 2
Dans ce cas, n = 3k + 2 (k  ).
On a alors 2n  23k  2 .
Or 23k 1  2 (mod. 7) d’où 23k  2  4 (mod. 7).
Par suite, le reste de la division euclidienne de 2n par 7 est 4.
2°) Déduisons-en le reste de la division euclidienne par 7 du nombre N = 247 349 .
On a : 247  2 (mod. 7) et 349 = 116  3 + 1.
D’où 247349  2349 (mod. 7).
Soit 247349  2 (mod. 7).
Donc N  2 (mod. 7).
Par suite, le reste de la division euclidienne de N par 7 est 2.
21 Démontrons que pour tout entier naturel n, n3  n est divisible par 3.
Méthode : On raisonne modulo 3.
Soit n un entier naturel.
On note r son reste dans la division euclidienne par 3.
On sait que le reste d’une division euclidienne est strictement inférieur au diviseur.
Donc 0  r < 3.
Comme r est un entier naturel, on en déduit que r ne peut prendre que 3 valeurs : 0, 1, 2.
18
On va utiliser un tableau de congruences*.
r : reste de
la division
euclidienne
de n par 3
0
1
2
n3  n est
congru
modulo 3
0
0
0
Dans les trois cas, on constate que n3  n  0 (modulo 3).
On en déduit que :  n  
*
3 | n3  n .
Autre façon sans tableau :
On effectue une disjonction de cas :
 1er cas : r = 0
Dans ce cas, n  0 (modulo 3).
Par suite, n3  0 (modulo 3).
D’où n3  n  0 (modulo 3).
 2e cas : r = 1
Dans ce cas, n  1 (modulo 3).
Par suite, n3  1 (modulo 3).
D’où n3  n  0 (modulo 3).
 3e cas : r = 2
Dans ce cas, n  2 (modulo 3).
Par suite, n3  8 (modulo 3).
D’où n3  n  6 (modulo 3).
Donc n3  n  0 (modulo 3).
Dans tous les cas, n3  n est divisible par 3.
Donc, pour tout entier naturel n, n3  n est divisible par 3.
Commentaire : Nous verrons plus tard que cette propriété est un cas particulier du Petit théorème de Fermat.
19
22 Démontrons que pour tout entier naturel n, n5  n est divisible par 5.
Méthode : On raisonne modulo 5.
Soit n un entier naturel.
On note r son reste dans la division euclidienne par 5.
On sait que le reste d’une division euclidienne est strictement inférieur au diviseur.
Donc 0  r < 5.
Comme r est un entier naturel, on en déduit que r ne peut prendre que 5 valeurs : 0, 1, 2, 3, 4.
On va utiliser un tableau de congruences*.
r : reste de
la division
euclidienne
de n par 5
0
1
2
3
4
n5  n est
congru
modulo 5
0
0
0
0
0
Dans les cinq cas, on constate que n5  n  0 (modulo 5).
On en déduit que :  n  
5 | n5  n .
Commentaire : Comme dans l’exercice précédent, nous verrons plus tard que cette propriété est un cas
particulier du Petit théorème de Fermat.
On peut remplacer le tableau de valeurs par une étude de cas (méthode par disjonction de cas).
1er cas : r = 0
Dans ce cas, n  0 (mod. 5).
On a alors : n5  0 (mod. 5).
D’où n5  n  0 (modulo 5).
Par suite, n5  n est divisible par 5.
2e cas : r = 1
Dans ce cas, n  1 (mod. 5).
On a alors : n5  1 (mod. 5).
D’où n5  n  0 (modulo 5).
Par suite, n5  n est divisible par 5.
20
3e cas : r = 2
Dans ce cas, n  2 (mod. 5).
On a alors : n5  2 (mod. 5).
D’où n5  n  0 (modulo 5).
Par suite, n5  n est divisible par 5.
4e cas : r = 3
Dans ce cas, n  3 (mod. 5).
On a alors : n5  3 (mod. 5).
D’où n5  n  0 (modulo 5).
Par suite, n5  n est divisible par 5.
5e cas : r = 4
Dans ce cas, n  4 (mod. 5).
On a alors : n5  4 (mod. 5).
D’où n5  n  0 (modulo 5).
Par suite, n5  n est divisible par 5.
23 Déterminons les entiers naturels n tels que l’entier N = n2  3n  6 soit divisible par 5.
Méthode : On raisonne modulo 5.
Soit n un entier naturel.
On note r son reste dans la division euclidienne par 5.
On sait que le reste d’une division euclidienne est strictement inférieur au diviseur.
Donc 0  r < 5.
Comme r est un entier naturel, on en déduit que r ne peut prendre que 5 valeurs : 0, 1, 2, 3, 4.
On va utiliser un tableau de congruences*.
r : reste de
la division
euclidienne
de n par 5
0
1
2
3
4
n est
congru
modulo 5
6
1
4
4
6
1
10
0
Les nombres marqués en rouge correspondent aux restes de la division euclidienne de N par 5.
On constate que : (N divisible par 5)  le reste de la division euclidienne de n par 5 est 4
 n  4 (modulo 5).
21
24 Déterminons le chiffre x tel que l’entier 53 x 4 soit divisible par 9.
On applique le critère de divisibilité par 9.
53 x 4 est divisible par 9 si et seulement si 5 + 3 + x + 4 est divisible par 9
si et seulement si 12 + x est divisible par 9
si et seulement si x = 6 (on n’écrit pas tout le détail de la recherche)
Une fonction nécessaire et suffisante pour que 53 x 4 soit divisible par 9 est x = 6.
25 Déterminons les chiffres x et y tels que l’entier 3 x 2 y soit divisible par 4 et 3.
3 x 2 y est divisible par 4 et 3 si et seulement si 2 y est divisible par 4 et 3 + x + 2 + y est divisible par 3
On applique les critères de divisibilité par 4 et 3.
2 y est divisible par 4 si et seulement y = 0 ou y = 4 ou y = 8.
3+x+2+y =x+y+5
On donne la liste des possibilités pour lesquelles 3 x 2 y est divisible par 4 et 3 :
x  1

y  0
x  4

y  0
x  7

y  0
x  0

y  4
x  3

y  4
x  6

y  4
x  9

y  4
x  2

y  8
22
x  5

y  8
x  8

y  8
Autre solution :
4 | 3x2 y  4 | 2 y
 y = 0 ou y = 4 ou y = 8
3 | 3x2 y  3 | 3 + x + 2 + y
3|x+y+5
Pour y = 0, on doit avoir 3 | x + 5.
Les valeurs possibles de x sont (on évite le mot « solution ») 1 ; 4 ; 7.
Pour y = 4, on doit avoir 3 | x + 9
Les valeurs possibles de x sont 0 ; 3 ; 6 ; 9.
Pour y = 8, on doit avoir 3 | x + 13
Les valeurs possibles de x sont 2 ; 5 ; 8.
Les couples (x ; y) possibles pour que l’entier 3 x 2 y soit divisible par 3 et 4 sont :
(1 ; 0) ; (4 ; 0) ; (7 ; 0) ; (0 ; 4) ; (3 ; 4) ; (6 ; 4) ; (9 ; 4) ; (2 ; 8) ; (5 ; 8) ; (8 ; 8).
26 Critère de divisibilité par 11
1°) Démontrons que 10  – 1 (mod. 11).
10 – (– 1) = 11
11 est divisible par 11.
On a donc 10  – 1 (mod. 11).
2°) Démontrons que N est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée a0  a1  a2  ... est
divisible par 11.
N = an an1...a0 a1 (écriture en base 10).
On a donc : N = 10n an  10n1 an 1  ...  102 a2  10a1  a0 (décomposition en base 10 du nombre N).
On a établi que 10  – 1 (mod. 11).
23
Donc pour tout entier naturel n, on a :
102 n  1 (mod. 11)
102 n1  – 1 (mod. 11)
On a : 10  – 1 (mod. 11) donc 10a1  a1 (mod. 11).
On a : 102  1 (mod. 11) donc 102 a2  a2 (mod. 11).
On a : 103  – 1 (mod. 11) donc 103 a3  a3 (mod. 11).
….
On a : N = a0  10a1  102 a2  ...
Donc d’après ce qui précède : N  a0  a1  a2  ... (mod. 11).
Donc N est divisible par 11 si et seulement si a0  a1  a2  ...  0 (mod. 11).
Remarque : Une démonstration plus élégante consisterait à utiliser le symbole .
Énoncé du critère de divisibilité par 11 :
« Un entier est divisible par 11 si et seulement si la différence de ses chiffres de rang pair et de ses chiffres de
rang impair est divisible par 11 ».
3°) Appliquons le critère précédent aux nombres 25 418 792 et 851 047 932 152.
 25 418 792
On calcule : 2 – 9 + 7 – 8 + 1 – 4 + 5 – 2 = – 8
Le résultat n’est pas divisible par 11.
Donc 25 418 792 n’est pas divisible par 11.
 851 047 932 152
2 – 5 + 1 – 2 + 3 – 9 + 7 – 4 + 0 – 1 + 5 – 8 = – 11
Le résultat est divisible par 11.
Donc 851 047 932 152 est divisible par 11.
24