11 15 Codage affine 1°) Table de cryptage ci

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15 Codage affine
1°) Table de cryptage ci-dessous :
Lettre A B C D E F G H I J K L M
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
p 10 13 16 19 22 25 2 5 8 11 14 17 20
Forme
cryptée
J M P S V Y B E H K N Q T
Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z
n 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
p 23 26 3 6 9 12 15 18 21 24 1 4 7
Forme
cryptée
W Z C F I L O R U X A D G
L’application de codage doit être « injective » (deux lettres distinctes doivent avoir des images distinctes).
2°) Message : MIJUZ CZRI OJ IVRLLHOV.
Forme décryptée du message : BRAVO POUR TA REUSSITE.
3°) Message : MERCI.
Forme cryptée du message : TVIPH.
16 Codage affine
p  3n + 7 (mod. 10)
1°) Table de cryptage :
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4
2°) Forme cryptée de son code secret : 8503.
Son véritable code secret est 7612.

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17 Équation et tableau de congruence
1°) Tableau de congruence
Reste de la division
euclidienne de n par 5 0 1 2 3 4
Reste de la division
euclidienne de 8n par 5 0 3 1 4 2
Explication :
 Si
0
n
(mod. 5), alors
8 0
n
(mod. 5).
 Si
1
n
(mod. 5), alors
8 8
n
(mod. 5).
Or
8 3
(mod. 5).
Donc
8 3
n
(mod. 5).
 Si
2
n
(mod. 5), alors
8 16
n
(mod. 5).
Or
16 1
(mod. 5).
Donc
8 1
n
(mod. 5).
2°) Déterminons tous les entiers relatifs n tels que 8n  7 (mod. 5) (1).
On a :
7 2
(mod. 5) (2).
Donc (2), (1)  8n  2 (mod. 5)
 n  4 (mod. 5) (d’après le tableau de congruence précédent)
Conclusion :
Il y a trois manières de conclure :
 Les entiers relatifs cherchés sont tous les nombres congrus à 4 modulo 5.
 Les entiers relatifs sont les entiers de la forme 4k + 5 avec k  .
 Les entiers relatifs cherchés sont les entiers relatifs dont le reste de la division euclidienne par 5 est égal à 4.
Remarque :
 On ne peut pas diviser les deux membres par 8.
En effet, il n’y a pas de règle qui permette de diviser les deux membre par 8 (
7
8
n’est pas entier).
 On observera que l’on a déterminé les entiers n qui vérifient (1) en utilisant un raisonnement par équivalence.

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18 1°) Tableau de congruence modulo 7 :
Reste de la
division
euclidienne
de a par 7
0 1 2 3 4 5 6
3
a
est
congru
modulo 7 à 0 1 1 – 1 1 – 1 – 1
2°) (a, b, c) 
3
*
Déterminons les restes possibles dans la division euclidienne par 7 de l’entier
3 3 3
a b c
.
On constate que le cube d’un entier relatif est congru soit à 1, soit à – 1, soit à 0.
Pour répondre à la question 2°), le plus judicieux est de procéder par un arbre : c’est un arbre ternaire.
On prend une page complète.
On fait toutes les branches à la règle.

14
3
a
est congru
modulo 7 à
3
b
est congru
modulo 7 à
3
c
est congru
modulo 7 à *
0 0
0 – 1 – 1
1 1
0 – 1
0 – 1 – 1 – 2
1 0
0 1
1 – 1 0
1 2
0 – 1
0 – 1 – 2
1 0
0 – 2
– 1 – 1 – 1 – 3
1 – 1
0 0
1 – 1 – 1
1 1
0 1
0 – 1 0
1 2
0 0
1 – 1 – 1 – 1
1 1
0 2
1 – 1 1
1 3