1 Structure d`espaces vectoriels

FM AL1 Algèbre linéaire 1 — PSI — Paul Valéry —
1 Structure d’espaces vectoriels
1.1 Comment prouver qu’un ensemble Eest un espace vectoriel ?
1. On utilise la définition d’un espace vectoriel ( cf cours)
2. On cherche un espace vectoriel de référence ( cf cours ) qui contienne Eet on utilise ensuite le point
méthode suivant.
1.2 Comment prouver qu’un ensemble Fest un sous-espace vectoriel de E?
1. On utilise la caractérisation d’un sous-espace vectoriel. A savoir on montre que :
BF⊂E
BFest non vide ( en exhibant un élément de Fen général ~ 0)
BFest stable par combinaison linéaire : soient xet yéléments de F,λet µdes scalaires ; on montre
que λx +µy est un élément de F.
2. On essaie de voir Fcomme le noyau ou l’image d’une application linéaire.
3. On essaie d’écrire Fcomme étant le sous-espace vectoriel engendré par une partie de E; pour ce faire,
on montre que tout élément de Fpeut s’écrire comme combinaison linéaire d’un nombre fini de vecteurs
de Fet réciproquement que toute combinaison linéaire de ces vecteurs est un élément de F.
On a ainsi exhibé une famille génératrice de F, ce qui peut être utile pour la suite.
4. On essaie d’écrire Fcomme intersection de sous-espaces vectoriels, ou comme somme de sous-espaces
vectoriels.
4Attention, une réunion de sous-espaces vectoriels n’est pas nécessairement un espace vectoriel, comme
le prouve la réunion de deux droites vectorielles distinctes.
EXO 1.2 Montrer que F={(x, y, z)∈R3/x +y+z= 0}est un sous-espace vectoriel de R3.
Corrigé :
1. Fest une partie de R3non vide car contenant (0,0,0). Soient (x, y, z)∈Fet (x0, y0, z0)∈F; soient (α, β)∈R2.
(αx +βx0)+(αy +βy0)+(αz +βz0) = α(x+y+z) + β(x0+y0+z0) = 0, donc le vecteur α(x, y, z) + β(x0, y0, z0)∈F.
On a donc ainsi prouvé que Fest un sous-espace vectoriel de R3.
2. Considérons la forme linéaire sur R3définie par f(x, y, z) = x+y+z.F= Ker f. Par suite, Fest un sous-espace
vectoriel de R3.
Rem : on peut même ajouter que Fest un hyperplan de R3car fest non nulle.
3. Soit (x, y, z)∈R3. On a alors (x, y, z)∈F⇐⇒ (x, y, z) = (x, y, −x−y) = x(1,0,−1) + y(0,1,−1). On en déduit que
F= Vect{(1,0,−1),(0,1,−1)}.Fest bien un sous-espace vectoriel de R3.
4. L’écriture précédente nous permet de voir Fcomme la somme des deux droites vectorielles engendrées par (1,0,−1)
et (0,1,−1).Fest bien un sous-espace vectoriel de R3.
EXO 1.2 Montrer que G={(x, y, z)∈R3/x +y+z= 0 et x+ 2y+ 3z= 0}est un sous-espace vectoriel de R3.
Corrigé :
En reprenant ce qui précède, on voit Fcomme étant l’intersection des deux plans de R3d’équations cartésiennes
respectives x+y+z= 0 et x+ 2y+ 3z= 0 ; c’est donc un sous-espace vectoriel de R3.
1.3 Comment prouver que Vect A= Vect B?
On montre que A⊂Vect Ben prouvant que tout vecteur de Apeut s’écrire comme combinaison linéaire
de vecteurs de B, ce qui prouve que Vect A⊂Vect B.
On prouve ensuite l’autre inclusion de manière symétrique.
EXO 1.3 Montrer que dans R[X],R2[X] = Vect{1, X, X(1 + X)}.
Corrigé :
Les polynômes 1, X, X(1 + X)étant des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, on a déjà Vect{1, X, X(1 + X)} ⊂ R2[X].
Soit un polynôme de degré au plus 2 : aX2+bX +c, (a, b, c)∈R3.aX2+bX +c=aX(1 + X) + (b−a)X+cappartient à
Vect{1, X, X(1 + X)}; d’où l’inclusion réciproque.
1.4 Comment prouver que deux ensembles F1et F2sont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires de E?
On vérifie d’abord si ce n’est pas annoncé dans le texte que F1et F2sont des sous-espaces vectoriels de
E; l’inclusion F1+F2⊂Eest alors immédiate.
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1. On montre que tout vecteur xde Es’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de F1et
d’un vecteur de F2. Pour ce faire, on peut utiliser deux méthodes selon le contexte :
BOn connait la forme d’un vecteur x1de F1et d’un vecteur x2de F2tels que x=x1+x2grâce par
exemple à des questions antérieures. Il reste alors uniquement à prouver l’unicité de l’écriture ; ce
qu’on peut faire de manière classique, en supposant que x=x1+x2=x0
1+x0 2où (xi, x0
i)∈F2 i, i =
1ou 2, on réécrit ces relations sous la forme x1−x0
1=x0 2−x2et on exploite que ce vecteur est à la
fois dans F1et dans F2.
BDans le cas contraire, on suppose que xs’écrit sous la forme x1+x2avec (x1, x2)∈F1×F2et
on cherche une expression de x1(ou de x2) en fonction de xen utilisant les définitions de F1et de
F2. Si cette expression est définie de manière unique à partir de x, on a ainsi prouvé que l’écriture
sous forme de somme est unique. Reste ensuite à vérifier que les expressions trouvées pour x1et x2
conviennent, c’est-à-dire que x1∈F1,x2∈F2et x1+x2=x.
2. On montre en deux temps que F1∩F2=n~ 0o, ou plus précisément que le seul vecteur appartenant à
la fois à F1et F2est le vecteur nul puisque F1∩F2est un sous-espace vectoriel de E; puis, on prouve
qu’un vecteur xquelconque de Epeut s’écrire comme somme d’un élément de F1et d’un élément de
F2.
4Attention à ne pas confondre supplémentaire et complémentaire.
Pourquoi le complémentaire d’un espace vectoriel n’est-il jamais un espace vectoriel ?
EXO 1.4 Dans E=C([0,1]), montrer que les espaces vectoriels F1={f∈E/ Z1
0
f(t)dt = 0}et F2={fonctions constantes }
sont supplémentaires.
Corrigé :
Soit fune fonction continue sur [0,1].
◦Unicité : Supposons qu’il existe g∈F1et k∈Rtels que ∀x∈[0,1] f(x) = g(x) + k.
On a alors Z1
0
f=Z1
0
g+Z1
0
k=k; d’où l’unicité de ket celle de gdéfinie par g=f−k.
◦Existence : Posons k=Z1
0
fet ∀x∈[0,1] g(x) = f(x)−k. Alors comme Z1
0
g= 0 et que gest continue, g∈F1; on
identifie constante et fonction constante, donc k∈F2.
2 Aplications linéaires
2.1 Comment montrer qu’une application fde Edans Fest linéaire ?
1. On utilise la définition.
A savoir : on considère xet ydes éléments de E,λet µdes scalaires et on vérifie que
f(λx +µy) = λf(x) + µf(y).
2. On essaie d’écrire fcomme combinaison linéaire d’applications linéaires de référence.
EXO 2.1 Soit fl’application de R2dans R2définie par f(x, y) = (x−y, x + 2y). Montrer que fest linéaire.
Corrigé :
Soient ~u = (x, y),~v = (x0, y0)des éléments de R2; soient αet βdes réels. Comme α~u +β~v = (αx +βx0, αy +βy0),
f(α~u +β~v) = (α(x−y) + β(x0−y0), α(x+ 2y) + 2β(x0+ 2y0)) = α(x−y, x + 2y) + β(x0−y0, x0+ 2y0) = αf(~u) + βf(~v).
D’où la linéarité de f.
2.2 Comment prouver qu’une application fest un endomorphisme de E?
On montre que, pour tout vecteur xde E,f(x)∈E, puis que fest une application linéaire.
EXO 2.2 Soit n≥1. Montrer que ϕ:P7→ P0est un endomorphisme de Rn[X].
Corrigé :
◦Si Pest un polynôme de degré au plus n, son polynôme dérivé est un polynôme de degré au plus n−1, et donc appartient
toujours à Rn[X].
◦Les propriétés de l’opérateur dérivation permettent d’affirmer que ϕest une application linéaire.
2.3 Comment prouver qu’une application fest un isomorphisme de Edans F?
On montre que fest une application linéaire de Edans Fbijective .
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2.4 Comment prouver qu’une application fest un automorphisme de E?
On montre que fest une applicationn linéaire bijective de Edans E.
2.5 Comment montrer qu’une application linéaire est injective ?
On cherche à prouver que le noyau de fest réduit au vecteur nul, en prouvant que si xest un vecteur de
Ker f(cad f(x) = ~ 0), alors x=~ 0.
4Attention ce résultat n’est vrai que si on a d’abord prouvé la linéarité de f, comme le prouve l’exemple
de x7→ x2.
EXO 2.5 Montrer que l’application linéaire de R2dans R2définie par f(x, y) = (x+y, x −y)est injective.
Corrigé :
(x, y)∈Ker f⇐⇒ f(x, y) = (0,0) ⇐⇒ x+y= 0
x−y= 0 ⇐⇒ x=y= 0.
Le noyau de fétant réduit au vecteur nul, on en déduit que fest injective.
2.6 Comment montrer qu’une application linéaire fest bijective ?
1. On montre que fest injective et surjective.
2. On exhibe une fonction gde Fdans Etelle que f◦g= IdFet g◦f= IdE. On peut alors affirmer que
g=f−1.
EXO 2.6 Soit fest un endomorphisme de Evérifant une relation du type f2+ 2f+ 3 Id = 0. Montrer que fest bijective et
déterminer son inverse.
Corrigé :
On écrit f◦(f+ 2 Id) = (f+ 2 Id) ◦f=−3 Id et donc fest bijective et f−1=−1
3(f+ 2 Id).
2.7 Comment prouver qu’un endomorphisme pde Eest un projecteur ?
Il suffit de vérifier que p◦p=p, ( si on sait déjà que pest un endomorphisme de E).
2.8 Comment déterminer les éléments caractéristiques d’un projecteur ?
Il s’agit de préciser Ker pet Im p. Dans le cas d’un projecteur, on a l’équivalence suivante :
x∈Im p⇐⇒ p(x) = x, ce qui facilite souvent la détermination de l’image de p.
Rappelons qu’alors Im pet Ker psont supplémentaires dans E, ce qui peut éventuellement fournir une
autre technique pour le point méthode 1.4
EXO 2.8 Montrer que l’application linéaire de R2dans R2définie par f(x, y) = (4x−2y, 6x−3y)est un projeteur. Déterminer
les éléments caractéristiques de f.
Corrigé :
◦fest un endomorphisme de R2.
◦Soit ~u = (x, y)∈R2.f◦f(~u) = f(4x−2y, 6x−3y) = (4(4x−2y)−2(6x−3y),6(4x−2y)−3(6x−3y)) = (4x−2y, 6x−3y).
Donc f◦f=f
fest un projecteur de R2.
◦(x, y)∈Ker f⇐⇒ 4x−2y= 0
6x−3y= 0 ⇐⇒ y= 2x. Donc Ker fest la droite vectorielle engendrée par le vecteur ~a = (1,2).
◦(x, y)∈Im f⇐⇒ 4x−2y=x
6x−3y=y⇐⇒ 3x−2y= 0. Donc Im fest la droite vectorielle dirigée par ~
b= (2,3).
fest la projection sur Vect~ b, parallélement à Vect ~a.
2.9 Comment prouver qu’un endomorphisme sde Eest une symétrie ?
Il suffit de prouver que s◦s= Id
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2.10 Comment déterminer les éléments caractéristiques d’une symétrie ?
Il s’agit de préciser Ker s−Id et Ker s+ Id, à savoir l’ensemble des vecteurs de Efixes par set celui des
vecteurs changés en leurs opposés par s.
Rappelons qu’alors Ker s−Id et Ker s+ Id sont supplémentaires dans E, ce qui peut éventuellement
fournir une autre technique pour le point méthode 1.4
EXO 2.10 On note El’espace vectoriel des fonctions définies sur Rà valeurs dans R. En utilisant l’application ϕqui à une
application fassocie l’application gdéfinie par ∀x∈Rg(x) = f(−x), montrer que l’ensemble des fonctions paires et l’ensemble des
fonctions impaires sont deux sous-espaces vectoriels suppléménetaires de E.
Corrigé :
◦ϕest une application linéaire. En effet considérons f1,f2des éléments de E,α1et α2des réels.
∀x∈Rϕ(α1f1+α2f2)(x) = (α1f1+α2f2)(−x) = α1f1(−x) + α2f2(−x) = α1ϕ(f1)(x) + α2ϕ(f2)(x).
Donc ϕ(α1f1+α2f2) = α1ϕ(f1) + α2ϕ(f2).
◦ ∀f∈E ϕ(f)∈E.
◦Si f∈E, en posant g=ϕ(f)et ϕ◦ϕ(f)(x) = ϕ(g)(x) = g(−x) = f(x)pour tout réel x. Donc, ϕ◦ϕ(f) = fet ϕest une
application involutive.
ϕest donc la symétrie par rapport à Ker(ϕ−IdE)parallélement à Ker(ϕ+ IdE).
◦f∈Ker(ϕ−IdE)⇐⇒ ϕ(f) = f⇐⇒ ∀x∈R f(−x) = f(x)⇐⇒ fest paire .
◦f∈Ker(ϕ+ IdE)⇐⇒ ϕ(f) = −f⇐⇒ ∀x∈R f(−x) = −f(x)⇐⇒ fest impaire .
On en déduit d’après une propriété des symétries vectorielles que l’ensemble des fonctions paires et l’ensemble des fonctions
impaires sont deux sous-espaces vectoriels suppléménetaires de E.
3 Familles libres, liées
3.1 Comment prouver qu’une famille finie est liée ?
On essaie de trouver un vecteur de la famille qui s’écrivent comme combinaison linéaire des autres.
EXO 3.1 Montrer que les vecteurs ~u = (0,1),~v = (1,1) et ~w = (2,3) sont liés.
Corrigé :
Il est immédiat que ~w = 2~v +~u. D’où la linéaire dépendance de ces trois vecteurs.
3.2 Comment prouver qu’une famille finie (ai)1≤i≤nest libre ?
On utilise la caractérisation d’une famille libre. Soit (αi)1≤i≤nune famille de scalaires tels que
n
P
i=1
αiai=~ 0. On cherche alors à prouver que ∀i∈[[1, n]] αi= 0
EXO 3.2 Déterminer m∈Rpour que les trois vecteurs ~u = (0,2,3,5),~v = (1,1,2,4) et ~w = (2,4, m, 13) soient linéairement
indépendants.
Corrigé :
Soient α,β,γdes réels tels que α~u +β~v +γ ~w =~ 0. On obtient alors le système suivant : (S)8
>
>
<
>
>
:
β+ 2γ= 0
2α+β+ 4γ= 0
3α+ 2β+mγ = 0
5α+ 4β+ 13γ= 0
(S)⇐⇒ 8
>
>
<
>
>
:
β=−2γ
2α+ 2γ= 0
3α+ (m−4)γ= 0
5α+ 5γ= 0
⇐⇒ 8
<
:
β=−2γ
α=−γ
(m−7)γ= 0
Si m6= 7,(S)⇐⇒ α=β=γ= 0. La famille est libre.
Si m= 7,~w =~u + 2~v. La famille est liée.
Conclusion : les trois vecteurs forment une famille libre si et seulement si m6= 7.
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