1 Structure d`espaces vectoriels

FM AL1
1
Algèbre linéaire 1
— PSI — Paul Valéry —
Structure d’espaces vectoriels
1.1
Comment prouver qu’un ensemble E est un espace vectoriel ?
1. On utilise la définition d’un espace vectoriel ( cf cours)
2. On cherche un espace vectoriel de référence ( cf cours ) qui contienne E et on utilise ensuite le point
méthode suivant.
1.2
Comment prouver qu’un ensemble F est un sous-espace vectoriel de E ?
1. On utilise la caractérisation d’un sous-espace vectoriel. A savoir on montre que :
B F ⊂E
B F est non vide ( en exhibant un élément de F en général ~0 )
B F est stable par combinaison linéaire : soient x et y éléments de F , λ et µ des scalaires ; on montre
que λx + µy est un élément de F .
2. On essaie de voir F comme le noyau ou l’image d’une application linéaire.
3. On essaie d’écrire F comme étant le sous-espace vectoriel engendré par une partie de E ; pour ce faire,
on montre que tout élément de F peut s’écrire comme combinaison linéaire d’un nombre fini de vecteurs
de F et réciproquement que toute combinaison linéaire de ces vecteurs est un élément de F .
On a ainsi exhibé une famille génératrice de F , ce qui peut être utile pour la suite.
4. On essaie d’écrire F comme intersection de sous-espaces vectoriels, ou comme somme de sous-espaces
vectoriels.
4
Attention, une réunion de sous-espaces vectoriels n’est pas nécessairement un espace vectoriel, comme
le prouve la réunion de deux droites vectorielles distinctes.
EXO 1.2 Montrer que F = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0} est un sous-espace vectoriel de R3 .
Corrigé :
1. F est une partie de R3 non vide car contenant (0, 0, 0). Soient (x, y, z) ∈ F et (x0 , y 0 , z 0 ) ∈ F ; soient (α, β) ∈ R2 .
(αx + βx0 ) + (αy + βy 0 ) + (αz + βz 0 ) = α(x + y + z) + β(x0 + y 0 + z 0 ) = 0, donc le vecteur α(x, y, z) + β(x0 , y 0 , z 0 ) ∈ F .
On a donc ainsi prouvé que F est un sous-espace vectoriel de R3 .
2. Considérons la forme linéaire sur R3 définie par f (x, y, z) = x + y + z. F = Ker f . Par suite, F est un sous-espace
vectoriel de R3 .
Rem : on peut même ajouter que F est un hyperplan de R3 car f est non nulle.
3. Soit (x, y, z) ∈ R3 . On a alors (x, y, z) ∈ F ⇐⇒ (x, y, z) = (x, y, −x − y) = x(1, 0, −1) + y(0, 1, −1). On en déduit que
F = Vect{(1, 0, −1), (0, 1, −1)}. F est bien un sous-espace vectoriel de R3 .
4. L’écriture précédente nous permet de voir F comme la somme des deux droites vectorielles engendrées par (1, 0, −1)
et (0, 1, −1). F est bien un sous-espace vectoriel de R3 .
EXO 1.2 Montrer que G = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0 et x + 2y + 3z = 0} est un sous-espace vectoriel de R3 .
Corrigé :
En reprenant ce qui précède, on voit F comme étant l’intersection des deux plans de R3 d’équations cartésiennes
respectives x + y + z = 0 et x + 2y + 3z = 0 ; c’est donc un sous-espace vectoriel de R3 .
1.3
Comment prouver que Vect A = Vect B ?
On montre que A ⊂ Vect B en prouvant que tout vecteur de A peut s’écrire comme combinaison linéaire
de vecteurs de B, ce qui prouve que Vect A ⊂ Vect B.
On prouve ensuite l’autre inclusion de manière symétrique.
EXO 1.3 Montrer que dans R[X], R2 [X] = Vect{1, X, X(1 + X)}.
Corrigé :
Les polynômes 1, X, X(1 + X) étant des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, on a déjà Vect{1, X, X(1 + X)} ⊂ R2 [X].
Soit un polynôme de degré au plus 2 : aX 2 + bX + c, (a, b, c) ∈ R3 . aX 2 + bX + c = aX(1 + X) + (b − a)X + c appartient à
Vect{1, X, X(1 + X)} ; d’où l’inclusion réciproque.
1.4
Comment prouver que deux ensembles F1 et F2 sont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires de E ?
On vérifie d’abord si ce n’est pas annoncé dans le texte que F1 et F2 sont des sous-espaces vectoriels de
E ; l’inclusion F1 + F2 ⊂ E est alors immédiate.
1/4
— PSI — Paul Valéry —
1. On montre que tout vecteur x de E s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de F1 et
d’un vecteur de F2 . Pour ce faire, on peut utiliser deux méthodes selon le contexte :
B On connait la forme d’un vecteur x1 de F1 et d’un vecteur x2 de F2 tels que x = x1 + x2 grâce par
exemple à des questions antérieures. Il reste alors uniquement à prouver l’unicité de l’écriture ; ce
qu’on peut faire de manière classique, en supposant que x = x1 + x2 = x01 + x02 où (xi , x0i ) ∈ Fi2 , i =
1 ou 2, on réécrit ces relations sous la forme x1 − x01 = x02 − x2 et on exploite que ce vecteur est à la
fois dans F1 et dans F2 .
B Dans le cas contraire, on suppose que x s’écrit sous la forme x1 + x2 avec (x1 , x2 ) ∈ F1 × F2 et
on cherche une expression de x1 (ou de x2 ) en fonction de x en utilisant les définitions de F1 et de
F2 . Si cette expression est définie de manière unique à partir de x, on a ainsi prouvé que l’écriture
sous forme de somme est unique. Reste ensuite à vérifier que les expressions trouvées pour x1 et x2
conviennent, c’est-à-dire que x1 ∈ F1 , x2 ∈ F2 et x1 + x2 = x.
n o
2. On montre en deux temps que F1 ∩ F2 = ~0 , ou plus précisément que le seul vecteur appartenant à
la fois à F1 et F2 est le vecteur nul puisque F1 ∩ F2 est un sous-espace vectoriel de E ; puis, on prouve
qu’un vecteur x quelconque de E peut s’écrire comme somme d’un élément de F1 et d’un élément de
F2 .
4
Attention à ne pas confondre supplémentaire et complémentaire.
Pourquoi le complémentaire d’un espace vectoriel n’est-il jamais un espace vectoriel ?
1
Z
EXO 1.4
Dans E = C([0, 1]), montrer que les espaces vectoriels F1 = {f ∈ E/
f (t) dt = 0} et F2 = { fonctions constantes }
0
sont supplémentaires.
Corrigé :
Soit f une fonction continue sur [0, 1].
◦ Unicité :
Supposons qu’il existe g ∈ F1 et k ∈ R tels que ∀x ∈ [0, 1] f (x) = g(x) + k.
Z 1
Z 1
Z 1
On a alors
f =
g+
k = k ; d’où l’unicité de k et celle de g définie par g = f − k.
0
0
◦ Existence :
0
1
Z
0
g = 0 et que g est continue, g ∈ F1 ; on
0
identifie constante et fonction constante, donc k ∈ F2 .
2
1
Z
f et ∀x ∈ [0, 1] g(x) = f (x) − k. Alors comme
Posons k =
Aplications linéaires
2.1
Comment montrer qu’une application f de E dans F est linéaire ?
1. On utilise la définition.
A savoir : on considère x et y des éléments de E, λ et µ des scalaires et on vérifie que
f (λx + µy) = λf (x) + µf (y).
2. On essaie d’écrire f comme combinaison linéaire d’applications linéaires de référence.
EXO 2.1
Soit f l’application de R2 dans R2 définie par f (x, y) = (x − y, x + 2y). Montrer que f est linéaire.
Corrigé :
Soient ~
u = (x, y) , ~v = (x0 , y 0 ) des éléments de R2 ; soient α et β des réels. Comme α~
u + β~v = (αx + βx0 , αy + βy 0 ),
f (α~
u + β~v ) = (α(x − y) + β(x0 − y 0 ), α(x + 2y) + 2β(x0 + 2y 0 )) = α(x − y, x + 2y) + β(x0 − y 0 , x0 + 2y 0 ) = αf (~
u) + βf (~v ).
D’où la linéarité de f .
2.2
Comment prouver qu’une application f est un endomorphisme de E ?
On montre que, pour tout vecteur x de E, f (x) ∈ E, puis que f est une application linéaire.
EXO 2.2 Soit n ≥ 1. Montrer que ϕ : P 7→ P 0 est un endomorphisme de Rn [X].
Corrigé :
◦ Si P est un polynôme de degré au plus n, son polynôme dérivé est un polynôme de degré au plus n − 1, et donc appartient
toujours à Rn [X].
◦ Les propriétés de l’opérateur dérivation permettent d’affirmer que ϕ est une application linéaire.
2.3
Comment prouver qu’une application f est un isomorphisme de E dans F ?
On montre que f est une application linéaire de E dans F bijective .
2/4
FM-alglin.tex
Algèbre linéaire 1
FM AL1
2.4
— PSI — Paul Valéry —
Comment prouver qu’une application f est un automorphisme de E ?
On montre que f est une applicationn linéaire bijective de E dans E.
2.5
Comment montrer qu’une application linéaire est injective ?
On cherche à prouver que le noyau de f est réduit au vecteur nul, en prouvant que si x est un vecteur de
Ker f (cad f (x) = ~0), alors x = ~0.
4
Attention ce résultat n’est vrai que si on a d’abord prouvé la linéarité de f , comme le prouve l’exemple
de x 7→ x2 .
EXO 2.5
Corrigé :
Montrer que l’application linéaire de R2 dans R2 définie par f (x, y) = (x + y, x − y) est injective.

x+y = 0
⇐⇒ x = y = 0.
x−y = 0
Le noyau de f étant réduit au vecteur nul, on en déduit que f est injective.
(x, y) ∈ Ker f ⇐⇒ f (x, y) = (0, 0) ⇐⇒
2.6
Comment montrer qu’une application linéaire f est bijective ?
1. On montre que f est injective et surjective.
2. On exhibe une fonction g de F dans E telle que f ◦ g = IdF et g ◦ f = IdE . On peut alors affirmer que
g = f −1 .
EXO 2.6 Soit f est un endomorphisme de E vérifant une relation du type f 2 + 2f + 3 Id = 0. Montrer que f est bijective et
déterminer son inverse.
Corrigé :
On écrit f ◦ (f + 2 Id) = (f + 2 Id) ◦ f = −3 Id et donc f est bijective et f −1 = − 13 (f + 2 Id).
2.7
Comment prouver qu’un endomorphisme p de E est un projecteur ?
Il suffit de vérifier que p ◦ p = p, ( si on sait déjà que p est un endomorphisme de E).
2.8
Comment déterminer les éléments caractéristiques d’un projecteur ?
Il s’agit de préciser Ker p et Im p. Dans le cas d’un projecteur, on a l’équivalence suivante :
x ∈ Im p ⇐⇒ p(x) = x, ce qui facilite souvent la détermination de l’image de p.
Rappelons qu’alors Im p et Ker p sont supplémentaires dans E, ce qui peut éventuellement fournir une
autre technique pour le point méthode 1.4
EXO 2.8
Montrer que l’application linéaire de R2 dans R2 définie par f (x, y) = (4x − 2y, 6x − 3y) est un projeteur. Déterminer
les éléments caractéristiques de f .
Corrigé :
◦ f est un endomorphisme de R2 .
◦ Soit ~
u = (x, y) ∈ R2 . f ◦ f (~
u) = f (4x − 2y, 6x − 3y) = (4(4x − 2y) − 2(6x − 3y), 6(4x − 2y) − 3(6x − 3y)) = (4x − 2y, 6x − 3y).
Donc f ◦ f = f
f est un projecteurde R2 .
4x − 2y = 0
◦ (x, y) ∈ Ker f ⇐⇒
⇐⇒ y = 2x. Donc Ker f est la droite vectorielle engendrée par le vecteur ~a = (1, 2).
6x − 3y = 0

4x − 2y = x
◦ (x, y) ∈ Im f ⇐⇒
⇐⇒ 3x − 2y = 0. Donc Im f est la droite vectorielle dirigée par ~b = (2, 3).
6x − 3y = y
f est la projection sur Vect ~b , parallélement à Vect ~a.
2.9
Comment prouver qu’un endomorphisme s de E est une symétrie ?
Il suffit de prouver que s ◦ s = Id
3/4
— PSI — Paul Valéry —
2.10
Comment déterminer les éléments caractéristiques d’une symétrie ?
Il s’agit de préciser Ker s − Id et Ker s + Id, à savoir l’ensemble des vecteurs de E fixes par s et celui des
vecteurs changés en leurs opposés par s.
Rappelons qu’alors Ker s − Id et Ker s + Id sont supplémentaires dans E, ce qui peut éventuellement
fournir une autre technique pour le point méthode 1.4
On note E l’espace vectoriel des fonctions définies sur R à valeurs dans R. En utilisant l’application ϕ qui à une
EXO 2.10
application f associe l’application g définie par ∀x ∈ R g(x) = f (−x), montrer que l’ensemble des fonctions paires et l’ensemble des
fonctions impaires sont deux sous-espaces vectoriels suppléménetaires de E.
Corrigé :
◦ ϕ est une application linéaire. En effet considérons f1 , f2 des éléments de E, α1 et α2 des réels.
∀x ∈ R ϕ(α1 f1 + α2 f2 )(x) = (α1 f1 + α2 f2 )(−x) = α1 f1 (−x) + α2 f2 (−x) = α1 ϕ(f1 )(x) + α2 ϕ(f2 )(x).
Donc ϕ(α1 f1 + α2 f2 ) = α1 ϕ(f1 ) + α2 ϕ(f2 ).
◦ ∀f ∈ E ϕ(f ) ∈ E.
◦ Si f ∈ E, en posant g = ϕ(f ) et ϕ ◦ ϕ(f )(x) = ϕ(g)(x) = g(−x) = f (x) pour tout réel x. Donc, ϕ ◦ ϕ(f ) = f et ϕ est une
application involutive.
ϕ est donc la symétrie par rapport à Ker(ϕ − IdE ) parallélement à Ker(ϕ + IdE ).
◦ f ∈ Ker(ϕ − IdE ) ⇐⇒ ϕ(f ) = f ⇐⇒ ∀x ∈ R f (−x) = f (x) ⇐⇒ f est paire .
◦ f ∈ Ker(ϕ + IdE ) ⇐⇒ ϕ(f ) = −f ⇐⇒ ∀x ∈ R f (−x) = −f (x) ⇐⇒ f est impaire .
On en déduit d’après une propriété des symétries vectorielles que l’ensemble des fonctions paires et l’ensemble des fonctions
impaires sont deux sous-espaces vectoriels suppléménetaires de E.
3
Familles libres, liées
3.1
Comment prouver qu’une famille finie est liée ?
On essaie de trouver un vecteur de la famille qui s’écrivent comme combinaison linéaire des autres.
EXO 3.1
Corrigé :
Montrer que les vecteurs ~
u = (0, 1), ~v = (1, 1) et w
~ = (2, 3) sont liés.
Il est immédiat que w
~ = 2~v + ~
u. D’où la linéaire dépendance de ces trois vecteurs.
3.2
Comment prouver qu’une famille finie (ai )1≤i≤n est libre ?
On utilise la caractérisation d’une famille libre. Soit (αi )1≤i≤n une famille de scalaires tels que
n
P
αi ai = ~0. On cherche alors à prouver que ∀i ∈ [[1, n]] αi = 0
i=1
EXO 3.2
indépendants.
Corrigé :
Déterminer m ∈ R pour que les trois vecteurs ~
u = (0, 2, 3, 5), ~v = (1, 1, 2, 4) et w
~ = (2, 4, m, 13) soient linéairement
Soient α, β, γ des réels tels que α~
u + β~v + γ w
~ = ~0. On obtient alors le système suivant : (S)
8
>
>
<
β + 2γ
2α + β + 4γ
3α + 2β + mγ
>
>
:
5α + 4β + 13γ
=
=
=
=
0
0
0
0
8
>
>
<
8
β
= −2γ
β
= −2γ
<
2α + 2γ
=
0
α
=
−γ
(S) ⇐⇒
⇐⇒
3α + (m − 4)γ =
0
>
:
>
(m − 7)γ =
0
:
5α + 5γ
=
0
Si m 6= 7, (S) ⇐⇒ α = β = γ = 0. La famille est libre.
Si m = 7, w
~ =~
u + 2~v . La famille est liée.
Conclusion : les trois vecteurs forment une famille libre si et seulement si m 6= 7.
4/4
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