Structures Algébriques

L3 semestre 5
2012-2013
Institut Galilée
Université Paris XIII
Structures Algébriques
Groupes : exercices
Exercice 1
Soit (G, ∗) un ensemble muni d’une loi de composition associative. Montrer que G est un groupe si et
seulement s’il existe un élément e ∈ G tel que pour tout g ∈ G, on ait à la fois g ∗ e = g et un élément
g 0 ∈ G tel que g ∗ g 0 = e.
Exercice 2
Soit (G, ∗) un ensemble fini muni d’une loi de composition associative. Montrer que G possède un
idempotent 1 .
Exercice 3
Soit (G, ∗) un ensemble muni d’une loi de composition associative. Montrer que G est un groupe si et
seulement si pour tout couple (g, g 0 ) de G2 , les équations x ∗ g = g 0 et g ∗ y = g 0 ont une solution.
Exercice 4
Si g et g 0 sont des éléments d’un groupe G, montrer qu’il existe un unique x ∈ G tel que xg = g 0 .
Montrer de même qu’il existe un unique y ∈ G tel que gy = g 0 .
Exercice 5
Les ensembles suivants munis des lois indiquées sont-ils des groupes ? Si ce n’est pas le cas, indiquer
là où le bât blesse.
1. (N, +)
5. ({−1, 1}, ×)
2. (Z∗ , ×)
6. ({z ∈ C, z n = 1}, ×)
3. (Q, ×)
7. (GLn (R), +)
4. ({rotations du plan de centre 0}, ◦)
8. (GLn (R), ×).
Exercice 6
L’ensemble X = {x ∈ R, x > 0 et x 6= 1} est-il un groupe pour la loi x ∗ y = xln(y) ?
Exercice 7
Soit G un groupe possédant un unique élément g d’ordre 2. Montrer que g commute à tous les éléments
de G.
Exercice 8
Montrer que si G est un groupe de type fini 2 , alors le cardinal de G est au plus dénombrable.
Exercice 9
Montrer qu’un groupe G dans lequel tous les éléments non-neutres sont d’ordre 2 est commutatif.
Exercice 10
Montrer qu’un groupe G est abélien si et seulement si l’application g 7→ g −1 est un morphisme de
groupes.
1. On dit que g ∈ G est un idempotent si g ∗ g = g.
2. Un groupe G est de type fini s’il est engendré par un nombre fini d’éléments.
1
Exercice 11
Montrer qu’un groupe G est abélien si et seulement si l’application g 7→ g 2 est un morphisme de
groupes.
Exercice 12
Montrer que pour tout élément g d’un groupe G, la translation τg : G −→ G définie par g 0 7→ gg 0 est
une bijection.
Exercice 13
Soit G un groupe fini dans lequel tous les éléments non neutres sont conjugués deux à deux 3 . Montrer
que soit G est trivial, soit G ' Z/2Z.
Exercice 14
Décrire l’ensemble des groupes pour lesquels l’ensemble des sous-groupe est fini.
Exercice 15
Etudier le groupe multiplicatif (Z/20Z)∗ .
Exercice 16
√
Montrer que {x ∈ R∗ , x = a + b 2, (a, b) ∈ Q2 } est un sous-groupe de (R∗ , ×).
Exercice 17
Soit H8 = {±1, ±i, ±j, ±k} 4 le groupe des quaternions. Ecrire la table de multiplication dans H8 , et
montrer que tous les sous-groupes de H8 sont distingués. Identifier tous les quotients possible de H8
par un sous-groupe.
Exercice 18
Montrer qu’il n’existe (à isomorphisme près) que deux groupes d’ordre 6.
Exercice 19
Soit G un groupe abélien d’ordre n. Montrer que pour tout entier k premier à n, l’application g 7→ g k
est un automorphisme de groupes.
Exercice 20
Q
Soit G un groupe commutatif d’ordre n. Montrer en considérant l’élément x = h∈G h que pour tout
g ∈ G, g n = e.
Exercice 21
Montrer que le groupe (Q, +) n’est pas de type fini 5 .
Exercice 22
Soit p un nombre premier et G un groupe de cardinal p. Montrer que G est cyclique.
3. i.e. ∀(g, g 0 ) ∈ G2 , ∃h ∈ G, g = hg 0 h−1 .
4. On définit la loi dans H8 par ij = −ji = k et i2 = j 2 = k2 = −1.
5. i.e. n’est pas engendré par un nombre fini d’éléments.
2
Exercice 23
Montrer que si p et q sont des nombres premiers distincts, tout groupe abélien G d’ordre pq est cyclique.
Et si G n’est pas abélien ?
Exercice 24
Si k et n sont deux entiers, quel est l’ordre de k dans Z/nZ ?
Exercice 25
Quel est le plus petit entier n tel qu’il existe un groupe non-commutatif de cardinal n ?
Exercice 26
Si F est un corps, déterminer le centre de GLn (F ) 6 .
Exercice 27
Si p est un nombre premier, déterminer le cardinal de GLn (Z/pZ).
Exercice 28
Si p est un nombre premier, déterminer le cardinal du groupe SLn (Z/pZ) 7 . Faire de même avec
P GLn (Z/pZ) 8 .
Exercice 29
On considère le groupe Dn des isométries du plan qui laissent stable le polygone régulier à n côtés
centré en 0. Montrer que Dn est engendré par deux éléments r et s qui vérifient les relations rn = 1,
s2 = 1 et srs = r−1 . Déterminer le cardinal de Dn et montrer que D3 ' S3 .
Exercice 30
(Formule de Wilson) Montrer qu’un entier p ≥ 2 est premier si et seulement si (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Exercice 31
Soit G un sous-ensemblePfini de Mn (R) qui est un groupe pour la multiplication matricielle. Montrer
que Card(G) divise T r( M ∈G M ).
Exercice 32
Montrer que le groupe dérivé D(G) 9 d’un groupe G est un sous-groupe distingué, et qu’il s’agit du
plus petit sous-groupe distingué H de G tel que le quotient G/H est commutatif.
Identifier le groupe D(G) lorsque G = A4 , G = Sn (n ≥ 3), G = Dn .
Exercice 33
Donner deux groupes G et G0 dont les groupes dérivés9 respectifs D(G) et D(G0 ) sont isomorphes à
D1 = Z/2Z et D2 = Z/2Z × Z/2Z. Montrer en revanche qu’il n’existe pas de groupe G dont le groupe
dérivé est isomorphe à Dn , pour n ≥ 3.
Exercice 34
Montrer que tout groupe abélien fini est un groupe dérivé.
6. Si G est un groupe, son centre Z(G) est {g ∈ G, ∀g 0 ∈ G, gg 0 = g 0 g}.
7. SLn (Z/pZ) est l’ensemble des matrices de Mn (Z/pZ) qui sont de déterminant 1.
8. P GLn (Z/pZ) est le quotient de GLn (Z/pZ) par son centre.
9. D(G) est le sous-groupe de G engendré par les commutateurs, i.e. les éléments de la forme g −1 h−1 gh, pour
(g, h) ∈ G2 .
3
Exercice 35
Soit G un groupe fini, et ok (G) l’ensemble des éléments de G d’ordre k. Montrer o3 (G) est pair et que
Card(G) − o2 (G) est impair.
Exercice 36
Soient g, g 0 des éléments d’un groupe fini G. Montrer que gg 0 g −1 et g 0 sont de même ordre. Faire de
même avec gg 0 et g 0 g.
Exercice 37
Montrer qu’un groupe fini G tel que pour tout g ∈ G, g 2 = e est un groupe abélien d’ordre une
puissance de 2.
Exercice 38
Montrer que si G est un groupe abélien, l’ensemble des éléments d’ordre fini dans G est un groupe.
Montrer que ce n’est pas le cas si G n’est pas abélien (on pourra par exemple considérer le groupe
GL2 (F ), pour un corps F ).
Exercice 39
Soit G un groupe et soient a et b des éléments de G d’ordres respectifs m et n tels que ab = ba et
pgcd(m, n) = 1. Montrer que l’ordre de ab est mn. Trouver des contre exemples lorsque l’on ne suppose
pas ab = ba ou pgcd(m, n) = 1.
Exercice 40
Montrer qu’un groupe abélien est simple 10 si et seulement s’il est d’ordre premier.
Exercice 41
Soit G un groupe abélien fini et p un diviseur premier de Card(G). Montrer par récurrence sur Card(G)
que G possède un élément d’ordre p.
Exercice 42
Montrer que pour tout entier n, le groupe (Q/Z, +) possède un unique sous-groupe d’ordre n.
Exercice 43
Vérifier que l’intersection de deux sous-groupes H, K d’un groupe G est un sous-groupe de G. Montrer
que H ∪ K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H.
Exercice 44
Soient H et K deux sous-groupe d’un groupe G dont les ordres respectifs m et n sont premiers entre
eux. Montrer que H ∩ K = {e}.
Exercice 45
Soient H, J, K des sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H ⊂ K ⇒ H + (J ∩ K) = (H + J) ∩ K.
Exercice 46
Soient H et K deux sous-groupes finis d’un groupe G. Montrer que le cardinal du sous-groupe de G
engendré par H et K est supérieur à Card(H)Card(K)
.
Card(H∩K)
10. Un groupe G est dit simple s’il ne possède pas de sous-groupe distingué non-trivial.
4
Exercice 47
Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G tels que |G : H| et |G : K| soient premiers entre eux.
Montrer que G = HK.
Exercice 48
Soient H et K deux sous-groupes stricts d’un groupe G tel que G = HK. Montrer que H et K ne sont
pas conjugués.
Exercice 49
Soit H un sous-groupe strict d’un groupe G. Déterminer le sous-groupe de G engendré par le complémentaire
de H.
Exercice 50
Montrer que si H et K sont deux sous-groupes stricts d’un groupe G, on a H ∪ K 6= G.
Exercice 51
S
Soit H un sous-groupe strict d’un groupe fini G. Montrer que G 6= g∈G gHg −1 .
Exercice 52
Trouver un contre exemple à l’exercice 51 si l’on ne suppose plus que G est fini. On pourra considérer
pour G l’ensemble des bijections de N à support fini.
Exercice 53
Montrer que pour tout (m, n) ∈ N∗ , on a un isomorphisme m·(Z/nZ) ' Z/(pgcd(m, n)Z
Exercice 54
Un sous-groupe du produit G × G0 de deux groupes est-il toujours le produit de deux sous-groupes
respectifs de G et G0 ?
Exercice 55
Soient H et K deux sous-groupes distingués d’un même groupe G tels que H ∩ K = {e}. Montrer que
les éléments de H commutent à ceux de K.
Exercice 56
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d’indice 2. Montrer que H est distingué dans G.
Exercice 57
Montrer que le centre Z(G) 11 d’un groupe G est un sous-groupe distingué de G. Montrer que si
G/Z(G) est cyclique, alors G est abélien.
Exercice 58
Soit ϕ : G −→ G0 un morphisme de groupes. Montrer que si H 0 est un sous-groupe distingué de G0 ,
alors ϕ−1 (H 0 ) est distingué dans G.
Montrer que si ϕ est surjective, l’image d’un sous-groupe distingué de G est distinguée dans G0 . Et si
ϕ n’est pas surjective ?
11. On rappelle que Z(G) = {g ∈ G, ∀g 0 ∈ G gg 0 = g 0 g}
5
Exercice 59
Donner un exemple de sous-groupe d’un groupe G qui est distingué mais n’est pas caractéristique 12 .
Exercice 60
Montrer que si H est un sous groupe distingué de G et K est un sous-groupe caractéristique de H,
alors K est distingué dans G.
Exercice 61
Montrer que si H est un sous-groupe caractéristique de G et K est un sous-groupe caractéristique de
H, alors K est un sous-groupe caractéristique de G.
Trouver un contre exemple à la même assertion lorsque ”caractéristique” est remplacé par ”distingué”.
Exercice 62
Soit G un groupe et H un sous-groupe strict et distingué de G. Montrer que s’il n’existe pas de
sous-groupe K de G satisfaisant H ( K ( G, alors l’indice de H dans G est un nombre premier.
Exercice 63
Existe-t-il un groupe G dans lequel les sous-groupes distingués sont caractéristiques, bien qu’il possède
des automorphismes extérieurs ?
Exercice 64
Montrer à l’aide de l’exercice 41 que si G est un groupe abélien et k est un diviseur de Card(G), alors
G possède un sous-groupe d’ordre k. Et si G n’est pas commutatif ?
Exercice 65
Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que si H est distingué dans G, alors HK
est un groupe. Montrer que si de plus K est aussi distingué dans G, HK est un sous-groupe distingué
dans G.
Exercice 66
Soit G un groupe fini d’ordre n = ab, a et b étant premiers entre eux. Montrer que si H (resp. K) est
un sous groupe de G d’ordre a (resp. b) alors G = HK. Le groupe G est-il isomorphe à H × K ?
Exercice 67
Montrer que H =
a
b
−b
2
2
, a + b = 1 est un sous-groupe de GL2 (R).
a
Exercice 68
Montrer que le groupe spécial orthogonal SOn (R) est un sous-groupe distingué de On (R). Décrire le
groupe quotient On (R)/SOn (R).
Exercice 69
Déterminer les sous-groupes finis du groupe (R∗ , ×).
Exercice 70
Soit H un sous-groupe d’indice fini de (C∗ , ×). Montrer que H = C∗ .
12. On rappelle que H est distingué (resp. caractéristique) si H est stable par Inn(G) (resp. par Aut(G)).
6
Exercice 71
Montrer que si H est un sous-groupe d’indice fini de (Q, +), alors H = Q.
Exercice 72
Soit G un groupe d’ordre 2n, pour n impair et H un sous-groupe d’ordre n de G tel que pour tout
couple (h, g) ∈ H × (G \ H), ghg −1 = h−1 . Montrer que H est commutatif et que tout élément de
G \ H est d’ordre 2.
Exercice 73
Soit G un groupe d’ordre 2p, p étant premier et impair. Montrer que si G contient un sous-groupe
normal d’ordre 2, G est cyclique.
Exercice 74
Montrer que si p est un nombre premier impair, l’ensemble des carrés de (Z/pZ)∗ est de cardinal
p−1
et correspond à l’ensemble des racines du polynôme X 2 − 1̄.
p−1
2
Exercice 75
Déterminer tous les morphismes de groupes (Z/nZ, +) −→ (C∗ , ×).
Exercice 76
Déterminer le nombre d’automorphismes du groupe Z/2Z×Z/2Z.
Exercice 77
Pour n ≥ 2, déterminer les morphismes de groupes Sn −→ (C∗ , ×).
Exercice 78
Déterminer le nombre de morphismes de groupes ϕ : Z/2Z × Z/2Z −→ S3 .
Exercice 79
Déterminer la structure et le cardinal du groupe des automorphismes d’un groupe cyclique.
Exercice 80
Déterminer tous les automorphismes du groupe (Q, +).
Exercice 81
Soit G le groupe (multiplicatif) des nombres rationnels strictement positifs. Déterminer tous les morphismes de groupes (Q, +) −→ G.
Exercice 82
Les groupes (Q, +) et (Q∗ , ×) sont-ils isomorphes ?
Exercice 83
Montrer que pour tout groupe G, on a un isomorphisme G/Z(G) ' Inn(G). 13
Exercice 84
Pour tout n ≥ 3, déterminer le centre du groupe diédral Dn .
13. Inn(G) est l’ensemble des automorphismes intérieurs de G, i.e Inn(G) = {ϕg , ϕg (α) = gαg −1 , g ∈ G}.
7
Exercice 85
Montrer que si ϕ : G −→ G0 est un isomorphisme de groupes, alors ϕ induit un isomorphisme entre les
centres de G et G0 . En déduire qu’il n’existe pas d’isomorphisme de groupes ϕ : GLn (R) −→ GLn (C).
Exercice 86
Montrer que si G est un groupe dont l’ensemble des automorphismes est réduit à idG , alors G est soit
trivial, soit isomorphe à Z/2Z.
Exercice 87
Soit ϕ un automorphisme d’un groupe fini G dont le seul point fixe est l’élément neutre. Montrer que
tout élément g ∈ G s’écrit h−1 ϕ(h), pour un certain h ∈ G.
Montrer que si ϕ est une involution 14 , alors l’ordre de G est impair et pour tout g ∈ G, ϕ(g) = g −1 .
Exercice 88
Soit G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrer que si H est cyclique, les éléments de
H et du groupe dérivé D(G) commutent.
Exercice 89
Si G et G0 sont deux groupes finis d’ordres premiers entre eux, montrer que Aut(G×G0 ) ' Aut(G×G0 ).
Exercice 90
Montrer que tout groupe d’ordre n est un sous-groupe de Sn .
Exercice 91
Montrer que tout groupe d’ordre n est un sous-groupe de SOn (R).
Exercice 92
Montrer que tout groupe d’ordre n est un sous-groupe de An+2 .
Exercice 93
Soit n ≥ 2 et H le sous-groupe de Sn des permutations qui laissent stable l’élément n. Montrer
que H est un groupe isomorphe à Sn−1 et que l’ensemble Sn /H des classes à gauche modulo H est
{H, (1 n)H, (2 n)H, ..., (n − 1 n)H}. Retrouver le cardinal de Sn .
Exercice 94
Montrer que le produit de deux transpositions peut s’écrire ou bien comme un 3-cycle, ou bien comme
le produit de deux 3-cycles. En déduire que An est engendré par les 3-cycles, puis que An est engendré
par l’ensemble {(123), ..., (12n)}.
Exercice 95
Décomposer en cycles à supports disjoints les permutations suivantes, et déterminer leur signature :
1
3
2
5
3
2
4
1
5
7
6
6
7
4
1 2
7 5
3 4 5
1 4 2
6 7
3 6
14. On rappelle que ϕ : G −→ G est une involution si ϕ ◦ ϕ = id.
8
1 2
5 7
3 4 5
1 4 3
6 7
6 2
Exercice 96
Montrer que si c = (a1 ...ak ) ∈ Sn est un k-cycle, alors pour toute permutation σ ∈ Sn , σ ◦ c ◦ σ −1
correspond au cycle (σ(a1 )...σ(ak )).
En déduire que le nombre de classes de conjugaison de Sn correspond au nombre de partitions de
l’entier n 15 , et calculer explicitement le nombre de classes de conjugaison dans S5 .
Exercice 97
Montrer que le seul sous-groupe distingué de Sn qui contient une transposition est Sn lui-même.
Exercice 98
Montrer qu’une permutation d’ordre 10 dans S8 n’appartient pas à A8 .
Exercice 99
Montrer que tout 3-cycle est un carré dans Sn , et que le groupe An est engendré par les carrés de
permutations. En déduire que An est le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn .
Exercice 100
Le but de cet exercice est de calculer le nombre Pn des permutations de Sn n’ayant aucun point fixe.
Montrer que pour tout n ≥ 2, on a la relation Pn+1 = n(Pn + Pn−1 ). En déduire que pour tout n ≥ 2,
k
Pn
Pn = nPn−1 + (−1)n puis que Pn = n! k=0 (−1)
k! .
Exercice 101
Montrer que pour tout entier n, le groupe An est un sous-groupe caractéristique de Sn .
Exercice 102
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d’indice fini. Montrer que G contient un sous-groupe
distingué K d’indice fini tel que K ⊂ H.
Exercice 103
Déterminer le plus petit entier k tel que pour tout σ ∈ S9 , σ k = id. Faire de même pour le groupe A9 .
Exercice 104
Soit G un sous-groupe commutatif de S999 d’ordre 1111. Montrer qu’il existe un point fixe i de
{1, ..., 999} commun à tous les éléments de G.
Exercice 105
Soit p un nombre premier ne divisant pas n et G un sous-groupe de Sn d’ordre pk . Montrer qu’il existe
un point fixe i ∈ {1, ..., n} commun à tous les éléments de G
Exercice 106
Soit G un groupe. On dit qu’un sous-groupe H de G est co-central si G = Z(G)H. Montrer que si H
est co-central dans G, alors Z(H) = Z(G). En déduire que si G est un p-groupe non abélien, alors il
n’existe pas de sous-groupe H de G tel que G ' Z(G) × H.
15. Le nombre de partitions d’un entier n est le nombre de façons d’écrire n comme somme d’entiers strictement
positifs.
9
Exercice 107
Soit G un groupe fini et X l’ensemble des sous-groupes de G. Montrer que si H est un sous-groupe
fixé de G, le nombre de conjugués de H divise Card(G). De même montrer que si g est un élément de
G, le nombre de conjugués de g divise Card(G).
Exercice 108
Soit G un groupe d’ordre pn agissant sur un ensemble fini X de cardinal premier à p. Montrer que X
possède un point fixe 16 pour cette action.
Exercice 109
Montrer que si p est un nombre premier, et si G est un p-groupe non-trivial le centre de G n’est pas
réduit à l’élément neutre. En déduire que tout groupe d’ordre p2 est abélien.
Exercice 110
Soit G un groupe d’ordre pn et H un sous-groupe distingué de G non réduit à {e}. Montrer que
H ∩ Z(G) 6= 1 et en déduire que tout sous-groupe normal de G d’ordre p est contenu dans Z(G).
Exercice 111
Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X. Montrer que pour x ∈ X, Stab(x) est un sous-groupe
distingué de G si et seulement si pour tout y ∈ G.x, Stab(y) = Stab(x).
Exercice 112
On considère l’action naturelle de G = GL2 (R) sur X = R2 . Pour chacun des sous-groupes suivants
1
de G, déterminer les orbites de X ainsi que le stabilisateur du vecteur v =
.
0
a 0
1. H1 =
, a>0
0 a
1 x
2. H2 =
, x∈R
0 1
0 −1
3. H3 =
1 0
Exercice 113
Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X. Montrer qu’un sous-ensemble Y de X est stable par
l’action de G si et seulement si Y est une union d’orbites d’éléments de X.
Exercice 114
Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X. On considère g, g 0 des éléments de G et on note
Y = F ix(g) 17 . Montrer que si gg 0 = g 0 g, alors g 0 .y ∈ Y , pour tout y ∈ Y .
Donner un exemple pour lequel gg 0 6= g 0 g et il existe un élément y ∈ Y tel que g 0 .y ∈
/ Y.
Exercice 115
On suppose qu’un groupe G agit transitivement sur deux ensembles X et Y . Montrer que s’il existe
une application ensembliste f : X −→ Y qui est G-équivariante 18 , Card(Y ) divise Card(X).
16. x ∈ X est un point fixe si pour tout g ∈ G, g · x = x.
17. On rappelle que F ix(g) = {x ∈ X, g.x = x}.
18. i.e. pour tout couple (g, x) ∈ G × X, f (g.x) = g.f (x).
10
Exercice 116
Soit G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. Montrer que pour tout nombre premier p,
le nombre de p-Sylow de H divise le nombre de p-Sylow de G. Montrer que le nombre de p-Sylow de
G/H divise lui aussi le nombre de p-Sylow de G.
Exercice 117
Soit n > 4 un entier et X un ensemble sur lequel Sn agit transitivement. Montrer que soit Card(X) ≤ 2,
soit Card(X) ≥ n.
Exercice 118
Montrer que pour tout n ≥ 3, un groupe simple G de cardinal supérieur à n! n’a pas de sous-groupe
d’indice n.
Exercice 119
On suppose qu’un groupe G d’ordre 10 agit sur un ensemble X de cardinal 13 de telle sorte qu’aucune
orbite n’est réduite à 1 élément. Déterminer le nombre d’orbites pour cette action ainsi que le cardinal
de chacune d’entre elles.
Exercice 120
Soit G un groupe d’ordre n possédant un sous-groupe strict H d’ordre m, et tel que
Montrer que G n’est pas simple.
n
m
! < 2n.
Exercice 121
Montrer que si G est un groupe ne contenant pas de sous-groupe d’indice 2, alors tout sous-groupe
d’indice 3 de G est distingué.
Exercice 122
Montrer qu’il n’y a pas de groupe simple 19 d’ordre 945.
Exercice 123
Montrer que tout groupe d’ordre 35 est commutatif.
Exercice 124
Déterminer les sous-groupes de Sylow du groupe A4 . Vérifier que les résultats sont cohérents avec les
théorèmes de Sylow.
Exercice 125
Soit G un groupe fini et P un p-Sylow de G. Montrer que si H est un sous-groupe distingué de G,
P ∩ H est un p-Sylow de H. Montrer de même que P H/H est un p-Sylow de G/H. Exhiber un contre
exemple si H n’est pas distingué dans G.
Exercice 126
Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre 36.
Exercice 127
Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre p2 q 2 , p et q étant deux nombres premiers distincts
(on pourra utiliser l’exercice 126).
19. Un groupe G est simple s’il ne possède pas de sous-groupe distingué non trivial.
11
Exercice 128
Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre 400.
Exercice 129
Pour tout entier impair n, déterminer le nombre de 2-Sylow de Dn .
12