Structures Algébriques

Institut Galil´ ee
Universit´ e Paris XIII
L3 semestre 5
2012-2013
Structures Alg´ebriques
Groupes : exercices
Exercice 1
Soit (G, ∗) un ensemble muni d’une loi de composition associative. Montrer que Gest un groupe si et
seulement s’il existe un ´el´ement e∈Gtel que pour tout g∈G, on ait `a la fois g∗e=get un ´el´ement
g0∈Gtel que g∗g0=e.
Exercice 2
Soit (G, ∗) un ensemble fini muni d’une loi de composition associative. Montrer que Gposs`ede un
idempotent 1.
Exercice 3
Soit (G, ∗) un ensemble muni d’une loi de composition associative. Montrer que Gest un groupe si et
seulement si pour tout couple (g, g0) de G2, les ´equations x∗g=g0et g∗y=g0ont une solution.
Exercice 4
Si get g0sont des ´el´ements d’un groupe G, montrer qu’il existe un unique x∈Gtel que xg =g0.
Montrer de mˆeme qu’il existe un unique y∈Gtel que gy =g0.
Exercice 5
Les ensembles suivants munis des lois indiqu´ees sont-ils des groupes ? Si ce n’est pas le cas, indiquer
l`a o`u le bˆat blesse.
1.(N,+) 2.(Z∗,×) 3.(Q,×) 4.({rotations du plan de centre 0},◦)
5.({−1,1},×) 6.({z∈C, zn= 1},×) 7.(GLn(R),+) 8.(GLn(R),×).
Exercice 6
L’ensemble X={x∈R, x > 0 et x6= 1}est-il un groupe pour la loi x∗y=xln(y)?
Exercice 7
Soit Gun groupe poss´edant un unique ´el´ement gd’ordre 2. Montrer que gcommute `a tous les ´el´ements
de G.
Exercice 8
Montrer que si Gest un groupe de type fini 2, alors le cardinal de Gest au plus d´enombrable.
Exercice 9
Montrer qu’un groupe Gdans lequel tous les ´el´ements non-neutres sont d’ordre 2 est commutatif.
Exercice 10
Montrer qu’un groupe Gest ab´elien si et seulement si l’application g7→ g−1est un morphisme de
groupes.
1. On dit que g∈Gest un idempotent si g∗g=g.
2. Un groupe Gest de type fini s’il est engendr´e par un nombre fini d’´el´ements.
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Exercice 11
Montrer qu’un groupe Gest ab´elien si et seulement si l’application g7→ g2est un morphisme de
groupes.
Exercice 12
Montrer que pour tout ´el´ement gd’un groupe G, la translation τg:G−→ Gd´efinie par g07→ gg0est
une bijection.
Exercice 13
Soit Gun groupe fini dans lequel tous les ´el´ements non neutres sont conjugu´es deux `a deux 3. Montrer
que soit Gest trivial, soit G'Z/2Z.
Exercice 14
D´ecrire l’ensemble des groupes pour lesquels l’ensemble des sous-groupe est fini.
Exercice 15
Etudier le groupe multiplicatif (Z/20Z)∗.
Exercice 16
Montrer que {x∈R∗, x =a+b√2,(a, b)∈Q2}est un sous-groupe de (R∗,×).
Exercice 17
Soit H8={±1,±i, ±j, ±k}4le groupe des quaternions. Ecrire la table de multiplication dans H8, et
montrer que tous les sous-groupes de H8sont distingu´es. Identifier tous les quotients possible de H8
par un sous-groupe.
Exercice 18
Montrer qu’il n’existe (`a isomorphisme pr`es) que deux groupes d’ordre 6.
Exercice 19
Soit Gun groupe ab´elien d’ordre n. Montrer que pour tout entier kpremier `a n, l’application g7→ gk
est un automorphisme de groupes.
Exercice 20
Soit Gun groupe commutatif d’ordre n. Montrer en consid´erant l’´el´ement x=Qh∈Ghque pour tout
g∈G,gn=e.
Exercice 21
Montrer que le groupe (Q,+) n’est pas de type fini 5.
Exercice 22
Soit pun nombre premier et Gun groupe de cardinal p. Montrer que Gest cyclique.
3. i.e. ∀(g, g0)∈G2,∃h∈G, g =hg0h−1.
4. On d´efinit la loi dans H8par ij =−ji =ket i2=j2=k2=−1.
5. i.e. n’est pas engendr´e par un nombre fini d’´el´ements.
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Exercice 23
Montrer que si pet qsont des nombres premiers distincts, tout groupe ab´elien Gd’ordre pq est cyclique.
Et si Gn’est pas ab´elien ?
Exercice 24
Si ket nsont deux entiers, quel est l’ordre de kdans Z/nZ?
Exercice 25
Quel est le plus petit entier ntel qu’il existe un groupe non-commutatif de cardinal n?
Exercice 26
Si Fest un corps, d´eterminer le centre de GLn(F)6.
Exercice 27
Si pest un nombre premier, d´eterminer le cardinal de GLn(Z/pZ).
Exercice 28
Si pest un nombre premier, d´eterminer le cardinal du groupe SLn(Z/pZ)7. Faire de mˆeme avec
P GLn(Z/pZ)8.
Exercice 29
On consid`ere le groupe Dndes isom´etries du plan qui laissent stable le polygone r´egulier `a ncˆot´es
centr´e en 0. Montrer que Dnest engendr´e par deux ´el´ements ret squi v´erifient les relations rn= 1,
s2= 1 et srs =r−1. D´eterminer le cardinal de Dnet montrer que D3'S3.
Exercice 30
(Formule de Wilson) Montrer qu’un entier p≥2 est premier si et seulement si (p−1)! ≡ −1 (mod p).
Exercice 31
Soit Gun sous-ensemble fini de Mn(R) qui est un groupe pour la multiplication matricielle. Montrer
que Card(G) divise T r(PM∈GM).
Exercice 32
Montrer que le groupe d´eriv´e D(G)9d’un groupe Gest un sous-groupe distingu´e, et qu’il s’agit du
plus petit sous-groupe distingu´e Hde Gtel que le quotient G/H est commutatif.
Identifier le groupe D(G) lorsque G=A4,G=Sn(n≥3), G=Dn.
Exercice 33
Donner deux groupes Get G0dont les groupes d´eriv´es9respectifs D(G) et D(G0) sont isomorphes `a
D1=Z/2Zet D2=Z/2Z×Z/2Z. Montrer en revanche qu’il n’existe pas de groupe Gdont le groupe
d´eriv´e est isomorphe `a Dn, pour n≥3.
Exercice 34
Montrer que tout groupe ab´elien fini est un groupe d´eriv´e.
6. Si Gest un groupe, son centre Z(G) est {g∈G, ∀g0∈G, gg0=g0g}.
7. SLn(Z/pZ) est l’ensemble des matrices de Mn(Z/pZ) qui sont de d´eterminant 1.
8. P GLn(Z/pZ) est le quotient de GLn(Z/pZ) par son centre.
9. D(G) est le sous-groupe de Gengendr´e par les commutateurs, i.e. les ´el´ements de la forme g−1h−1gh, pour
(g, h)∈G2.
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Exercice 35
Soit Gun groupe fini, et ok(G) l’ensemble des ´el´ements de Gd’ordre k. Montrer o3(G) est pair et que
Card(G)−o2(G) est impair.
Exercice 36
Soient g,g0des ´el´ements d’un groupe fini G. Montrer que gg0g−1et g0sont de mˆeme ordre. Faire de
mˆeme avec gg0et g0g.
Exercice 37
Montrer qu’un groupe fini Gtel que pour tout g∈G,g2=eest un groupe ab´elien d’ordre une
puissance de 2.
Exercice 38
Montrer que si Gest un groupe ab´elien, l’ensemble des ´el´ements d’ordre fini dans Gest un groupe.
Montrer que ce n’est pas le cas si Gn’est pas ab´elien (on pourra par exemple consid´erer le groupe
GL2(F), pour un corps F).
Exercice 39
Soit Gun groupe et soient aet bdes ´el´ements de Gd’ordres respectifs met ntels que ab =ba et
pgcd(m, n) = 1. Montrer que l’ordre de ab est mn. Trouver des contre exemples lorsque l’on ne suppose
pas ab =ba ou pgcd(m, n) = 1.
Exercice 40
Montrer qu’un groupe ab´elien est simple 10 si et seulement s’il est d’ordre premier.
Exercice 41
Soit Gun groupe ab´elien fini et pun diviseur premier de Card(G). Montrer par r´ecurrence sur Card(G)
que Gposs`ede un ´el´ement d’ordre p.
Exercice 42
Montrer que pour tout entier n, le groupe (Q/Z,+) poss`ede un unique sous-groupe d’ordre n.
Exercice 43
V´erifier que l’intersection de deux sous-groupes H,Kd’un groupe Gest un sous-groupe de G. Montrer
que H∪Kest un sous-groupe de Gsi et seulement si H⊂Kou K⊂H.
Exercice 44
Soient Het Kdeux sous-groupe d’un groupe Gdont les ordres respectifs met nsont premiers entre
eux. Montrer que H∩K={e}.
Exercice 45
Soient H,J,Kdes sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H⊂K⇒H+ (J∩K)=(H+J)∩K.
Exercice 46
Soient Het Kdeux sous-groupes finis d’un groupe G. Montrer que le cardinal du sous-groupe de G
engendr´e par Het Kest sup´erieur `a Card(H)Card(K)
Card(H∩K).
10. Un groupe Gest dit simple s’il ne poss`ede pas de sous-groupe distingu´e non-trivial.
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Exercice 47
Soient Het Kdeux sous-groupes d’un groupe Gtels que |G:H|et |G:K|soient premiers entre eux.
Montrer que G=HK.
Exercice 48
Soient Het Kdeux sous-groupes stricts d’un groupe Gtel que G=HK. Montrer que Het Kne sont
pas conjugu´es.
Exercice 49
Soit Hun sous-groupe strict d’un groupe G. D´eterminer le sous-groupe de Gengendr´e par le compl´ementaire
de H.
Exercice 50
Montrer que si Het Ksont deux sous-groupes stricts d’un groupe G, on a H∪K6=G.
Exercice 51
Soit Hun sous-groupe strict d’un groupe fini G. Montrer que G6=Sg∈GgHg−1.
Exercice 52
Trouver un contre exemple `a l’exercice 51 si l’on ne suppose plus que Gest fini. On pourra consid´erer
pour Gl’ensemble des bijections de N`a support fini.
Exercice 53
Montrer que pour tout (m, n)∈N∗, on a un isomorphisme m·(Z/nZ)'Z/(pgcd(m, n)Z
Exercice 54
Un sous-groupe du produit G×G0de deux groupes est-il toujours le produit de deux sous-groupes
respectifs de Get G0?
Exercice 55
Soient Het Kdeux sous-groupes distingu´es d’un mˆeme groupe Gtels que H∩K={e}. Montrer que
les ´el´ements de Hcommutent `a ceux de K.
Exercice 56
Soit Gun groupe et Hun sous-groupe de Gd’indice 2. Montrer que Hest distingu´e dans G.
Exercice 57
Montrer que le centre Z(G)11 d’un groupe Gest un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que si
G/Z(G) est cyclique, alors Gest ab´elien.
Exercice 58
Soit ϕ:G−→ G0un morphisme de groupes. Montrer que si H0est un sous-groupe distingu´e de G0,
alors ϕ−1(H0) est distingu´e dans G.
Montrer que si ϕest surjective, l’image d’un sous-groupe distingu´e de Gest distingu´ee dans G0. Et si
ϕn’est pas surjective ?
11. On rappelle que Z(G) = {g∈G, ∀g0∈G gg0=g0g}
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