Le théorème des nombres premiers A Introduction On sait depuis Euclide que l'ensemble P des nombres premiers est in ni . En effet, si p est premier, le plus petit diviseur premier de 1 + p! dépasse p . La répartition des nombres premiers a été étudiée par des générations de mathématiciens, mais il a fallu attendre 1896 pour que le résultat asymptotique suivant soit en n démontré . Théorème des nombre premiers (TNP) Si on note (x) le nombre d'éléments de P inférieurs ou égaux à x , alors (x) s x . ln x Petite chronologie On peut dresser une liste (non exhaustive) de mathématiciens célèbres ayant contribué à cette étude : EUCLIDE (Grec 330-275 av JC) montre que P est in ni . P 1 Leonhard EULER (Suisse 1707-1783) démontre que : diverge . p p Adrien LEGENDRE (Français 1752-1833) consacre un ouvrage à la théorie des nombres . Carl GAUSS (Allemand 1777-1855) est le premier à conjecturer le TNP . August MÖBIUS (Allemand 1790-1868) introduit la fonction qui porte son nom . (x) ln x 1; 2 . 30) 0; 9 x +1 P 1 Bernhard RIEMANN (Allemand 1826-1866) introduit la fonction (z) = . z n=1 n Jacques HADAMARD (Français 1865-1963) et Charles de LA VALLEE-POUSSIN (Belge 1866-1962) Pafnouti TCHEBYCHEV (Russe 1821-1894) prouve que : (8x démontrent indépendamment l'un de l'autre le TNP en 1896 . Leurs démonstrations reposent en grande partie sur la fonction de Riemann . Pavel ERDÖS (Hongrois 1913-1996) et Atle SELBERG (Norvégien 1917) publient en 1949, et à la surprise générale, une démonstration dite «élémentaire» du TNP , qui n'utilise ni la fonction , ni plus généralement les fonctions d'une variable complexe . C'est une démonstration de ce type qui est présentée ici . Elle est adaptée de l'excellent livre intitulé Les nombres premiers de William John Ellison et Michel Mendès France publié chez Hermann . Les notations utilisées ont été regroupées ci-après pour permettre au lecteur de s'y référer facilement . [email protected] 1 / 16 Département de Mathématiques B Notations Conventions x désignera toujours un nombre réel supérieur ou égal à 1, p un nombre premier, et k; l; m; n; ::: des nombres entiers naturels non nuls . On allègera les notations en ne précisant pas les ensembles . Q Q Ainsi, par exemple, le produit des diviseurs premiers de l'entier n pourra être noté p ou p. p=n pk=n Ensembles de référence P est l'ensemble des nombres entiers premiers . P0 est l'ensemble des entiers qui n'ont pas de diviseur carré supérieur à 1 . (nombres de Möbius) P00 = f p = p 2 P et Remarque : P = P0 \ P00 2 N g est l'ensemble des nombres primaires . Fonctions de la variable entière n (n) = card f p = p divise n g P (n) = 0 ( 1) (n) = (k) 0 ln (p) (n) = k=n P b (n) = (k) (l) (n) ln (n) c (n) = kl=n P (k) (fonction de Möbius) si n 2 = P00 si n = p (fonction de von Mangoldt) (l) + (n) ln (n) kl=n 1 +1 0 n (n) (n) (n) si n 2 = P0 si n 2 P0 2 1 ln 2 3 1 ln 3 4 0 ln 2 5 1 ln 5 6 +1 0 7 1 ln 7 8 0 ln 2 9 0 ln 3 10 +1 0 11 1 ln 11 12 0 0 13 1 ln 13 Fonctions de la variable réelle x [x] = P (partie entière de x) 1 (x) = x [x] (partie fractionnaire de x) k x (x) = card f p 2 P = p U (x) = V (x) = P x k x k P x x ln k k x k (x) = sup t x (x) = xg P M (t) t ln (p) p x [email protected] (x) = card f p0 2 P0 = p0 0 M (x) = P (k) xg (fonction de Mertens) k x ' (x) = jM (x)j ln2 x p (x) = (x) = ln (x) = ln (p) P p x 2 / 16 p 2x ln x max f (x) ln (p) = P 0 =p xg si p > x si p x (n) (fonction de Tchebychev) n x Département de Mathématiques C Les fonctions et Erdös et Selberg ont utilisé (x) = P ln p . Nous lui préfèrerons (x) = p x La proposition suivante prouve que l'on peut remplacer l'étude de P ln x ln p . p x ln p (x) par celle (x) ou de (x) . Proposition 1 (x) (x) (x) ln x , q2 (x) = ou q3 (x) = converge vers une x x x limite réelle quand x tend vers +1; alors les deux autres quotients convergent vers la même limite . Si l'un des quotients q1 (x) = Démonstration P (x) = ln p p x On en déduit que q1 (x) Alors u(x) = d'où (x) P ln x ln p = p x ln p ln x ln x = ln x P ln p x <p x On en déduit que q1 (x) Finalement q1 (x) (x) P ln x ln p = p x ln p q3 (x) . Soit maintenant x > e , et soit q2 (x) 2 ln (ln x) ! 1 et "(x) = x!+1 ln x P ln x = ( (x) ( x <p x ln x x )) ln x = x = x 2 ]1; x[ . ln2 x ln ln2 x ln2 x ln x (x) u(x) ln x x ! 0. x!+1 x "(x) . x "(x) , ou encore q3 (x) q3 (x) u(x) q2 (x) (x) ln x . q3 (x) q1 (x) + "(x) u(x) q1 (x) + "(x) . u(x) q2 (x) + "(x) u(x) q3 (x) + "(x) si x > e , u(x) et le théorème d'encadrement permet de conclure . D Un lemme d'Abel Le résultat suivant permet d'exprimer une somme nie à l'aide d'une intégrale . Proposition 2 (Lemme d'Abel) Soit ' une application complexe continûment dérivable sur [1; +1[ . 1. Si (ak )k 1 est une suite de nombres complexes, et si on pose A(x) = Z x X ak ' (k) = A(x) ' (x) A(t) '0 (t) dt . ak pour tout réel x 1 , alors k x 1 k x 2. En particulier X X ' (k) = [x] ' (x) k x [email protected] Z x [ t ] '0 (t) dt . 1 3 / 16 Département de Mathématiques Démonstration On pose n = [x] . Alors A(x) = A(n) et Z x Z n 1 Z k+1 X 0 0 A(t) ' (t) dt = A(k) ' (t) dt + 1 = k=1 n 1 X k A(k) (' (k + 1) x A(n) '0 (t) dt n ' (k)) + A(n) (' (x) ' (n)) k=1 = n X A(k 1)' (k) k=2 = n X n X A(k)' (k) + A(x)' (x) k=1 (A(k k=2 = A(x)' (x) 1) n X A(k)) ' (k) A(1)' (1) + A(x)' (x) ak ' (k) . k=1 Notations On véri e aisément que les fonctions suivantes sont des applications bornées de [1; +1[ dans [0; 1] . Z x 1 (t) (x) = x [x] dt prolongée par continuité en posant 1 (1) = 0 1 (x) = ln x 1 t Z +1 Z +1 ln x (t) 2 (t) dt dt 0 (x) = p 2 (x) = x 3 (x) = x 2 t t2 x x x ! n X 1 On rappelle d'autre part que lim ln n = = 0; 57721566::: (constante d'Euler) n!1 k k=1 Z n Z n n 1 Z k+1 n 1 n X X X (t) t [t] k 1 1 Or dt = dt = ln n dt = ln n = ln n +1, 2 2 2 t t k+1 k 1 t 1 k k=1 k=1 k=1 Z +1 Z n (t) (t) dt = lim dt = 1 . donc 2 (1) = 2 2 n!1 t 1 t 1 On peut alors déduire du lemme d'Abel les développements asymptotiques suivants : Proposition 3 Il existe trois fonctions bornées b1 ; b2 et b3 à valeurs dans [ 1; +1] véri ant P p 1. ln ([x]!) = ln (k) = x ln x x + 2 b1 (x) x . k x 2. U (x) = P x = x ln x + x + b2 (x) . k x k P x x 1 ln = x ln2 x + x ln x + x + b3 (x) k 2 k x k P x x 4. W (x) = pour tout 2 [0; 1[ . 1 k x k 3. V (x) = [email protected] 4 / 16 où = 3 (1) 2 (1) . Département de Mathématiques 1. Démonstration 1. P Z ln (k) = [x] ln x k x = x ln x [t] dt = (x t 1 (x) ln x 1 p + 2 x où b1 (x) = x Z P 1 [x] 2. = + x k x k x 1 2 = ln x + Alors U (x) = (x) x Z 2 (x) (x)j 1 (x) ln x x 1 (x) x P x = x ln x + k x k + Z x t (t) t2 1 (t) dt = 1 t2 d'où V (x) = avec = 3 (1) P x x ln k k x k P 1 [x] 4. = + x k x k d'où W (x) = 2 (1) Z P k x x 1 ln x + x t = [t] x k dt p x + 2 b1 (x) x = x ln x dt +1 = x 3 (x) 2 (x) x 2 (1) P 1 k x k + 2 (x) (x) x + . 2 (x) x , x ln x + x + b3 (x) et b3 (x) = 1 (x) 2 [ 1; +1] . 2 (x) 1 . k 2 (1) x 1 x ln2 x + 2 x dt et ak = 3 (1) 2 [ 1; +1] t t 1 avec b2 (x) = x + b2 (x) P 1 1 et A (x) = = ln x + + t k x k Z x x A (t) = A (x) ln + dt x t 1 Z x (t) (t) ln t = + + 22 dt t t t t2 1 1 2 ln x + 2 (t) (x) + ln x + x Alors '0 (t) = = t . 3. On applique le lemme d'Abel avec ' (t) = ln P 1 x ln k k x k x 1 1 + = 1. 2 2 0 (x) 2 x [t] dt = 2 t + 1) + 1 (x) (x) + ln x x = 1 (x)) ln x (x) ln x p x 1 (x) 1 j p + 2 x et donc jb1 (x)j (x Z Z 2 (x) 3 (x) 2 [ 1; +1] . x dt = x1 t 1 x 1 + x1 1 1 x1 1 . Dans cette quatrième partie, on s'est contenté d'une majoration qui servira plus loin . On aurait pu chercher un développement asymptotique plus précis en s'inspirant des questions précédentes . [email protected] 5 / 16 Département de Mathématiques E La fonction de Möbius Notations On note P0s l'ensemble des nombres entiers qui sont le produit de s nombres premiers distincts et par convention, on note P00 = f1g . On appelle nombres de Möbius les éléments de P0 = s dé nie sur N par : s2N ( 1) si k 2 0 si k 2 =P (k) = P0s 0 On note en n l'application dé nie sur N par : S P0s , et fonction de Möbius l'application (n) = P (k) : k=n Etablissons d'abord un petit lemme technique . Proposition 4 1 0 (n) = si n = 1 si n > 1 Démonstration Remarquons d'abord que (1) = (1) = ( 1)0 = 1 . Supposons maintenant que n > 1 et notons r le nombre des diviseurs premiers de n . n possède alors exactement d'où (n) = P k=n (k) = P r diviseurs dans P0s (0 s 0 s r r ( 1)s = (1 s s r) , 1)r = 0 . (Formule de Newton) Découvrons maintenant la propriété fondamentale de la fonction de Möbius . Proposition 5 (Théorème d'inversion) Soit f une application dé nie sur [1; +1[ . P P x x Si on note fe(x) = ; alors f (x) = (n) fe . f n n n x n x Démonstration P P P P P P x x x x f (x) = (n) f = (k) f = (k) f = (k) fe . n kl kl k n x n x kl=n k x k x l x=k [email protected] 6 / 16 Département de Mathématiques F Les -couples de fonctions On appelle couple de Möbius, ou encore -couple de fonctions, tout couple f; fe de fonctions P x dé nies sur [1; +1[ et liées par les relations fe(x) = f n n x et donc f (x) = n x Ainsi, les couples suivants sont des -couples de fonctions : f1 (x) = 1 fe1 (x) = [x] P x fe2 (x) = = U (x) n x n P x x fe3 (x) = ln = V (x) n n x n f2 (x) = x f3 (x) = x ln x P La proposition suivante présente un nouveau -couple reposant sur la fonction x (n) fe . n dé nie page 2 . Proposition 6 1. Si on pose p (x) = P x p pour tout nombre premier p [x]! = Q p x; on a alors (formule de Legendre) p (x) p x 2. Le couple ; e suivant est un -couple de fonctions : P e (x) = ln ([x]!) (x) = (n) n x Démonstration 1. Pour tout nombre premier p et donc p (x) = P 2. e (x) = n x = P x p x p x; est le nombre de multiples de p compris entre 1et x , est l'exposant de p dans la décomposition primaire de [x]! . P P x = n n x m x=n P PP x ln p = p p x p x (m) = P P m x n x=m p (x) ln p = ln Q p p x P hxi (m) = m x m ! p (x) (m) = ln ([x]!) . La proposition suivante montre que le comportement asymptotique de f peut se déduire de celui de fe . Proposition 7 Soient f; fe un -couple de Möbius , A, B, C trois nombres réels , et un élément de [0; 1[ . 1. si fe(x) = O (x ) , alors f (x) = O (x) . 2. si fe(x) = Ax ln2 x + Bx ln x + Cx + O (x ) , alors f (x) = 2Ax ln x + O (x) . [email protected] 7 / 16 Département de Mathématiques Démonstration fe(x) 1. Soit K une constante véri ant jf (x)j = P (n) fe n x Kx : Alors, d'après la proposition 3, P e x f n n x x n K P x n n x = K W (x) K 1 x. 2. Dans le cas général, on dé nit un nouveau -couple de Möbius (g; ge) en posant g(x) = f (x) ax ln x bx c et ge(x) = fe(x) aV (x) c [x] . bU (x) Alors, toujours d'après la proposition 3, ge(x) = 1 a x ln2 x + (B 2 A a b) x ln x + (C On choisit évidemment a = 2A; b = B a et c = C a b c) x + O (x ) . b . a Ainsi ge(x) = O (x ) ; donc d'après la première partie g(x) = O (x) , et donc f (x) = g(x) + ax ln x + bx + c = ax ln x + O (x) = 2Ax ln x + O (x) . G Intermède Les résultats de cette partie ne seront pas utilisés par la suite . Néanmoins ils permettent au lecteur de voir en quoi la fonction de Riemann est liée à la théorie des nombres, et ils donnent l'occasion de se familiariser avec les outils introduits dans les parties précédentes. Proposition 8 Soit > 1 . Si on note ( )= +1 P +1 P (n) 1 , alors = n=1 n n=1 n 1 . ( ) Démonstration +1 P n=1 car (n) n (n) = ( )= +1 P n=1 P k=n (k) = (n) n 1 0 +1 P 1 n=1 n si n = 1 si n > 1 = +1 P n=1 (n) =1 n d'après la proposition 4 . On en déduit le résultat suivant qui concerne l'ensemble P0 des nombres de Möbius . Proposition 9 Le nombre 0 (x) d'éléments de P0 inférieurs ou égaux à x véri e P x 6x 0 (x) = j (k)j = 2 . (2) k x [email protected] 8 / 16 Département de Mathématiques Démonstration Pour tout entier k 1; on note (k) = max f n / n2 divise k g P x g = p card f k / k x et (k) = n g [x] = cardf k / k = n n x P card f p0 n2 / p0 n2 p x p k : Alors, x et p0 2 P0 g = n P p 0 x x . n2 On dé nit un nouveau -couple de fonctions f; fe en posant f (x) = 0 (x2 ) . p P P p x x e = p 0 2 = [x] ; donc fe(x) = [x2 ] ; et donc Alors f ( x) = p f n n n n x x 0 (x2 ) = f (x) = P k x = +1 P P P x2 x2 x (k) 2 = (k) 2 (k) fe = k k k k x k x (k) k=1 P k>x P 1 2 k>x k (k) k2 On en déduit que H 0 P x2 k2 k>x P (k) k>x Z k k 1 dt = t2 Z x2 k2 +1 [x] P (k) k x dt 1 = 2 t [x] et (k) k x +1 P x2 k=1 P 2 (2) = x2 k2 (k) x2 = car k2 (2) x2 k2 (k) k x x , et on rappelle en n que (2) (x) x2 k2 P P 1 = [x] . k x . 6 Les -couples arithmétiques Soit f; fe un -couple de fonctions . On véri e aisément que si f est nulle en dehors de N ; il en va de même de fe; et réciproquement . On ne s'intéresse alors qu'aux suites (f (k)) et fe(k) : Elles véri ent P f fe(k) = m=k k m = P f (n) et f (k) = mn=k P mn=k (m) fe(n) . On dira alors que la suite f (k) ; fe(k) constitue un -couple arithmétique . Proposition 10 : Les couples suivants sont des -couples arithmétiques 1. ( (k) ; (k)) 2. ( (k) ; ln (k)) 3. ( (k) ln (k) ; 4. (k)) (k) ln2 (k) ; b (k) où b (k) = P (m) (n) (k) ln (k) (m) (n) + (k) ln (k) mn=k 5. c (k) ; ln2 (k) où c (k) = P mn=k [email protected] 9 / 16 Département de Mathématiques Démonstration 1. Vrai par dé nition de (k) . On rappelle que (1) = 1 ; et que pour tout k (k) = 0 : (Proposition 4) 2; 2. Si on note p l'exposant de p dans la décomposition primaire de k; alors P P P P Q p (n) = (p ) = p = ln (k) . p ln (p) = ln mn=k 3. P p=k (m) ln (m) = mn=k 4. P P p=k (m) (ln (k) P ln (n)) = ln (k) (k) mn=k (m) ln2 (m) = mn=k Or p=k p P (m) ln (n) = 0 (m) ln (m) (ln (k) ln (n)) = (k) ln (k) P (m) ln (m) ln (n) = mn=k (m) ln (m) = P (s) ts=k P (m) ln2 (n) = mn=k P (s) = rs=n mn=k 5. De même P (m) ln (m) ln (n) . mn=k mn=k P (k) . mn=k P P P (m) ln (m) (s) mrs=k (m) ln (m) = mr=t P (s) (t) . ts=k (m) ln (n) (ln (k) ln (m)) mn=k = P (k) ln (k) (m) ln (m) ln (n) = c (k) . mn=k Voyons maintenant comment dé nir un -couple de fonctions à partir d'un -couple arithmétique . Proposition 11 Si f (k) ; fe(k) est un -couple arithmétique , alors de fonctions . P k x ! P e f (k) ; f (k) est un -couple k x Démonstration Notons g (x) = P f (k) . Alors k x ge (x) = P n x g P e P P P P P x = f (k) = f (k) = f (k) = f (k) : x n m x kn=m m x n xk n kn x Etudions maintenant le comportement asymptotique de la suite (c (k)) dé nie proposition 8 . Proposition 12 P c (k) 1. = ln2 (x) k k x 2. P c (k) = ln y<k x k 2 ln (x) + O (1) x y (ln (xy) [email protected] où désigne la constante d'Euler . 2 ) + O (1) . 10 / 16 Département de Mathématiques Démonstration 1. Soit g (x) = P x c (k) et f (x) = g (x) k x k Alors ge (x) = = P x ln2 (x) . P P x P x P P x x = c (k) = c (k) = c (k) x nk n n xk n m x nk=m m nk x nk g n x P x 2 P x P c (k) = ln (m) car c (k) ; ln2 k est un -couple arithmétique . m m m x m x nk=m P x 2 D'où fe(x) = ln (m) m xm = ln2 (x) U (x) P x 2 x P x ln = ln2 (x) m m x m m x m x ln2 (x) On en déduit que f (x) = 2. P c (k) P c (k) = y<k x k k x k = ln I 2 ln (x) 1 x ln2 (x) + x ln (x) + x + b3 (x) 2 p 2 x ln (x) + O ( x) . 2 x ln (x) + O (x) d'après la proposition 7, P c (k) g (x) f (x) = = ln2 (x) + = ln2 (x) k x x k x et que donc x y x m (voir proposition 3) 2 ln (x) V (x) = ln2 (x) (x ln (x) + x + b2 (x)) = 2 ln (x) ln P c (k) = ln2 (x) k k y (ln (xy) 2 ln (x) 2 ln (x) + O (1) . ln2 (y) + 2 ln (y) + O (1) . 2 ) + O (1) . Le comportement asymptotique de M (x) Commençons par établir quelques majorations concernant la fonction de Mertens M (x) = P (k) . k x Proposition 13 1. jM (x)j 2. jM (y) 3. P k x x. jy M (x)j (k) k xj + 1 . 1. 4. Si x < y, alors Z 5. ' (x) = jM (x)j ln2 x y x M (t) dt t2 2x ln x [email protected] 4. P k x c (k) M x k . 11 / 16 Département de Mathématiques Démonstration P 1. jM (x)j k x P j (k)j 2. Supposons x < y . jM (y) 3. (1) = 1; (2) = x. 1 = [x] k x P M (x)j x<k y 1; (3) = P j (k)j 1 = [y] [x] x+1. y x<k y (4) = 0 . 1, La majoration est évidente pour x < 4 . On suppose donc x 4. (1; [x]) étant un -couple de fonctions, on a, d'après la proposition 5, 1= P (k) k x hxi P donc x k = P P x k (k) k x k x P (k) = 1+ (k) k k x k x x ; k (k) x k 1+ k x P 4. D'après la proposition 2 (lemme d'Abel) , donc et donc x 1 P M (t) dt = t2 k x Z y x M (t) dt = t2 Z (k) k y 1 M (x) x Z M (t) dt t2 5. D'après la proposition 2 (lemme d'Abel) , j (k)j 1 + [x] Z M (x) (k) = + k x k x Z P x 1 M (t) dt; t2 1 + 1 = 2; x 1 P M (t) dt t2 2+2=4. 2 2 (k) ln (k) = M (x) ln (x) k x 2 donc jM (x)j ln (x) Or, d'une part, Z P 2 (k) ln (k) + 2 k x x ln (t) jM (t)j dt t 1 Z d'autre part, d'après la proposition 11, x. 1 Z x 1 jM (t)j 2 Z x M (t) 1 ln (t) dt; t ln (t) dt: t x ln (t) dt = x ln (x) x+1 x ln (x) ; 1 P (k) ln2 (k) ; k x P ! b (k) k x est un -couple de fonctions, donc d'après la formule d'inversion (proposition 5), P (k) ln2 (k) = n xk k x et donc P P P k x (n) b (k) = x n P (n) b (k) = nk x (k) ln2 (k) P k x [email protected] jb (k)j M P P k xn x k P k x 12 / 16 c (k) M (n) b (k) = x k P k x x k b (k) M x k . Département de Mathématiques M (x) prend des petites valeurs . x On va démontrer l'existence d'intervalles sur lesquels Proposition 14 Soit 3 et soit = intervalle a; ae 1 . Alors, pour tout nombre réel A M (x) x sur lequel ; l'intervalle A; Ae contient un 7 . Démonstration Supposons que : On aurait alors 8x 2 A; Ae 5 x. jM (x)j 8x 2 A; Ae jM (x)j 5 A =5. 5 La fonction M garderait donc un signe constant sur A; Ae Z Ae A M (x) dx = x2 Z Ae A jM (x)j dx x2 Z Ae A ; et on aurait donc 5 x dx = 5 ( x2 )=5 5 2 5 5 > 4; 9 ce qui est impossible d'après la proposition 13 . Il existe donc au moins un élément a de A; Ae Alors a; ae jM (x)j A; Ae jM (x) x 1 , et pout tout élément x de a; ae ; M (a)j + jM (a)j e véri ant jM (a)j < 5 a . +6 x a+1+5 a x xe + x+5 x 7 x. On peut maintenant établir le théorème fondamental suivant : Proposition 15 (x) = sup t x M (t) t !0 x!1 et donc M (x) x ! 0. x!1 Démonstration La justi cation étant longue et technique, nous allons opérer par étapes . La fonction Cette fonction est décroissante et, d'après la proposition 13, à valeurs dans [0; 1] . Elle converge donc vers une limite On aura alors lim sup 2 [0; 1] . Il nous faut démontrer que =0. M (x) M (x) = lim (x) = 0 , et donc lim =0. x!1 x!1 x x [email protected] 13 / 16 Département de Mathématiques Les intervalles Im On xe > 3 et on pose = Pour tout entier m 1 : 1; on note Im = e m M (t) : t et sm = sup (m+1) ;e t2Im Alors lim sup sm = lim sup sm = lim n!1 m n n e n!1 . = D'autre part, d'après la proposition 14, l'intervalle Im contient un intervalle am ; am e sur lequel 7 x. jM (x)j x k Choix des majorations de M On xe un entier n 2 et un réel x 2 In . On pose l = [ l ;x ; Pour tout entier k 2 J = 1; xe De plus nS1 nS1 am ; am e m=l l n] . x 2 am ; am e k Pour tout entier k 2 Km = xam1 e ; xam1 , Pour tout entier k 2 I = xe p x 2 1; e k et M l x k x k Im = e l ; e m=l x . k l e e l ; x , donc K = n 7 x . k (proposition 13) . x x 2 e l ; x et M k k ; x k et M nS1 Km J. m=l Majoration de ' (x) = jM (x)j ln2 x 2x ln x D'après la dernière majoration de la proposition 13, ' (x) P k x x ' (x) x P x k c (k) M P c (k) + k2I k k2I l e P c (k) + k2I k e x k c (k) M l x + P c (k) M k2JnK P c (k) P c (k) +7 x k2K k k2JnK k P c (k) + 7 k k2J e Comportement asymptotique du majorant l (x) x k + P c (k) M k2K x k et donc P c (k) = k2K k (x) . (n + 1) ; d'où ln x = n + O (1) . De même ln am = m + O (1) . p p D'autre part l = [ n ] = n + O (1) = o (n) . On a donc d'après la proposition 12, n ln x < P c (k) x = ln xe k2I k P c (k) = ln xe k k2J = (ln x l l l ln x2 e ln xe l) (ln x [email protected] l l 2 2 + O (1) = l (2 ln x l 2 ) + O (1) = o (n2 ) . + O (1) 2 ) + O (1) = 14 / 16 2 2 n + o (n2 ) Département de Mathématiques P c (k) = ln k2Km k = xam1 xam1 e (2 n ln x2 am2 e 2 m) + O (1) = 2 (n P c (k) nP1 P c (k) nP1 (2 (n = = k2K k m=l k2Km k m=l = (n D'où 2 l) (n l + 1) + (n (x) = o (n2 ) + l e = 7 n2 + e l 2 ln am 2 ) + O (1) m) + O (1)) l) O (1) = n2 + o (n2 ) . n + o (n2 )) + 7 2 (2 ln x m) + O (1) 2 2 ( ( + O (1) = l e (n2 + o (n2 )) 1) n2 + o (n2 ) Conclusion M (x) ' (x) 2 = + 2 x x ln x ln x 7 2 + e l (x) + 2 n2 1 1 2 n + o (1) = 7 2 3 + l e Cette majoration étant valable pour tout x 2 In ; on a aussi et en faisant tendre n vers +1 ; = lim sup sn Or peut être choisi aussi petit que l'on veut, d'où J 3 7 + 2 1 + o (1) . sn 7 3 1 2 ; d'où + e l 1 2 2 + o (1) ; 7 3 , puis 7 . =0. Le théorème des nombres premiers Proposition 16 Soit (an ) une suite décroissante de nombres réels positifs . Pour tout couple d'entiers (m; n) véri ant 1 n P m < n; on a ak (k) 2n (m) am+1 . k=m+1 Démonstration n P ak (k) = k=m+1 n P ak (M (k) M (k 1)) = k=m+1 = n P ak M (k) k=m+1 nP1 am+1 M (m) + nP1 ak+1 M (k) k=m (ak ak+1 ) M (k) + an M (n) ; d'où (ak ak+1 ) jM (k)j + an jM (n)j (ak ak+1 ) k (m) + an n (m) k=m+1 n P k=m+1 ak (k) am+1 jM (m)j + nP1 k=m+1 am+1 m (m) + nP1 k=m+1 n (m) am+1 + nP1 (ak ak+1 ) + an = 2n (m) am+1 . k=m+1 [email protected] 15 / 16 Département de Mathématiques On peut en n en n achever la démonstration du théorème des nombres premiers . Proposition 17 lim x!+1 (x) ln x (x) = lim = lim x!+1 x x!+1 x (x) =1. x Démonstration D'après la proposition 1, il suf t de montrer que (x) =1. x lim x!+1 On considère les trois -couples de fonctions (g1 ; ge1 ) ; (g2 ; ge2 ) et (g; ge) suivants g1 (x) = ge1 (x) = ln [x]! + (1 + ) [x] (x) + 1 + ge2 (x) = g2 (x) = x g (x) = g1 (x) P x = U (x) n x n ge (x) = ge1 (x) g2 (x) ge2 (x) On remarquera que les applications ge1 et ge2 sont positives et croissantes . D'autre part (proposition 3) p ge (x) = x ln x x + 2b1 (x) x + (1 + ) (x (x)) (x ln x + x + b2 (x)) p = 2b1 (x) x (1 + ) (x) b2 (x) p p p d'où je g (x)j (2 jb1 (x)j + (1 + ) (x) + jb2 (x)j) x (4 + ) x 5 x . Alors, pour P g (x) = n x P Or n xé dans ]0; 1[ ; on a, pour tout x > (n) ge x (n) ge n x P x x = (n) ge + n n n x P n x x ge n 5 ; P (n) ge1 x<n x P n 1 x r x<n x De même (n) ge1 P x<n x et donc jg (x)j Or lim x!+1 Le choix de En n x n = [x] P n=[ x]+1 (n) ge2 x n (n) ge1 x n 2 [x] ([ x]) ge1 2x ([ x]) ge2 10 x + 2x ([ x]) ge1 1 1 + ge2 1 [email protected] lim x!+1 x n 10 x (proposition 3) x [ x] + 1 2x ([ x]) ge1 1 . g (x) x étant arbitraire dans ]0; 1[ ; on a donc lim sup (1 + ) ; donc (n) ge2 ; ([ x]) = 0 (proposition 15), donc lim sup (x) = g (x) + x x<n x x = 5W1=2 ( x) n D'autre part, d'après la proposition 16 et la croissance de ge1 , P P x n 10 . g (x) g (x) = 0; et donc lim =0. x!+1 x x (x) =1. x 16 / 16 Département de Mathématiques