P1 : Corrigés des exercices

P1 : Corrigés des exercices
I Exercices du I
I.2.a. Poker : Ωest l’ensemble des parties à 5 éléments de l’ensemble Edes
cartes. Cardinal : Ã52
5!
I.2.b. Bridge : Ωest l’ensemble des parties à 13 éléments de l’ensemble Edes
cartes. Cardinal : Ã52
13!
1.2.c. Ω={P,F}n, c’est-à-dire l’ensemble des suites de nlettres choisies parmi
les deux lettres Pet F. Que l’on remplace souvent par 0 et 1.
I.2.d. Par exemple, Ωest l’ensemble des applications de {x1, .. ., xr} dans {b1,.. .,bn}.
Dont le cardinal est nr. On peut aussi décrire d’autres univers analogues ; par
exemple, l’ensemble des suites ¡bi1,... ,bir¢où ∀k∈ 1,rik∈ 1,n. Ce qui re-
vient au même.
I.2.e. Par exemple Ω={(m1,. ..mn)∈Nn;m1+... +mn=r} (mkdésigne le
nombre d’objets dans la boîte k). Là aussi, plusieurs descriptions d’univers sont
possibles ; par exemple, Ω0est l’ensemble des suites de 0 et de 1 comportant
n−1 fois le chiffre 1 et rfois le chiffre 0 (les 0 représentent les objets, le contenu
de la boîte 1 étant le nombre de 0 placés avant le premier 1, le contenu de la
boîte k(2 ≤k≤n−1) est le nombre de 0 entre le k−1-ième 1 et le k-ième 1, le
contenu de la boîte nest le nombre de 0 après le n−1-ième 1.
Exemple :n=3, r=7 : on codera l’événement « tous les objets dans la première
boîte » par 000000011, « tous les objets dans la dernière boîte » par 110000000,
« 2 objets dans la première, 4 dans la deuxième et 1 dans la troisième par 001000010.
Cette dernière description est d’ailleurs celle qui rend le calcul du cardinal de
1

Proba univers fini (P1)
Ω0(ou de Ω) le plus simple : il vaut
Ãn+r−1
r!
(nombre de manières de placer les rchiffres 0 dans la séquence, ou, ce qui
revient au même, nombre de manières de placer les n−1 chiffres 1).
La bijection entre Ω0et Ωest facile à visualiser :
0...0
|{z}
m1fois 0
1 0...0
|{z}
m2fois 0
1 ..... .. ..
| {z }
des 0 et des 1
1 0...0
|{z}
mnfois 0
(des mkpeuvent bien entendu être nuls).
On peut aussi retrouver ce résultat par récurrence, à partir de la première des-
cription de Ω: si cn,rest le cardinal de Ω, on a c1,r=1 pour tout r∈N. Et ensuite,
cn,r=
r
X
k=0
cn−1,r−k
(kdoit être compris comme le nombre d’objets placés dans la dernière boîte,
par exemple).
Donc c2,r=r+1 pour tout entier naturel r. Et pour conclure, on doit montrer
la formule r
X
k=0Ãn−2+r−k
r−k!=Ãn+r−1 r!
ce qui peut se faire par un dénombrement des parties à réléments d’un en-
semble Eàn+r−1 éléments x1, .. ., xn+r−1effectué en classant ces parties de
la manière suivante :
Les parties qui ne contiennent pas x1: il y en a Ãn−2+r
r!;
Les parties qui contiennent x1mais ne contiennent pas x2: il y en a Ãn−3+r
r−1!;
Les parties qui contiennent x1et x2mais ne contiennent pas x3: il y en a Ãn−4+r
r−2!;
. . .etc. . .
I.2.f. Par exemple,
Ω={(m1,...mn)∈Nn;m1≤m2≤ · · · ≤ mnet m1+. .. +mn=r}
2

Proba univers fini (P1)
(on désigne par m1le contenu de la boîte la moins remplie, etc. . ., mnle contenu
de la boîte la plus remplie).
Exercices du I.4.
Exercice : On lance deux fois un dé « équilibré ». Quelle est la probabilité pour
que la somme des deux résultats obtenus soit égale à 2 ? égale à 7 ? supérieure
ou égale à 8 ?
Une solution Ici, l’univers Ωest l’ensemble des couples (i,j) où 1 ≤i≤6 et
1≤j≤6. Chacune des issues est équiprobable (dé équilibré), et donc :
∀(i,j)∈{1,..., 6}2P¡©¡i,j¢ª¢=1
36
L’événement ”la somme des deux résultats obtenus est égale à 2” est l’événe-
ment élémentaire {(1,1)}, sa probabilité est 1
36.
L’événement ”la somme des deux résultats obtenus est égale à 7” est l’événe-
ment {(1,6),(2,5),(3, 4),(4, 3),(5,2),(6,1)}. Sa probabilité est 1
6.
L’événement ”la somme des deux résultats obtenus est supérieure ou égale à 8”
est l’événement
{(2,6),(3,5),(3,6),(4, 4),(4,5),(4,6),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6, 2),(6, 3),(6,4),(6,5), (6,6)}.
Sa probabilité est 15
36 =5 12.
Pour ce deuxième calcul, l’utilisation d’un conditionnement et de la formule
dite des « probabilités totales » est déjà intéressant, et évite une énumération
fastidieuse. Voir plus loin.
Exercice : On tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité qu’il y
ait parmi ces 5 cartes au moins un Roi et au moins un Coeur ?
Une solution : Remarquons d’abord qu’il ne s’agit pas d’un exercice de pro-
babilité, mais d’un exercice de dénombrement. Il y a Ã32
5!tirages de 5 cartes
dans un jeu de 32 cartes. Plutôt que de compter parmi ces tirages lesquels com-
portent au moins un Roi et au moins un Coeur, dénombrons l’ensemble com-
plémentaire formé des tirages de 5 cartes qui ne contiennent aucun Roi ou au-
cun Coeur. Il y a
3

Proba univers fini (P1)
Ã24
5!tirages sans Coeur,
Ã28
5!tirages sans Roi,
Ã21
5!tirages sans Roi ni Coeur.
La probabilité cherchée est donc :
Ã32
5!−Ã24 5!−Ã28 5!+Ã21 5!
Ã32
5!=373
928 ≈0,4
Exercice (paradoxe de Monty Hall) : On consultera avec plaisir et intérêt la
longue histoire des controverses autour de ce paradoxe, par exemple sur la page
wikipedia qui lui est consacrée. Donnons-en une version brève.
Un candidat participe à un jeu télévisé, dans lequel il fait face à trois portes
identiques, fermées. Derrière deux de ces portes, il n’y a rien (notons que la
présence d’une chèvre derrière ces deux portes, évoquée dans une des formu-
lations traditionnelles du problème, suppose pour être réaliste une insonorisa-
tion convenable, ou à la rigueur l’anesthésie préalable des animaux). Derrière
la troisième, un fabuleux trésor (Décidez quoi, suivant vos rêves préférés), qui
lui reviendra s’il choisit cette porte.
Le candidat choisit donc une porte. Puis intervient l’animateur du jeu. Lui, sait
ce qu’il y a derrière chacune des portes. Il est donc en mesure de dire au candi-
dat, en désignant une des deux portes non choisies par celui-ci : derrière cette
porte, il n’y a rien. Le candidat a alors le choix : garder la porte qu’il avait ini-
tialement choisi, ou changer son choix (et donc, évidemment, choisir celle des
deux autres portes que l’animateur n’a pas désignée). Que doit-il faire ?
Une solution : Un candidat qui ne change pas son choix initial a une probabi-
lité 1/3 de gagner le trésor. Calculons donc la probabilité de gain d’un candidat
qui a décidé qu’il changerait son choix. La probabilité pour qu’il ait choisi ini-
tialement la « bonne » porte est 1/3. Et comme il change, dans ce cas il perd.
4

Proba univers fini (P1)
Dans tout autre cas, il gagne. La probabilité de gain est donc 2/3.
Exercice (tirage dans une urne avec remise ; loi binomiale)
1. Dans une urne, il y a n1boules blanches, n2boules rouges. On effectue r
tirages successifs avec remise (on tire une boule au hasard, on regarde sa
couleur, on la remet dans l’urne. On fait cela rfois). Calculer la probabi-
lité pour que l’on tire kfois une boule rouge (0 ≤k≤r). On pourra noter
p=n1
n1+n2
et q=1−p=n2
n1+n2
.
On utilisera sans forcément l’expliciter l’indépendance des tirages : par
exemple, P(la première boule est rouge et la deuxième est blanche)=P(la
première boule est rouge)×P(la deuxième boule est blanche).
2. Cette fois, il y a dans l’urne n1boules blanches, n2boules rouges, n3
boules noires. Calculer la probabilité pour qu’après mtirages avec re-
mise on ait tiré exactement kboules blanches et `boules rouges (et donc
m−k−`boules noires : k+`≤mnécessairement). On pourra noter
p=n1
n1+n2+n3
,q=n2
n1+n2+n3
,r=n3
n1+n2+n3
1. On peut par exemple représenter un tirage par une suite de rchiffres 0 ou
1 : le ième chiffre de la suite est 0 si on tire une boule blanche au i-ème
tirage, 1 si on tire une boule rouge. L’univers Ωest donc l’ensemble de ces
suites.
L’événement «on tire kfois une boule rouge » est réunion des événements
élémentaires qui sont les suites comprenant kchiffres 1 et r−kchiffres
0. Il y a Ãr
k!telles suites (une telle suite est caractérisée par la partie à k
éléments de 1,r: {i;le iième tirage est une boule rouge }).
La probabilité de chacun de ces événements élémentaires étant
qkpr−k
la probabilité cherchée (tirer kfois une boule rouge) est
Ãr
k!qkpr−k
5