Statique des fluides

Colles semaine 3, sujet A
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Statique des fluides
Questions de cours
1 - Définir les fonctions d’état H et G.
2 - Établir la relation de la statique des fluides.
Exercice 1 : Tuba de plongée
surface
de l’eau
h
2a
embout
du tuba
Un plongeur débutant utilise un tuba dont l’embout est fermé par une bille
lorsqu’il plonge sous l’eau. La bille repose alors sur le tube. On suppose
que la moitié inférieure de la bille est dans le tube et la moitié supérieure
en contact avec l’eau. Le rayon de la bille est noté a = 1 cm et, lors de la
plongée, le sommet de la bille est à une profondeur h = 10 cm.
1 - Pourquoi le plongeur doit-il souffler plus fort pour soulever la bille
lorsqu’il plonge que lorsqu’il est dans l’air ?
2 - Déterminer la force exercée par l’eau sur la bille.
Solution de l’exercice 1 :
1
La force pressante exercée par l’eau est plus élevée : il a le poids de la colonne d’eau à porter.
2 Le calcul est analogue à celui de la force exercée par l’eau sur une demi-sphère de rayon a posée sur le fond d’un
récipient. Attention ! La poussée d’Archimède n’est pas utilisable car la bille repose sur le tuba, qui exerce donc une
force inconnue.
Commencer par une analyse de symétries : les forces de pression sont dirigées selon (Oz).
z
#”
#”
Force élémentaire exercée en M : dF M = −P (M )d S M soit dFz =
−P (M ) cos θ dSM .
On calcule alors P (M ) = P (zM ) = P (0) − ρ g (zM − z0 ) = P (0) − ρ g a cos θ
où l’origine z = 0 est prise au fond d’un récipient.
Surface élémentaire en coordonnées sphériques : dS = adθ a sin θdϕ qu’on
intègre sur ϕ pour obtenir 2π a2 sin θ dθ.
θ
a
On exprime ensuite dFz = −2π a2 [P (0) − ρ g a cos θ] cos θ sin θdθ et la résultante :
2
ˆ
θ=π/2
Fz = −2π a
= −2π a2
= −2π a2
[P (0) − ρ g a cos θ] cos θ sin θdθ
θ=0
ˆ θ=π/2
[P (0) − ρ g a cos θ] cos θ d(− cos θ)
θ=0
ˆ x=1
[P (0) − ρ g a x] x dx
x=0
2
Fz = −2πa
P (0) ρ g a
−
2
3
Dans le cas présent, P (0) = Patm + ρ g (h + a), d’où
Fz = −2π a2
Patm
ρgh ρga
+
+
2
2
6
1/6
= −32 N
Étienne Thibierge, 28 septembre 2016, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 3, sujet A : Statique des fluides
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
2/6
Étienne Thibierge, 28 septembre 2016, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 3, sujet B
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Statique des fluides
Question de cours
Énoncer les principes de la thermodynamique sous forme différentielle.
Exercice 1 : Atmosphère isotherme
[oral banque PT]
On assimile l’air à un gaz parfait placé dans un champ de pesanteur constant. L’air est composé de 78% de
diazote, 21% de dioxygène et 1 % d’argon.
Données :
. Masses molaires : M (Ar) = 18 g · mol−1 , M (N2 ) = 28 g · mol−1 et M (O2 ) = 32 g · mol−1 ;
. Volume molaire de l’air dans les CNTP : 22,4 L · mol−1 .
1 - À partir des données, retrouver la valeur numérique de la constante des gaz parfaits R.
2 - Calculer la masse molaire de l’air.
3 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la pression dans l’atmosphère dans le modèle isotherme.
4 - La résoudre et calculer la pression au sommet de l’Everest (8848 m) en fonction de la pression atmosphérique au
niveau de la mer. Commenter.
Solution de l’exercice 1 :
1
CNTP = 1 bar et 0 ◦C. D’après la loi des GP,
R=
P Vm
= 8,31 J · mol−1 · K−1 .
T
2
Mair = 0,78 M (N2 ) + 0,21 M (O2 ) + 0,01 M (Ar) = 29 g · mol−1 .
3
Loi de l’hydrostatique et des gaz parfaits :
dP
Mg
+
P =0
dz
RT0
4
Solution exponentielle décroissante. PEverest ' 0,33Patm . Ordre de grandeur correct.
Exercice 2 : Deux liquides dans un tube en U
Considérons un tube en U de section 1 cm2 rempli d’eau jusqu’à 10 cm du fond. On ajoute 3 mL d’huile d’olive
de densité 0,92 dans une des branches du tube. Calculer la hauteur à laquelle se trouvent les deux surfaces libres et
l’interface entre l’huile d’olive et l’eau.
Solution de l’exercice 2 :
Il y a trois inconnues, les hauteurs ze (surface libre côté eau), zh (côté huile) et zi (interface), donc trois relations
à trouver.
(1) Le volume d’huile V est connu donc la hauteur d’huile h aussi. Ainsi, h = zh − zi = V /S = 3 cm.
(2) La relation d’hydrostatique de chaque côté et la continuité de la pression à l’interface donnent en z = zi :
Patm + ρh g (zh − zi ) = Patm + ρe g (ze − zi ) d’où ze − zi = ρρhe (zh − zi ).
(3) La conservation du volume d’eau indique que si le niveau descend de x d’un côté il monte d’autant de l’autre :
zi = z0 − x et ze = z0 + x. Attention, c’est bien zi qui intervient.
On utilise ensuite l’équation d’hydrostatique en remplaçant systématiquement ze , zi et zh par ce qui convient en
termes de z0 , h et x. Cela conduit à
h ρh
x=
= 1,4 cm
2 ρe
et donc à
ze = 11,4 cm
zi = 8,6 cm
zh = 11,6 cm
3/6
Étienne Thibierge, 28 septembre 2016, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 3, sujet B : Statique des fluides
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
4/6
Étienne Thibierge, 28 septembre 2016, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 3, sujet C
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Statique des fluides
Questions de cours
1 - Établir le profil de pression p(z) pour un fluide incompressible.
2 - Énoncer les identités thermodynamiques pour un système fermé sans réaction chimique.
Exercice 1 : Atmosphère adiabatique et polytropique
Cet exercice propose d’envisager d’autres modèles d’atmosphère
que celui de l’atmosphère isotherme, qui ne permet évidemment pas
d’expliquer les variations de températures observées, récapitulées
sur la courbe ci-contre. On se limitera à la troposphère, c’est-à-dire
la couche occupant les douze premiers kilomètres de l’atmosphère
en partant de la surface de la Terre. On rappelle que le coefficient
isentropique γ de l’air modélisé comme un gaz parfait diatomique
est égal à 7/5. Sa masse molaire vaut 29,0 g · mol−1 .
On appelle gradient de température δ =
dT
.
dz
1 - On rappelle que pour une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait la loi de Laplace indique que le
produit P V γ est constant. Déterminer deux exposants x et y tels que le produit T x P y soit constant.
2 - En déduire la relation donnant dT /T en fonction de dP/P et γ.
3 - Établir l’expression du gradient de température adiabatique δadiab en fonction de γ, Mair , g et R. Donner sa
valeur pour l’air.
4 - À partir de la figure, donner la valeur de la température à 10 km d’altitude ainsi que celle du gradient de
température réel δréel . Commenter la qualité du modèle, à comparer notamment au modèle d’atmosphère isotherme.
5 - Les transformations réelles au sein de l’atmosphère ne sont en fait ni isothermes ni adiabatiques, mais entre les
deux. On les appelle polytropiques et elles vérifient P V q = cte où le coefficient polytropique q est supérieur à 1.
Déterminer sa valeur à partir de la figure.
6 - En déduire le profil de température T (z).
7 - Même question pour le profil de pression P (z).
8 - Calculer numériquement T et P à 10 km d’altitude.
Solution de l’exercice 1 :
1
P 1−γ T γ = cte.
2
On prend le logarithme et on différencie :
3
On identifie la relation de la statique des fluides :
dP = −ρgdz = −
dT
γ − 1 dP
=
T
γ P
MP
P γ
dz ≡
dT
RT
T γ−1
d’où
δad =
M g(1 − γ)
= −10 · 10−3 K · m−1 .
Rγ
4
T = −45 ◦C soit δréel = −6 · 10−3 K · m−1 . Le modèle adiabatique est pas génial non plus.
5
q joue le rôle de γ dans les calculs, donc
δréel =
M g(1 − q)
Rq
d’où
5/6
q=
Mg
' 1,2 .
M g + Rδréel
Étienne Thibierge, 28 septembre 2016, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 3, sujet C : Statique des fluides
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
6
δ = cte donc tout simplement T = T0 − δz.
7
Même analogie q ↔ γ, d’où
P (z) = P0
8
T
T0
q/(q−1)
= P0
δz
1−
T0
q/(q−1)
En prenant T0 = 288 K on trouve T = 231 K = −42 ◦C et P = 0,27 bar.
6/6
Étienne Thibierge, 28 septembre 2016, www.etienne-thibierge.fr