Électromagnétisme - Étienne Thibierge

Colles semaine 18, sujet A Langevin Wallon, PT 2015-2016
Électromagnétisme
Questions de cours
1 - Énoncer et nommer l’équation de Maxwell relative à # ” rot #” B. Donner la forme locale et la forme intégrale.
2 - Établir l’équation de conservation de la charge par une méthode de type bilan.
Exercice 1 : Émission radioactive [oral banque PT, ♦]
Un amas d’atomes radioactifs, supposé ponctuel, émet à partir de l’instant t= 0 des particules αavec une vitesse
constante v0. On suppose la distribution de la direction d’émission isotrope. On rappelle que les particules αsont
des noyaux d’hélium 4
2He, et on admet qu’à l’instant tla charge électrique de l’amas vaut
q(t) = Q0e−t/τ −1
avec Q0>0.
1 - Justifier qualitativement la forme de la loi q(t).
2 - Calculer le champ magnétique #” B(M, t)en tout point Mde l’espace.
3 - Calculer le champ électrique #” E(M, t)en tout point Mde l’espace.
4 - En exploitant judicieusement les symétries, exprimer les densités volumiques de charge ρ(M, t)puis de cou-
rant #” j(M, t).
5 - Montrer que ces résultats sont compatibles avec les équations de Maxwell. En coordonnées sphériques, on donne
pour un champ #” V=Vr(r, t)#” ur
div #” V=1
r2
∂r2V
∂r et # ”
rot #” V=#” 0.
Solution de l’exercice 1 :
1L’amas émet des charges positifs, donc sa charge décroît. Allure exponentielle typique de la radioactivité. À
l’instant initial q= 0 : logique !
2Étude des symétries : tout plan passant par Oet Mest plan de symétrie de la distribution de courant, et #” B(M, t)
doit être perpendiculaire à tous ces plans là, donc forcément #” B= 0 en tout point de l’espace.
3Étude des symétries : idem #” B, sauf que #” Eest inclus dans ces plans donc #” E=Er(M, t)#” ur.
Étude des invariances : pas de dépendance en θet ϕ, donc #” E=Er(r, t)#” ur.
Théorème de Gauss qui s’applique aussi en régime dépendant du temps :
4πr2Er(r, t) = Qint(t)
ε0
avec Qint(t) = qt−r
v0
Il faut un temps r/v0pour qu’une particule αsorte de la sphère de rayon r, donc la charge contenue dans la sphère
à un instant test la charge de l’amas à l’instant t−r/v0. Penser à s’assurer qualitativement de la cohérence de la
solution.
4Question plus compliquée.
Qint(r+dr, t)−Q(r)=4πr2drρ(r, t) = ∂Q
∂r avec Q(r, t) = qt−r v0
donc en faisant le calcul
ρ(r, t) = Q0
4πr2τv0
exp −1
τt−r v0
et comme toutes les particules ont la même vitesse,
#”
j(r, t) = ρ(r, t)v0
#”
ur.
5Calcul calcul ...
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Colles semaine 18, sujet A : Électromagnétisme Langevin Wallon, PT 2015-2016
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Colles semaine 18, sujet B Langevin Wallon, PT 2015-2016
Électromagnétisme
Questions de cours
1 - Énoncer et nommer l’équation de Maxwell relative à div #” E. Donner la forme locale et la forme intégrale.
2 - Établir l’équation de conservation de la charge à partir des équations de Maxwell.
Exercice 1 : Ligne coaxiale [♦]
Une ligne est constituée de deux conducteurs cylindriques de même axe (Oz)parcourus longitudinalement par
la même intensité I, répartie uniformément à la surface des conducteurs. Le sens du courant est dirigé var les z
croissants sur le conducteur intérieur, mais il est inversé pour le conducteur extérieur. On note a < b les rayons des
deux conducteurs.
Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace.
Solution de l’exercice 1 :
Voir Tec&Doc PT p. 374, disponible au CDI.
Exercice 2 : Champ électrostatique créé par une couche chargée [♦]
x
z
−a/2
a/2
On considère une couche épaisse, comprise entre les deux plans d’équation z=−a/2
et z= +a/2et infinie dans les directions xet y, chargée uniformément en volume
avec une densité volumique de charge ρ0.
1 - Par une analyse rigoureuse des invariances et symétries de la distribution, en
déduire que le champ électrique prend en tout point de l’espace la forme
#”
E(M) = Ez(z)#” ez.
2 - Montrer par des arguments de symétrie que le champ est nul sur le plan xOy.
3 - Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ en un point Mde cote z, en pensant à distinguer les
cas z < −a/2,−a/2< z < a/2et z > a/2. Tracer le graphe représentant Ez(z).
4 - En déduire le potentiel électrostatique V(z).
5 - Considérons maintenant que la couche est d’épaisseur très fine, à la limite a→0.
5.a - Déterminer la densité surfacique de charge σ0en fonction de ρ0et a.
5.b - Que devient le champ électrique dans chaque demi-espace ?
5.c - Que devient le graphe représentant Ez(z)? Vérifier la conformité aux résultats que vous avez établi en cours.
Solution de l’exercice 2 :
Voir Tec&Doc PT pp. 346 à 348, disponible au CDI.
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Colles semaine 18, sujet B : Électromagnétisme Langevin Wallon, PT 2015-2016
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Colles semaine 18, sujet C Langevin Wallon, PT 2015-2016
Électromagnétisme
Questions de cours
1 - Énoncer et nommer l’équation de Maxwell relative à # ” rot #” E. Donner la forme locale et la forme intégrale.
2 - Quelles sont les conséquences sur le champ magnétique de l’existence d’un plan de symétrie des sources ? d’un
plan d’anti-symétrie ? L’illustrer par un schéma.
Exercice 1 : Champ électromagnétique d’un faisceau de particules [oral CCP, ♦]
On considère un faisceau homocinétiques de particules chargées, de rayon Ret infini le long d’un axe (Oz). Les
particules portent une charge qet se déplacent toutes à la même vitesse #” vpar rapport à un référentiel galiléen. La
densité volumique de particules est notée n.
1 - On s’intéresse pour commencer au champ électrique.
1.a - Préciser l’expression de la densité volumique de charge ρau sein du faisceau.
1.b - Déterminer le champ électrique à l’extérieur du faisceau.
1.c - Déterminer le champ à l’intérieur du faisceau.
2 - On étudie ensuite le champ magnétique.
2.a - Définir la densité de courant dans le faisceau.
2.b - Exprimer le champ magnétique en tout point, à l’intérieur comme à l’extérieur du faisceau.
2.c - Proposer une relation vectorielle liant #” v , #” E, #” Bqui soit valable en tout point. On utilisera c= 1/√ε0µ0.
3 - Reprendre ces questions dans le référentiel lié aux particules. Commenter.
Solution de l’exercice 1 :
Voir Tec&Doc PT p. 372, disponible au CDI. Le corrigé proposé « oublie » d’analyser les symétries, ce qui est un
vrai manque ...
Exercice 2 : Champ électrostatique créé par une coquille sphérique [♦]
Une coquille sphérique, comprise entre deux sphères de même centre Oet de rayons respectifs aet ba pour
densité volumique de charge
ρ(r) = 
0si r < a
Ar si a≤r≤b
0si r > b
1 - Déterminer l’unité de la constante A, que l’on suppose par ailleurs positive.
2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout
point de l’espace la forme #”
E(M) = Er(r)#” ur
3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace.
4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs.
5 - En faisant tendre avers b, retrouver le cas de la sphère uniformément chargée en surface.
Solution de l’exercice 2 :
Voir le site de François-Xavier Coq.
http://www.lycee-pothier.com/LYCEE/psi/file/physique/exercices/Electrom_electrostatique/1516_Electrom_
Electrostat.pdf
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