Électromagnétisme - Étienne Thibierge

Colles semaine 18, sujet A
Langevin Wallon, PT 2015-2016
Électromagnétisme
Questions de cours
# ” #”
1 - Énoncer et nommer l’équation de Maxwell relative à rot B. Donner la forme locale et la forme intégrale.
2 - Établir l’équation de conservation de la charge par une méthode de type bilan.
Exercice 1 : Émission radioactive
[oral banque PT, ♦]
Un amas d’atomes radioactifs, supposé ponctuel, émet à partir de l’instant t = 0 des particules α avec une vitesse
constante v0 . On suppose la distribution de la direction d’émission isotrope. On rappelle que les particules α sont
des noyaux d’hélium 42He, et on admet qu’à l’instant t la charge électrique de l’amas vaut
q(t) = Q0 e−t/τ − 1
avec Q0 > 0.
1 - Justifier qualitativement la forme de la loi q(t).
#”
2 - Calculer le champ magnétique B(M, t) en tout point M de l’espace.
#”
3 - Calculer le champ électrique E(M, t) en tout point M de l’espace.
4 - En exploitant judicieusement les symétries, exprimer les densités volumiques de charge ρ(M, t) puis de cou#”
rant j (M, t).
5 - Montrer que ces résultats sont compatibles avec les équations de Maxwell. En coordonnées sphériques, on donne
#”
pour un champ V = Vr (r, t) #”
ur
1 ∂r2 V
#”
# ” #” #”
div V = 2
et
rot V = 0 .
r ∂r
Solution de l’exercice 1 :
1 L’amas émet des charges positifs, donc sa charge décroît. Allure exponentielle typique de la radioactivité. À
l’instant initial q = 0 : logique !
#”
2 Étude des symétries : tout plan passant par O et M est plan de symétrie de la distribution de courant, et B(M, t)
#”
doit être perpendiculaire à tous ces plans là, donc forcément B = 0 en tout point de l’espace.
#”
#”
#”
ur .
3 Étude des symétries : idem B, sauf que E est inclus dans ces plans donc E = Er (M, t) #”
#”
#”
Étude des invariances : pas de dépendance en θ et ϕ, donc E = E (r, t) u .
r
r
Théorème de Gauss qui s’applique aussi en régime dépendant du temps :
Qint (t)
4πr Er (r, t) =
ε0
2
avec
r
Qint (t) = q t −
v0
Il faut un temps r/v0 pour qu’une particule α sorte de la sphère de rayon r, donc la charge contenue dans la sphère
à un instant t est la charge de l’amas à l’instant t − r/v0 . Penser à s’assurer qualitativement de la cohérence de la
solution.
4
Question plus compliquée.
Qint (r + dr, t) − Q(r) = 4πr2 drρ(r, t) =
∂Q
∂r
avec
r
Q(r, t) = q t −
v0
donc en faisant le calcul
Q0
1
r
ρ(r, t) =
exp −
t−
4πr2 τ v0
τ
v0
et comme toutes les particules ont la même vitesse,
#”
j (r, t) = ρ(r, t)v0 #”
ur .
5
Calcul calcul ...
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Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 18, sujet A : Électromagnétisme
Langevin Wallon, PT 2015-2016
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Colles semaine 18, sujet B
Langevin Wallon, PT 2015-2016
Électromagnétisme
Questions de cours
#”
1 - Énoncer et nommer l’équation de Maxwell relative à div E. Donner la forme locale et la forme intégrale.
2 - Établir l’équation de conservation de la charge à partir des équations de Maxwell.
Exercice 1 : Ligne coaxiale
[♦]
Une ligne est constituée de deux conducteurs cylindriques de même axe (Oz) parcourus longitudinalement par
la même intensité I, répartie uniformément à la surface des conducteurs. Le sens du courant est dirigé var les z
croissants sur le conducteur intérieur, mais il est inversé pour le conducteur extérieur. On note a < b les rayons des
deux conducteurs.
Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace.
Solution de l’exercice 1 :
Voir Tec&Doc PT p. 374, disponible au CDI.
Exercice 2 : Champ électrostatique créé par une couche chargée
[♦]
z
On considère une couche épaisse, comprise entre les deux plans d’équation z = −a/2
et z = +a/2 et infinie dans les directions x et y, chargée uniformément en volume
avec une densité volumique de charge ρ0 .
a/2
x
−a/2
1 - Par une analyse rigoureuse des invariances et symétries de la distribution, en
déduire que le champ électrique prend en tout point de l’espace la forme
#”
E(M ) = Ez (z) #”
ez .
2 - Montrer par des arguments de symétrie que le champ est nul sur le plan xOy.
3 - Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ en un point M de cote z, en pensant à distinguer les
cas z < −a/2, −a/2 < z < a/2 et z > a/2. Tracer le graphe représentant Ez (z).
4 - En déduire le potentiel électrostatique V (z).
5 - Considérons maintenant que la couche est d’épaisseur très fine, à la limite a → 0.
5.a - Déterminer la densité surfacique de charge σ0 en fonction de ρ0 et a.
5.b - Que devient le champ électrique dans chaque demi-espace ?
5.c - Que devient le graphe représentant Ez (z) ? Vérifier la conformité aux résultats que vous avez établi en cours.
Solution de l’exercice 2 :
Voir Tec&Doc PT pp. 346 à 348, disponible au CDI.
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Colles semaine 18, sujet B : Électromagnétisme
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Colles semaine 18, sujet C
Langevin Wallon, PT 2015-2016
Électromagnétisme
Questions de cours
# ” #”
1 - Énoncer et nommer l’équation de Maxwell relative à rot E. Donner la forme locale et la forme intégrale.
2 - Quelles sont les conséquences sur le champ magnétique de l’existence d’un plan de symétrie des sources ? d’un
plan d’anti-symétrie ? L’illustrer par un schéma.
Exercice 1 : Champ électromagnétique d’un faisceau de particules
[oral CCP, ♦]
On considère un faisceau homocinétiques de particules chargées, de rayon R et infini le long d’un axe (Oz). Les
particules portent une charge q et se déplacent toutes à la même vitesse #”
v par rapport à un référentiel galiléen. La
densité volumique de particules est notée n.
1 - On s’intéresse pour commencer au champ électrique.
1.a - Préciser l’expression de la densité volumique de charge ρ au sein du faisceau.
1.b - Déterminer le champ électrique à l’extérieur du faisceau.
1.c - Déterminer le champ à l’intérieur du faisceau.
2 - On étudie ensuite le champ magnétique.
2.a - Définir la densité de courant dans le faisceau.
2.b - Exprimer le champ magnétique en tout point, à l’intérieur comme à l’extérieur du faisceau.
#” #”
√
2.c - Proposer une relation vectorielle liant #”
v , E, B qui soit valable en tout point. On utilisera c = 1/ ε0 µ0 .
3 - Reprendre ces questions dans le référentiel lié aux particules. Commenter.
Solution de l’exercice 1 :
Voir Tec&Doc PT p. 372, disponible au CDI. Le corrigé proposé « oublie » d’analyser les symétries, ce qui est un
vrai manque ...
Exercice 2 : Champ électrostatique créé par une coquille sphérique
Une coquille sphérique, comprise entre deux sphères
densité volumique de charge

0

ρ(r) = Ar


0
[♦]
de même centre O et de rayons respectifs a et b a pour
si r < a
si a ≤ r ≤ b
si r > b
1 - Déterminer l’unité de la constante A, que l’on suppose par ailleurs positive.
2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout
point de l’espace la forme
#”
E(M ) = Er (r) #”
ur
3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace.
4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs.
5 - En faisant tendre a vers b, retrouver le cas de la sphère uniformément chargée en surface.
Solution de l’exercice 2 :
Voir le site de François-Xavier Coq.
. http://www.lycee-pothier.com/LYCEE/psi/file/physique/exercices/Electrom_electrostatique/1516_Electrom_
Electrostat.pdf
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Colles semaine 18, sujet A
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Électromagnétisme
Questions de cours
# ” #”
1 - Énoncer et nommer l’équation de Maxwell relative à rot B. Donner la forme locale et la forme intégrale.
2 - Établir l’équation de conservation de la charge par une méthode de type bilan.
Exercice 1 : Émission radioactive
[oral banque PT, ♦]
Un amas d’atomes radioactifs, supposé ponctuel, émet à partir de l’instant t = 0 des particules α avec une vitesse
constante v0 . On suppose la distribution de la direction d’émission isotrope. On rappelle que les particules α sont
des noyaux d’hélium 42He, et on admet qu’à l’instant t la charge électrique de l’amas vaut
q(t) = Q0 e−t/τ − 1
avec Q0 > 0.
1 - Justifier qualitativement la forme de la loi q(t).
#”
2 - Calculer le champ magnétique B(M, t) en tout point M de l’espace.
#”
3 - Calculer le champ électrique E(M, t) en tout point M de l’espace.
4 - En exploitant judicieusement les symétries, exprimer les densités volumiques de charge ρ(M, t) puis de cou#”
rant j (M, t).
5 - Montrer que ces résultats sont compatibles avec les équations de Maxwell. En coordonnées sphériques, on donne
#”
pour un champ V = Vr (r, t) #”
ur
1 ∂r2 V
#”
# ” #” #”
et
rot V = 0 .
div V = 2
r ∂r
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Colles semaine 18, sujet B
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Électromagnétisme
Questions de cours
#”
1 - Énoncer et nommer l’équation de Maxwell relative à div E. Donner la forme locale et la forme intégrale.
2 - Établir l’équation de conservation de la charge à partir des équations de Maxwell.
Exercice 1 : Ligne coaxiale
[♦]
Une ligne est constituée de deux conducteurs cylindriques de même axe (Oz) parcourus longitudinalement par
la même intensité I, répartie uniformément à la surface des conducteurs. Le sens du courant est dirigé var les z
croissants sur le conducteur intérieur, mais il est inversé pour le conducteur extérieur. On note a < b les rayons des
deux conducteurs.
Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace.
Exercice 2 : Champ électrostatique créé par une couche chargée
[♦]
z
On considère une couche épaisse, comprise entre les deux plans d’équation z = −a/2
et z = +a/2 et infinie dans les directions x et y, chargée uniformément en volume
avec une densité volumique de charge ρ0 .
a/2
x
−a/2
1 - Par une analyse rigoureuse des invariances et symétries de la distribution, en
déduire que le champ électrique prend en tout point de l’espace la forme
#”
E(M ) = Ez (z) #”
ez .
2 - Montrer par des arguments de symétrie que le champ est nul sur le plan xOy.
3 - Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ en un point M de cote z, en pensant à distinguer les
cas z < −a/2, −a/2 < z < a/2 et z > a/2. Tracer le graphe représentant Ez (z).
4 - En déduire le potentiel électrostatique V (z).
5 - Considérons maintenant que la couche est d’épaisseur très fine, à la limite a → 0.
5.a - Déterminer la densité surfacique de charge σ0 en fonction de ρ0 et a.
5.b - Que devient le champ électrique dans chaque demi-espace ?
5.c - Que devient le graphe représentant Ez (z) ? Vérifier la conformité aux résultats que vous avez établi en cours.
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Colles semaine 18, sujet C
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# ” #”
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2 - Quelles sont les conséquences sur le champ magnétique de l’existence d’un plan de symétrie des sources ? d’un
plan d’anti-symétrie ? L’illustrer par un schéma.
Exercice 1 : Champ électromagnétique d’un faisceau de particules
[oral CCP, ♦]
On considère un faisceau homocinétiques de particules chargées, de rayon R et infini le long d’un axe (Oz). Les
particules portent une charge q et se déplacent toutes à la même vitesse #”
v par rapport à un référentiel galiléen. La
densité volumique de particules est notée n.
1 - On s’intéresse pour commencer au champ électrique.
1.a - Préciser l’expression de la densité volumique de charge ρ au sein du faisceau.
1.b - Déterminer le champ électrique à l’extérieur du faisceau.
1.c - Déterminer le champ à l’intérieur du faisceau.
2 - On étudie ensuite le champ magnétique.
2.a - Définir la densité de courant dans le faisceau.
2.b - Exprimer le champ magnétique en tout point, à l’intérieur comme à l’extérieur du faisceau.
#” #”
√
2.c - Proposer une relation vectorielle liant #”
v , E, B qui soit valable en tout point. On utilisera c = 1/ ε0 µ0 .
3 - Reprendre ces questions dans le référentiel lié aux particules. Commenter.
Exercice 2 : Champ électrostatique créé par une coquille sphérique
Une coquille sphérique, comprise entre deux sphères
densité volumique de charge

0

ρ(r) = Ar


0
[♦]
de même centre O et de rayons respectifs a et b a pour
si r < a
si a ≤ r ≤ b
si r > b
1 - Déterminer l’unité de la constante A, que l’on suppose par ailleurs positive.
2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout
point de l’espace la forme
#”
E(M ) = Er (r) #”
ur
3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace.
4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs.
5 - En faisant tendre a vers b, retrouver le cas de la sphère uniformément chargée en surface.
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