Électrocinétique et mécanique quantique

Colles semaine 12, sujet A
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Électrocinétique et mécanique quantique
Question de cours
Démontrer les expressions des résistances équivalentes aux associations de deux résistances montées en série ou
en parallèle.
Exercice 1 : Diagramme énergétique du phosphore
Construire le diagramme énergétique du phosphore
[♦♦]
15P
Exercice 2 : Couleur de la carotène
[♦]
Certaines molécules ayant une longue chaîne linéaire, comme le β-carotène, contiennent des électrons qui ne sont
pas attachés à un noyau particulier mais peuvent au contraire se déplacer sur toute la longueur de la molécule.
On modélise l’un de ces électrons, de masse m, comme une particule quantique libre de se déplacer le long d’un
segment de droite de longueur L = 1,8 nm dont elle ne peut pas sortir. Sa fonction d’onde ψ(x) est alors liée à son
énergie E par l’équation de Schrödinger, qui prend ici la forme
−
~2 d2 ψ
= Eψ ,
2m dx2
où ~ est la constante de Planck réduite.
1 - Commençons par déterminer les formes permises pour la fonction d’onde ψ.
1.a - Donner la forme générale des fonctions d’onde solution de l’équation de Schrödinger écrite ci-dessus.
1.b - Justifier que ψ est nulle en dehors de l’intervalle [0, L].
1.c - La fonction d’onde devant être continue, elle est également nulle aux deux extrémités de la molécule. En déduire
qu’elle est de la forme
nπx ψ(x) = A sin
L
où n est un entier et A une constante d’intégration qu’on ne cherchera pas à déterminer.
2 - En déduire l’expression des niveaux d’énergie En en fonction de m, L, ~ et n.
3 - Dans le β-carotène, ce sont les électrons des onze liaisons doubles qui se comportent comme des particules libres
confinées.
3.a - Rappeler les règles permettant de donner la configuration électronique d’un atome dans son état fondamental.
3.b - Par analogie, en déduire la configuration électronique du β-carotène dans son état fondamental. Les niveaux
ne portant pas de noms comme en physique atomique, on pourra la donner sous forme d’un diagramme énergétique.
3.c - Donner la configuration électronique du β-carotène dans son premier état excité, c’est-à-dire dans l’état excité
de plus basse énergie.
4 - On s’intéresse maintenant à la transition de la β-carotène entre son premier état excité et son état fondamental.
4.a - Calculer la longueur d’onde de la transition associée.
4.b - Expliquer la couleur orangée des organismes contenant une grande quantité de cette molécule (carotte, citrouille,
etc.).
Solution de l’exercice 2 :
1.a
Équation différentielle de type oscillateur harmonique,
d2 ψ 2mE
+ 2 ψ=0
dx2
~
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Colles semaine 12, sujet A : Électrocinétique et mécanique quantique
√
de pulsation propre k0 = 2mE/~. Les solutions sont donc
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ψ(x) = A sin(k0 x) + B cos(k0 x) .
2
1.b
|ψ| est reliée à la probabilité de présence, qui est nulle car l’électron ne peut pas sortir.
1.c
Application des conditions aux limites.
ψ(0) = 0
donc
B=0
et d’autre part
ψ(L) = 0
2
donc
soit
k0 =
nπ
L
Identification des solutions
nπ
k0 =
=
L
3.a
k0 L = nπ
√
2mEn
~
d’où
En =
~2 π 2 2
n
2mL2
Cf. cours
3.b Principe de Pauli implique qu’il faut deux électrons par niveau, avec ici 22 électrons en tout. Ce sont donc les
11 premiers niveaux qui sont remplis.
3.c
Un des électrons du 11e niveau passe dans le 12e niveau.
4.a
Énergie du photon : ε = E12 − E11 = 16,2 − 13,6 = 2,6 eV d’où λ = hc/ε = 480 nm.
4.b Analogie avec la loi de Beer-Lambert : lorsque la molécule reçoit de la lumière blanche, elle absorbe les
composantes violettes et renvoie les autres, essentiellement jaune et rouge.
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Colles semaine 12, sujet B
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Électrocinétique et mécanique quantique
Question de cours
Définir sur un exemple de votre choix le moment dipolaire d’une molécule. Expliquer son origine physique.
Exercice 1 : Résistance équivalente
[♦♦]
Déterminer la résistance équivalente au dipôle AB représenté ci-dessous.
R
A
2R
2R
2R
B
Solution de l’exercice 1 :
. Deux résistances en parallèle à droite du schéma équivalent à 1/Rp = 2/2R = 1/R ;
. Montage en série de Rp et R équivaut à Rps = 2R ;
. Nouveau montage en parallèle équivalent à Réq = R .
Exercice 2 : Propriétés oxydantes des dihalogènes
[♦]
On souhaite comparer le pouvoir oxydant de différentes molécules de dihalogènes X2 , où X est Cl, Br ou I. Pour
cela, on fait réagir des solutions de dihalogène avec des solutions d’halogénure de potassium (K+ + X– ). Les observations expérimentales sont récapitulées dans le tableau à double entrée ci-dessous, qui indique si une transformation
chimique est observée.
Br–
Cl–
I–
Br2
non
non
OUI
Cl2
OUI
non
OUI
I2
non
non
non
1 - Où se trouvent les éléments de la famille des halogènes dans la classification ?
2 - Donner la configuration électronique du chlore. En déduire l’ion monoatomique le plus stable qu’il peut former
et le couple redox impliquant le dihalogène et l’ion halogénure monoatomique. Mêmes questions pour le brome et
l’iode.
3 - Écrire l’équation de réaction associée à la tranformation observée lorsqu’un OUI est indiqué dans le tableau.
4 - Comparer le pouvoir oxydant des dihalogènes et proposer une explication simple à cette évolution.
Les dihalogènes sont faiblement solubles dans l’eau, mais fortement solubles dans le cyclohexane. Les solutions
de dihalogène ont les couleurs données dans le tableau ci-dessous, alors que les solutions aqueuses d’halogénures de
potassium sont incolores.
Solvant
Eau
Cyclohexane
Br2
incolore
brun
Cl2
jaune
jaune pâle
I2
jaune
rose
5 - Justifier la différence de solubilité des dihalogènes entre l’eau et le cyclohexane. Pourquoi l’énoncé ne mentionne-t-il
pas la couleur des solutions d’halogénures de potassium dans le cyclohexane ?
6 - Pourquoi est-il nécessaire d’utiliser un solvant comme le cyclohexane pour mettre en évidence les transformations
chimiques éventuelles entre dihalogènes et halogénures ?
7 - En se basant sur les informations précédentes, proposer un protocole expérimental pour mettre en évidence la
réactivité des dihalogènes vis-à-vis des ions halogénures.
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Colles semaine 12, sujet B : Électrocinétique et mécanique quantique
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Solution de l’exercice 2 :
1
Avant dernière colonne.
2 Numéro atomique Z = 17 (à retrouver) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p5 . Forme Cl– pour obtenir la structure électronique de
l’argon. Couple redox Cl2 /Cl– . Idem pour le brome et l’iode car même famille, donc mêmes propriétés.
3
Demi-équations redox de la forme X2 + 2e = 2X− .
4
En termes de pouvoir oxydant : Cl2 > Br2 > I2 , à relier à l’électronégativité.
5 Les dihalogènes sont des molécules apolaires, comme le cyclohexane. Les halogénures de potassium sont des
espèces ioniques qui ne sont pas solubles dans les solvants apolaires.
6
Dans l’eau, Cl2 et I2 ont la même couleur.
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Colles semaine 12, sujet C
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Électrocinétique et mécanique quantique
Question de cours
Nommer et donner les valeurs permises pour les nombres quantiques d’un électron dans un atome. Énoncer et
nommer les règles permettant de déterminer la configuration électronique d’un atome dans son état fondamental.
Exercice 1 : Le calcium
[♦]
Le calcium Ca se situe dans la deuxième colonne du bloc s et dans la quatrième période de la classification
périodique.
1 - Quelle est la configuration électronique fondamentale de l’atome de calcium ? En déduire son numéro atomique.
Indiquer ses électrons de valence.
2 - Comparer l’électronégativité du calcium à celles du béryllium (élément de la même famille que le calcium, de
numéro atomique Z = 4) et de l’arsenic (élément du bloc p de la même période que le calcium).
3 - Quels sont les ions monoatomiques les plus chargés du calcium ? Quels sont les plus fréquents ?
4 - Le calcium est-il plutôt un oxydant ou plutôt un réducteur ?
Solution de l’exercice 1 :
1
Couche la plus externe : 4s2 , donc configuration 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 . Z = 20. Électrons de valence 4s2 .
2
χ(Be) > χ(Ca) et χ(As) > χ(Ca).
3
Les ions monoatomiques peuvent aller en principe de Ca2+ à Ca6– . Ca2+ est le plus fréquent.
4
Étant peu électronégatif (à droite du tableau périodique), le calcium est plutôt un réducteur.
Exercice 2 : Étude d’un circuit en régime continu
[♦♦]
Exprimer le courant I et la tension U en fonction de E = 3 V et R = 1,5 kΩ.
I R
E
6R
3R
U
Solution de l’exercice 2 :
1 On détermine la résistance équivalente à l’ensemble pour utiliser la loi d’Ohm.
. Deux résistances en parallèle à droite du schéma équivalent à
1
1
1
1
=
+
=
Rp
6R 3R
2R
. Montage en série de Rp et R équivaut à Réq = 2R ;
. D’après la loi d’Ohm I = E/2R = 1 mA .
2
La résistance Rp est soumise à la tension U et forme un pont diviseur avec R, d’où
U
Rp
=
E
Rp + R
donc
5/15
U=
2
E = 2V.
3
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Colles semaine 12, sujet C : Électrocinétique et mécanique quantique
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Colles semaine 12, sujet D
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Électrocinétique et mécanique quantique
Question de cours
Nommer et donner les valeurs permises pour les nombres quantiques d’un électron dans un atome. Énoncer et
nommer les règles permettant de déterminer la configuration électronique d’un atome dans son état fondamental.
Exercice 1 : Le calcium
[♦]
Le calcium Ca se situe dans la deuxième colonne du bloc s et dans la quatrième période de la classification
périodique.
1 - Quelle est la configuration électronique fondamentale de l’atome de calcium ? En déduire son numéro atomique.
Indiquer ses électrons de valence.
2 - Comparer l’électronégativité du calcium à celles du béryllium (élément de la même famille que le calcium, de
numéro atomique Z = 4) et de l’arsenic (élément du bloc p de la même période que le calcium).
3 - Quels sont les ions monoatomiques les plus chargés du calcium ? Quels sont les plus fréquents ?
4 - Le calcium est-il plutôt un oxydant ou plutôt un réducteur ?
Solution de l’exercice 1 :
1
Couche la plus externe : 4s2 , donc configuration 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 . Z = 20. Électrons de valence 4s2 .
2
χ(Be) > χ(Ca) et χ(As) > χ(Ca).
3
Les ions monoatomiques peuvent aller en principe de Ca2+ à Ca6– . Ca2+ est le plus fréquent.
4
Étant peu électronégatif (à droite du tableau périodique), le calcium est plutôt un réducteur.
Exercice 2 : Étude d’un circuit en régime continu
[♦]
Exprimer le courant I et la tension U en fonction de E = 3 V et R = 1,5 kΩ.
I R
E
2R
R
6R
U
Solution de l’exercice 2 :
1 On détermine la résistance équivalente à l’ensemble pour utiliser la loi d’Ohm.
. Trois résistances en parallèle à droite du schéma équivalent à
1
1
1
1
=
+
=
Rp
6R 2R + R
2R
. Montage en série de Rp et R équivaut à Réq = 2R ;
. D’après la loi d’Ohm I = E/2R = 1 mA .
2
La résistance Rp est soumise à la tension Up = 3U (pont diviseur) et forme un pont diviseur avec R, d’où
Up
Rp
=
E
Rp + R
donc
U=
7/15
Up
1 2
= × E = 0,66 V .
3
3 3
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Électrocinétique et mécanique quantique
Question de cours
Démontrer les expressions des résistances équivalentes aux associations de deux résistances montées en série ou
en parallèle.
Exercice 1 : Diagramme énergétique du phosphore
Construire le diagramme énergétique du phosphore
[♦♦]
15P
Exercice 2 : Couleur de la carotène
[♦]
Certaines molécules ayant une longue chaîne linéaire, comme le β-carotène, contiennent des électrons qui ne sont
pas attachés à un noyau particulier mais peuvent au contraire se déplacer sur toute la longueur de la molécule.
On modélise l’un de ces électrons, de masse m, comme une particule quantique libre de se déplacer le long d’un
segment de droite de longueur L = 1,8 nm dont elle ne peut pas sortir. Sa fonction d’onde ψ(x) est alors liée à son
énergie E par l’équation de Schrödinger, qui prend ici la forme
−
~2 d2 ψ
= Eψ ,
2m dx2
où ~ est la constante de Planck réduite.
1 - Commençons par déterminer les formes permises pour la fonction d’onde ψ.
1.a - Donner la forme générale des fonctions d’onde solution de l’équation de Schrödinger écrite ci-dessus.
1.b - Justifier que ψ est nulle en dehors de l’intervalle [0, L].
1.c - La fonction d’onde devant être continue, elle est également nulle aux deux extrémités de la molécule. En déduire
qu’elle est de la forme
nπx ψ(x) = A sin
L
où n est un entier et A une constante d’intégration qu’on ne cherchera pas à déterminer.
2 - En déduire l’expression des niveaux d’énergie En en fonction de m, L, ~ et n.
3 - Dans le β-carotène, ce sont les électrons des onze liaisons doubles qui se comportent comme des particules libres
confinées.
3.a - Rappeler les règles permettant de donner la configuration électronique d’un atome dans son état fondamental.
3.b - Par analogie, en déduire la configuration électronique du β-carotène dans son état fondamental. Les niveaux
ne portant pas de noms comme en physique atomique, on pourra la donner sous forme d’un diagramme énergétique.
3.c - Donner la configuration électronique du β-carotène dans son premier état excité, c’est-à-dire dans l’état excité
de plus basse énergie.
4 - On s’intéresse maintenant à la transition de la β-carotène entre son premier état excité et son état fondamental.
4.a - Calculer la longueur d’onde de la transition associée.
4.b - Expliquer la couleur orangée des organismes contenant une grande quantité de cette molécule (carotte, citrouille,
etc.).
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Colles semaine 12, sujet B
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Question de cours
Définir sur un exemple de votre choix le moment dipolaire d’une molécule. Expliquer son origine physique.
Exercice 1 : Résistance équivalente
[♦♦]
Déterminer la résistance équivalente au dipôle AB représenté ci-dessous.
R
A
2R
2R
2R
B
Exercice 2 : Propriétés oxydantes des dihalogènes
[♦]
On souhaite comparer le pouvoir oxydant de différentes molécules de dihalogènes X2 , où X est Cl, Br ou I. Pour
cela, on fait réagir des solutions de dihalogène avec des solutions d’halogénure de potassium (K+ + X– ). Les observations expérimentales sont récapitulées dans le tableau à double entrée ci-dessous, qui indique si une transformation
chimique est observée.
Br–
Cl–
I–
Br2
non
non
OUI
Cl2
OUI
non
OUI
I2
non
non
non
1 - Où se trouvent les éléments de la famille des halogènes dans la classification ?
2 - Donner la configuration électronique du chlore. En déduire l’ion monoatomique le plus stable qu’il peut former
et le couple redox impliquant le dihalogène et l’ion halogénure monoatomique. Mêmes questions pour le brome et
l’iode.
3 - Écrire l’équation de réaction associée à la tranformation observée lorsqu’un OUI est indiqué dans le tableau.
4 - Comparer le pouvoir oxydant des dihalogènes et proposer une explication simple à cette évolution.
Les dihalogènes sont faiblement solubles dans l’eau, mais fortement solubles dans le cyclohexane. Les solutions
de dihalogène ont les couleurs données dans le tableau ci-dessous, alors que les solutions aqueuses d’halogénures de
potassium sont incolores.
Solvant
Eau
Cyclohexane
Br2
incolore
brun
Cl2
jaune
jaune pâle
I2
jaune
rose
5 - Justifier la différence de solubilité des dihalogènes entre l’eau et le cyclohexane. Pourquoi l’énoncé ne mentionne-t-il
pas la couleur des solutions d’halogénures de potassium dans le cyclohexane ?
6 - Pourquoi est-il nécessaire d’utiliser un solvant comme le cyclohexane pour mettre en évidence les transformations
chimiques éventuelles entre dihalogènes et halogénures ?
7 - En se basant sur les informations précédentes, proposer un protocole expérimental pour mettre en évidence la
réactivité des dihalogènes vis-à-vis des ions halogénures.
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Colles semaine 12, sujet B : Électrocinétique et mécanique quantique
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Colles semaine 12, sujet C
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Électrocinétique et mécanique quantique
Question de cours
Nommer et donner les valeurs permises pour les nombres quantiques d’un électron dans un atome. Énoncer et
nommer les règles permettant de déterminer la configuration électronique d’un atome dans son état fondamental.
Exercice 1 : Le calcium
[♦]
Le calcium Ca se situe dans la deuxième colonne du bloc s et dans la quatrième période de la classification
périodique.
1 - Quelle est la configuration électronique fondamentale de l’atome de calcium ? En déduire son numéro atomique.
Indiquer ses électrons de valence.
2 - Comparer l’électronégativité du calcium à celles du béryllium (élément de la même famille que le calcium, de
numéro atomique Z = 4) et de l’arsenic (élément du bloc p de la même période que le calcium).
3 - Quels sont les ions monoatomiques les plus chargés du calcium ? Quels sont les plus fréquents ?
4 - Le calcium est-il plutôt un oxydant ou plutôt un réducteur ?
Exercice 2 : Étude d’un circuit en régime continu
[♦♦]
Exprimer le courant I et la tension U en fonction de E = 3 V et R = 1,5 kΩ.
I R
E
6R
13/15
3R
U
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Colles semaine 12, sujet C : Électrocinétique et mécanique quantique
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Colles semaine 12, sujet D
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Question de cours
Nommer et donner les valeurs permises pour les nombres quantiques d’un électron dans un atome. Énoncer et
nommer les règles permettant de déterminer la configuration électronique d’un atome dans son état fondamental.
Exercice 1 : Le calcium
[♦]
Le calcium Ca se situe dans la deuxième colonne du bloc s et dans la quatrième période de la classification
périodique.
1 - Quelle est la configuration électronique fondamentale de l’atome de calcium ? En déduire son numéro atomique.
Indiquer ses électrons de valence.
2 - Comparer l’électronégativité du calcium à celles du béryllium (élément de la même famille que le calcium, de
numéro atomique Z = 4) et de l’arsenic (élément du bloc p de la même période que le calcium).
3 - Quels sont les ions monoatomiques les plus chargés du calcium ? Quels sont les plus fréquents ?
4 - Le calcium est-il plutôt un oxydant ou plutôt un réducteur ?
Exercice 2 : Étude d’un circuit en régime continu
[♦]
Exprimer le courant I et la tension U en fonction de E = 3 V et R = 1,5 kΩ.
I R
E
2R
6R
15/15
R
U
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