Colles semaine 3 : Hydrostatique et thermodynamique des changements d’état Langevin Wallon, PT 2015-2016
Exercice 5 : Transformation polytropique [♦]
On considère un système contenant une quantité de matière nde gaz parfait. Sa capacité thermique à volume
constant vaut CV=nR/(γ−1) où Rest la constante des gaz parfaits et γle coefficient de Laplace du gaz parfait.
Ce gaz subit une transformation où il évolue de façon réversible d’un état initial (P0, V0, T0)vers un état fi-
nal (P1, V1, T1)de telle sorte que tout au long de la transformation la quantité P V ksoit constante. Le coefficient k
est réel positif. Une telle transformation est dite polytropique. Elle est intermédiaire entre une transformation adia-
batique et une transformation isotherme, et se retrouve en thermodynamique industrielle lorsque seule une partie de
la chaleur dégagée par une réaction chimique est évacuée par le système de refroidissement.
1 - Montrer que la différentielle de l’entropie d’un gaz parfait peut se mettre sous la forme
dS=CV
dT
T+P
TdV
2 - Montrer que dans le cas présent elle s’écrit
dS=n C dT
Tavec C=R1
γ−1−1
k−1
3 - En déduire la variation totale d’entropie du gaz au cours de la transformation.
4 - Dans chacun des cas suivants, indiquer quelle est l’évolution particulière observée et évaluer C.
(a) k= 0 ; (b) k= 1 ; (c) k=γ;(d) k→+∞.
5 - Donner l’allure dans le diagramme de Clapeyron et dans le diagramme entropique de chacune des transformations
précédentes à partir du point représentant l’état initial.
Solution de l’exercice 5 :
1Une dépend que de la température et pas du volume donc dU=CVdT. On déduit le résultat de l’identité
thermodynamique.
2D’après la formule donnant CVet l’équation d’état des gaz parfaits,
dS=nR 1
γ−1
dT
T+dV
V
La loi des gaz parfaits et la caractérisation d’une transformation polytropique donnent
dP
P+dV
V=dT
Tet dP
P+kdV
V= 0
d’où par soustraction dV
V=1
k−1
dT
T
et enfin
dS=n R 1
γ−1−1
k−1dT
T.
3L’intégration est directe et donne
∆Sgaz =n R 1
γ−1−1
k−1ln T1
T0
.
4Listons les différents cas :
(a) k= 0 : transformation isobare, C=CP(loi de Mayer, CP−CV=nR ;
(b) k= 1 : isotherme et C→ ∞ : la température n’a pas varié malgré l’apport d’énergie thermique et donc le
changement d’entropie ;
(c) k=γ: on retrouve la loi de Laplace pour une adiabatique réversible, donc isentropique ;
4/7 Étienne Thibierge, 4 octobre 2015, www.etienne-thibierge.fr