Hydrostatique et thermodynamique des changements d`état

Colles semaine 3
Langevin Wallon, PT 2015-2016
Hydrostatique et thermodynamique
des changements d’état
Exercice 1 : Questions de cours
[♦♦]
1 - Énoncer les conditions d’évolution et d’équilibre d’un corps pur sous deux phases.
2 - Énoncer les identités thermodynamiques pour un système fermé, en déduire les définitions thermodynamiques
de T et P .
3 - Énoncer les expressions des enthalpies et entropies massiques de changement d’état.
Exercice 2 : Entonnoir renversé (problème ouvert)
[]
On retourne un entonnoir sphérique dans le fond d’un évier, en supposant que l’eau ne peut pas fuir par le bas
de l’entonnoir lorsque celui-ci est posé. On remplit l’entonnoir d’eau par le haut.
Qu’advient-il de l’entonnoir ?
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Exercice 3 : Un glaçon et de la vapeur d’eau
Langevin Wallon, PT 2015-2016
[♦]
On considère une enceinte calorifugée et maintenue à pression constante P0 = 1,0 bar. Initialement l’enceinte
contient une masse (1 − x) m de vapeur d’eau à la température d’ébullition de l’eau sous la pression P0 , soit Téb =
373 K. On introduit dans l’enceinte un glaçon de masse x m dont la température initiale est la température de fusion
de l’eau solide sous la pression P0 , soit Tfus = 273 K.
Données :
. enthalpie de vaporisation `vap = 2,3 · 106 J · kg−1 ;
. enthalpie de fusion `fus = 330 kJ · kg−1 ;
. capacité thermique de l’eau liquide c = 4,18 kJ · kg−1 · K−1 .
1 - Déterminer la composition du système dans l’état final lorsque la température finale est égale à Tfus . Montrer
qu’un tel état final n’est possible que si x est supérieur à une valeur minimale xmin à préciser.
2 - Déterminer la composition du système dans l’état final lorsque la température finale est égale cette fois à Téb .
Montrer qu’un tel état final n’est possible que si x est inférieur à une valeur maximale xmax à préciser.
3 - Déterminer la température finale T du système dans l’état final lorsque xmin < x < xmax . Calculer la valeur
numérique pour x = 0,8.
Solution de l’exercice 3 :
Voir site perso de Matthieu Rigaut, exercice 21 du TD 1 de thermodynamique PC? programme 2002, http:
//www.matthieurigaut.net/public/vieux_spe/thd/cotdthd01.pdf
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Exercice 4 : Formation de la neige artificielle
[Oral CCP, ♦]
◦
La neige artificielle est obtenue en pulvérisant de fines gouttes d’eau liquide à T1 = 10 C dans l’air ambiant
à Ta = −15 ◦C. On suppose que cette goutte reçoit de la part de l’air extérieur, pendant la durée dt, un transfert
thermique δQ = h [Ta − T (t)] s dt où s est la surface de la goutte.
Données :
. masse volumique de l’eau liquide ρ = 1,00 · 103 kg · m−3 ;
. capacité thermique massique à pression constante cP = 4,18 · 103 J · kg−1 ;
. enthalpie massique de fusion de la glace `f = 335 kJ · kg−1 .
1 - Dans un premier temps la goutte d’eau supposée sphérique de rayon R = 0,20 mm se refroidit en restant liquide.
Établir l’équation différentielle vérifiée par T (t).
2 - En déduire la durée t1 au bout de laquelle T (t) est égale à T0 = −5,0 ◦C. Faire l’application numérique avec
h = 65 W · m−2 · K−1 .
3 - Lorsque la goutte atteint la température T0 = −5,0 ◦C, la surfusion cesse : la goutte est partiellement solidifiée et sa
température devient égale à 0,0 ◦C. Calculer la fraction x de liquide restant à solidifier en supposant la transformation
très rapide et adiabatique.
4 - Au bout de combien de temps t2 la goutte est-elle complètement solidifiée ?
Solution de l’exercice 4 :
Voir site perso de Matthieu Rigaut, exercice 5 du TD 5 de thermodynamique PCSI programme 2002, http:
//www.matthieurigaut.net/public/sup/thd/cotdthd05.pdf
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Exercice 5 : Transformation polytropique
[♦]
On considère un système contenant une quantité de matière n de gaz parfait. Sa capacité thermique à volume
constant vaut CV = nR/(γ − 1) où R est la constante des gaz parfaits et γ le coefficient de Laplace du gaz parfait.
Ce gaz subit une transformation où il évolue de façon réversible d’un état initial (P0 , V0 , T0 ) vers un état final (P1 , V1 , T1 ) de telle sorte que tout au long de la transformation la quantité P V k soit constante. Le coefficient k
est réel positif. Une telle transformation est dite polytropique. Elle est intermédiaire entre une transformation adiabatique et une transformation isotherme, et se retrouve en thermodynamique industrielle lorsque seule une partie de
la chaleur dégagée par une réaction chimique est évacuée par le système de refroidissement.
1 - Montrer que la différentielle de l’entropie d’un gaz parfait peut se mettre sous la forme
dS = CV
P
dT
+ dV
T
T
2 - Montrer que dans le cas présent elle s’écrit
dT
dS = n C
T
avec
C=R
1
1
−
γ−1 k−1
3 - En déduire la variation totale d’entropie du gaz au cours de la transformation.
4 - Dans chacun des cas suivants, indiquer quelle est l’évolution particulière observée et évaluer C.
(a)
k = 0;
(b)
k = 1;
(c)
k =γ;
(d)
k → +∞ .
5 - Donner l’allure dans le diagramme de Clapeyron et dans le diagramme entropique de chacune des transformations
précédentes à partir du point représentant l’état initial.
Solution de l’exercice 5 :
1 U ne dépend que de la température et pas du volume donc dU = CV dT . On déduit le résultat de l’identité
thermodynamique.
2
D’après la formule donnant CV et l’équation d’état des gaz parfaits,
dV
1 dT
+
dS = nR
γ−1 T
V
La loi des gaz parfaits et la caractérisation d’une transformation polytropique donnent
dP
dV
dT
+
=
P
V
T
et
dP
dV
+k
=0
P
V
d’où par soustraction
1 dT
dV
=
V
k−1 T
et enfin
dS = n R
3
1
1
−
γ−1 k−1
dT
.
T
L’intégration est directe et donne
∆Sgaz = n R
1
1
−
γ−1 k−1
ln
T1
.
T0
4 Listons les différents cas :
(a) k = 0 : transformation isobare, C = CP (loi de Mayer, CP − CV = nR ;
(b) k = 1 : isotherme et C → ∞ : la température n’a pas varié malgré l’apport d’énergie thermique et donc le
changement d’entropie ;
(c) k = γ : on retrouve la loi de Laplace pour une adiabatique réversible, donc isentropique ;
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(d) k → ∞ : évolution est isochore, seule condition pour que le produit P V k puisse rester fixé, et on trouve naturellement C = CV .
5 Le diagramme de Clapeyron représente V en abscisse et P en ordonnée. Toutes les courbes sont globalement
décroissantes. Les pentes typiques des différentes courbes sont ordonnées selon isobare (horizontale) < isotherme <
isentropique < isochore (verticale).
Le diagramme entropique représente S en abscisse et T en ordonnée. Toutes les courbes sont globalement croissantes. Les pentes typiques des différentes courbes sont ordonnées selon isotherme (horizontale) < isobare < isochore
< isentropique (verticale). En effet la pente de l’isochore est plus forte que celle de l’isobare en un point donnée :
dSisochore = CV
n R dT
dT
=
T
γ−1 T
et
5/7
dSisobare = CP
dT
γ n R dT
=
T
γ−1 T
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Énoncés à distribuer
Exercice 6 : Un glaçon et de la vapeur d’eau
[♦]
On considère une enceinte calorifugée et maintenue à pression constante P0 = 1,0 bar. Initialement l’enceinte
contient une masse (1 − x) m de vapeur d’eau à la température d’ébullition de l’eau sous la pression P0 , soit Téb =
373 K. On introduit dans l’enceinte un glaçon de masse x m dont la température initiale est la température de fusion
de l’eau solide sous la pression P0 , soit Tfus = 273 K.
Données :
. enthalpie de vaporisation `vap = 2,3 · 106 J · kg−1 ;
. enthalpie de fusion `fus = 330 kJ · kg−1 ;
. capacité thermique de l’eau liquide c = 4,18 kJ · kg−1 · K−1 .
1 - Déterminer la composition du système dans l’état final lorsque la température finale est égale à Tfus . Montrer
qu’un tel état final n’est possible que si x est supérieur à une valeur minimale xmin à préciser.
2 - Déterminer la composition du système dans l’état final lorsque la température finale est égale cette fois à Téb .
Montrer qu’un tel état final n’est possible que si x est inférieur à une valeur maximale xmax à préciser.
3 - Déterminer la température finale T du système dans l’état final lorsque xmin < x < xmax . Calculer la valeur
numérique pour x = 0,8.
Exercice 7 : Formation de la neige artificielle
[Oral CCP, ♦]
La neige artificielle est obtenue en pulvérisant de fines gouttes d’eau liquide à T1 = 10 ◦C dans l’air ambiant
à Ta = −15 ◦C. On suppose que cette goutte reçoit de la part de l’air extérieur, pendant la durée dt, un transfert
thermique δQ = h [Ta − T (t)] s dt où s est la surface de la goutte.
Données :
. masse volumique de l’eau liquide ρ = 1,00 · 103 kg · m−3 ;
. capacité thermique massique à pression constante cP = 4,18 · 103 J · kg−1 ;
. enthalpie massique de fusion de la glace `f = 335 kJ · kg−1 .
1 - Dans un premier temps la goutte d’eau supposée sphérique de rayon R = 0,20 mm se refroidit en restant liquide.
Établir l’équation différentielle vérifiée par T (t).
2 - En déduire la durée t1 au bout de laquelle T (t) est égale à T0 = −5,0 ◦C. Faire l’application numérique avec
h = 65 W · m−2 · K−1 .
3 - Lorsque la goutte atteint la température T0 = −5,0 ◦C, la surfusion cesse : la goutte est partiellement solidifiée et sa
température devient égale à 0,0 ◦C. Calculer la fraction x de liquide restant à solidifier en supposant la transformation
très rapide et adiabatique.
4 - Au bout de combien de temps t2 la goutte est-elle complètement solidifiée ?
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Exercice 8 : Transformation polytropique
[♦]
On considère un système contenant une quantité de matière n de gaz parfait. Sa capacité thermique à volume
constant vaut CV = nR/(γ − 1) où R est la constante des gaz parfaits et γ le coefficient de Laplace du gaz parfait.
Ce gaz subit une transformation où il évolue de façon réversible d’un état initial (P0 , V0 , T0 ) vers un état final (P1 , V1 , T1 ) de telle sorte que tout au long de la transformation la quantité P V k soit constante. Le coefficient k
est réel positif. Une telle transformation est dite polytropique. Elle est intermédiaire entre une transformation adiabatique et une transformation isotherme, et se retrouve en thermodynamique industrielle lorsque seule une partie de
la chaleur dégagée par une réaction chimique est évacuée par le système de refroidissement.
1 - Montrer que la différentielle de l’entropie d’un gaz parfait peut se mettre sous la forme
dS = CV
P
dT
+ dV
T
T
avec
C=R
2 - Montrer que dans le cas présent elle s’écrit
dS = n C
dT
T
1
1
−
γ−1 k−1
3 - En déduire la variation totale d’entropie du gaz au cours de la transformation.
4 - Dans chacun des cas suivants, indiquer quelle est l’évolution particulière observée et évaluer C.
(a)
k = 0;
(b)
k = 1;
(c)
k =γ;
(d)
k → +∞ .
5 - Donner l’allure dans le diagramme de Clapeyron et dans le diagramme entropique de chacune des transformations
précédentes à partir du point représentant l’état initial.
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