Cours 5

Cours de Mathématiques
IUT Orsay
DUT INFORMATIQUE 1A - Semestre 1
2012-2013
IIntroduction
II Wims
III Calcul ensembliste
IV Relations binaires, applications
VLogique
VI Raisonnements par récurrence, suites récurrentes
VII Calcul matriciel
VIII Résolution de systèmes d’équations linéaires
Partie VII : Matrices
A. Généralités
Définitions
Matrices Particulières
Égalité de deux matrices
Transposée d’une matrice
B. Opérations sur les matrices
Addition de deux matrices
Multiplication d’une matrice par un réel λ
Multiplication de deux matrices
C. Matrices et systèmes linéaires
D. Matrice et application linéaire associée
E. Matrices carrées
Généralités
Matrices inversibles
F. Déterminant
Déterminant d’une matrice de taille 2,2
Déterminant d’une matrice 3,3 : formule récursive
Déterminant d’une matrice n,n: formule récursive
Comatrice, déterminants et inversion de matrice 95/154
A. Généralités
Quelques applications du calcul matriciel
�Opérations sur les relations binaires (matrice d’adjacence
d’une relation)
�Suites récurrentes doubles ...
�Outil de l’algèbre linéaire
�Résolution de systèmes linéaires
�Représentation de transformations géométriques
�Infographie, robotique
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A. 1. Définitions
Une matrice réelle est un tableau dont les éléments (ou les
coefficients) sont des réels.
Si nest le nombre de lignes et ple nombre de colonnes de ce
tableau, on dit que la matrice est une matrice (de taille) n,pet
on note Mn,pl’ensemble des matrices réelles, de taille n,p.
Les coefficients de la matrice sont les réels aij =(A)ij
�le premier indice iest l’indice de ligne
�le deuxième indice jest l’indice de colonne.
Une matrice nlignes, pcolonnes comporte np coefficients.
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Écritures d’une matrice n,p
A=
a11 a12 ... a1n... a1p
a21 a22 ... a2n... a2p
.
.
..
.
....... ... .
.
.
an1an2... ann ... anp
ou
A=(aij )1≤i≤n,1≤j≤p
ou
A=(aij )ij
lorsqu’il n’y a pas de confusion possible.
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Cas particuliers
•Si n=p,on dit que la matrice est carrée et on note Mn
l’ensemble Mn,ndes matrices carrées de taille n,n.
Exemple
I2=10
01
∈M
2I3=
100
010
001
∈M
3
A=a11 a12
a21 a22∈M
2A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∈M
3
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•Si n=1,on dit que l’on a une matrice ligne.
Exemple
2−71
35∈M
1,4
•Si p=1,on dit que l’on a une matrice colonne.
Exemple
2
−7
1
3
5
∈M
4,1
X=x1
x2∈M
2,1
On identifie
Rn=Mn,1
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A. 2. Matrices Particulières
�Matrices diagonales aij =0 si i�=j
A=
a10··· 00··· 0
0.......
.
.0··· 0
.
.
.......00··· 0
0··· 0an0··· 0
=Diag(a1,··· ,an)∈M
n,p
�Matrices triangulaires supérieures aij =0 si i>j
A=
a11 a12 ··· ··· ··· a1p
0......··· ··· .
.
.
.
.
.......··· ··· an−1p
0··· 0ann ··· anp
∈M
n,p
�Matrices triangulaires inférieures aij =0 si i<j
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A. 3. Égalité de deux matrices
Définition
Deux matrices Aet Bsont égales si elles sont de même taille et
si pour tout (i,j),on a aij =bij .
Exemple
151
011
�=151
010
111
111
�=11
11
1··· 1
n
=1··· 1
m
⇔n=m
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A. 4. Transposée d’une matrice
Définition
Soit A=(aij )ij une matrice de taille n,p. La matrice transposée
de A, notée tA=(a�
ij )ij , est la matrice de taille p,navec
∀(i,j)∈{1,...,n}×{1,...,p},a�
ij =aji
Ainsi la première colonne de Adonne la première ligne de tA...
Exemple
A=121
4−60
∈M
2,3tA=
14
2−6
10
∈M
3,2
Théorème
t(tA)=A
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B. Opérations sur les matrices
B. 1. Addition de deux matrices
A=(aij )ij et B=(bij )ij sont deux matrices de même taille n,p.
Définition
La matrice somme de Aet de Best la matrice
A+B=(aij +bij )ij ∈M
n,p
Exemple
15−22
2−32−2
00 1 0
+
21 5 −3
05 2 7
11−10
=
1+263−1
2245
1100
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B. 2. Multiplication d’une matrice par un réel λ
Définition
La matrice λA,produit de A∈M
n,ppar le réel λest la matrice
λA=(λaij )ij ∈M
n,p.
Exemple
�1
210
16
=1
20
1
23
�λ=−1 permet de définir l’opposée de A:−A=(−1)A
�
La soustraction de deux matrices Aet Bde même taille est
alors définie par
A−B=A+(−B)
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Propriétés
A,B,Csont trois matrices de même taille n,p.
λet µsont deux réels.
�A+B=B+A→addition commutative
�(A+B)+C=A+(B+C) = A+B+C→addition
associative
�A+0np =0np +A=A→0np est l’élément neutre de
Mn,ppour l’addition
�A−A=A+(−A)=Onp →−Aest l’opposée de A
�−(−A)=A
�λ(A+B)=λA+λB
�(λµ)A=λ(µA)
�(λ+µ)A=λA+µA
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B. 3. Multiplication de deux matrices
Définition
Soit A =( a
ij )ij
une matrice de taille n , pet B =( b
ij )ij
une matrice
de taille p,m.
On appelle produit de Apar Bla matrice C=AB =(cij )ij de
taille n,mdont les coefficients sont donnés par :
∀(i,j)∈{1,...,n}×{1,...,m}
cij =
p
k=1
aik bkj =ai1b1j+···+aipbpj
Remarques
�cij est le produit scalaire Li(A).Cj(B).
�Le produit AB n’est possible que si le nombre de colonnes
de Aest égal au nombre de lignes de B.En particulier, la
situation où AB est possible et BA impossible est fréquente.
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Exemple
A=
11 2
01−1
12 0
∈M
3,3B=
21
00
2−3
∈M
3,2
�
Le produit AB est défini car le nombre de colonnes de Aest
égal au nombre de lignes de B.On a AB ∈M
3,2et
AB =
2+0+41+0−6
0+0−20+0+3
2+0+01+0+0
=
6−5
−23
21
�
Le produit BA n’est pas défini car le nombre de colonnes de
Best différent du nombre de lignes de A.
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Exemple
Si A=(aij )ij ∈M
n,pet X=
x1
.
.
.
.
.
.
xp
∈M
p,1=Rpalors
�Le produit AX est défini, AX ∈M
n,1=Rnet
AX =
a11 ... ... ... a1p
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
an1... ... ... anp
x1
.
.
.
.
.
.
xp
=
p
k=1a1kxk
.
.
.
p
k=1ank xk
�Le produit XA n’est pas défini.
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Remarque
Attention !
Si les produits AB et BA sont possibles, en général AB �=BA :
Exemple
�A=11
01
et B =21
00
AB =21
00
�=BA =23
00
�A=
11
01
−12
et B =210
0−11
AB =
201
0−11
−2−32
�=BA =23
−11
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Propriétés
Soient (A,A�)∈(Mn,p)2,(B,B�)∈(Mp,m)2,C∈M
m,ret λ∈R
�A(B+B�)=AB +AB�→multiplication distributive à
gauche par rapport à l’addition.
�(A+A�)B=AB +A�B→multiplication distributive à
droite par rapport à l’addition.
�(AB)C=A(BC)=ABC →multiplication associative.
�A(λB)=λ(AB)
Propriétés de la transposée
�t(A+A�)=tA+tA�
�t(λA)=λtA
�t(AB)=tBtA
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�Diviseurs de zéro
Il existe des matrices Aet B, non nulles, avec
AB =0
De telles matrices s’appellent des diviseurs de zéro.
�Elément neutre pour la multiplication dans Mn
In=
1... 0
.
.
.....
.
.
0... 1
∈M
n
Propriété :
∀A∈M
n,AIn=InA=A
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C. Matrices et systèmes linéaires
�Données : A=(aij )∈M
n,pet B∈Rn.
�Résoudre l’équation matricielle
AX =B
c’est déterminer S={X∈Rp;AX =B}, l’ensemble des
solutions du système linéaire de néquations à pinconnues
suivant :
(S)
a11x1+a12x2+...+a1pxp=b1
.
.
.
an1x1+an2x2+...+anpxp=bn
où X=
x1
.
.
.
.
.
.
xp
et B=
b1
.
.
.
bn
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Théorème
Soit (S0): AX =0un système linéaire homogène.
∀(X,X�)∈S
0,∀(α,α�)∈R2,αX+α�X�∈S 0
Théorème
Soit (S): AX =B un système linéaire et (S0): AX =0nle
système linéaire homogène associé à (S).
�L’ensemble S0des solutions de (S0)n’est pas vide car
0p∈S
0.
�Si (S)admet une solution notée Z , alors l’ensemble Sdes
solutions de (S)est égal à
S={X0+Z;X0∈S
0}
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D. Matrice et application linéaire associée
Définition
Soit A=(aij )ij ∈M
n,pet l’application associée à Adéfinie par :
fA:
Rp−→ Rn
X=
x1
.
.
.
xp
−→ fA(X)=AX
Propriétés de fA
�∀(X,X�)∈(Rp)2,fA(X+X�)=fA(X)+fA(X�)
�∀X∈Rp,∀λ∈R,fA(λX)=λfA(X)
On dit que fAest linéaire.
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Propriétés
�∀(A,B)∈M
n,p)2,fA=fB⇔A=B
�∀(A,B)∈M
n,p)2,∀λ∈R,fA+B=fA+fBet fλA=λfA
�∀A∈M
n,pet ∀B∈M p,m,AB ∈M n,met
fA◦fB=fAB
En effet :
fA◦fB:Rm−→ Rnet est définie par
X=
x1
.
.
.
xm
−→ fA◦fB(X)=fA(fB(X)) = A(BX )=(AB)X
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E. Matrices carrées
E. 1. Généralités
Définition
�Une matrice est carrée, de taille nsi elle a nlignes et n
colonnes. Elle possède n2coefficients.
On note Mn l’ensemble Mn,n des matrices carrées de taille
n,n.
�A∈M
nest symétrique si tA=A
�A∈M
nest antisymétrique si tA=−A
�A∈M
nest orthogonale si A(tA)=(
tA)A=In
Théorème
∀A∈M
n,fA=IdRn⇔A=In
Théorème
Si A ∈M
nest antisymétrique, alors ∀i∈{1,...,n},aii =0.
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Théorème
�La somme de deux matrices symétriques de Mnest
symétrique
�Le produit d’une matrice symétrique de Mnpar un réel est
symétrique
�Le produit de deux matrices symétriques de Mnn’est en
général pas symétrique
�La somme de deux matrices antisymétriques de Mnest
antisymétrique
�Le produit d’une matrice antisymétrique de Mnpar un réel
est antisymétrique
�Le produit de deux matrices antisymétriques de Mnn’est
en général pas antisymétrique
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E. 2. Matrices inversibles
Définition
Une matrice A∈M
nest inversible si
∃B∈M
n;BA =AB =In
Théorème et définition
Si Aest inversible, la matrice Best unique.
La matrice Best alors appelée matrice inverse de A
Elle est notée B=A−1
Théorème
Si A et B sont deux matrices carrées inversibles de taille n, alors
AB est inversible et (AB)−1=B−1A−1.
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Exemple
�Montrer que la matrice A=
101
010
100
est inversible et
calculer son inverse.
�Soit A=ab
cd
.Vérifier que si ad −bc �=0, alors Aest
inversible et
A−1=1
ad −bc d−b
−ca
�Matrices diagonales
�Matrices triangulaires
�Matrices orthogonales
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Inversibilité d’une matrice et application linéaire
associée
A∈M
net fA:
Rn−→ Rn
X=
x1
.
.
.
xn
−→ AX
Théorème
A inversible si et seulement si l’application fAest bijective.
Si A est inversible, l’application récoproque de f
A
est f
−1
A=
f
A−1
:
f−1
A:
Rn−→ Rn
Y=
y1
.
.
.
yn
−→ A−1Y
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Résumé
A∈M
net fA:
Rn−→ Rn
X=
x1
.
.
.
xn
−→ AX
Théorème
�A est inversible ⇐⇒ fAest bijective
⇐⇒ ∀ Y∈Rn, le système AX =Y a une solution unique.
�Si A est inversible,
AX =Y⇐⇒ X=A−1Y
−→ Calcul de A−1en résolvant le système AX =Y.
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Problèmes posés
�
Avoir des critères simples pour savoir si une matrice carrée
est inversible ou pas
−→ Calcul de déterminant
�Calculer l’inverse d’un matrice carrée
−→ Résolution de système linéaire
−→ Algorithme de Gauss
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