MAT 193: Alg`ebre linéaire Chapitre I: Alg`ebre

MAT 193: Alg`ebre lin´eaire
Chapitre I: Alg`ebre matricielle
Le but de ce chapitre est d’´etudier les op´erations et les propri´et´es de matrices. Applica-
tions des matrices se trouvent dans la plupart des domaines scientifiques et du g´enie. En in-
formatique et en infographie, elles sont utilis´ees pour classer des pages web, pour repr´esenter
des couleurs et pour projeter une image en 3 dimensions sur un ´ecran en 2 dimensions.
Partout dans ce cours, on d´esigne par Zl’ensemble des entiers, par Ql’ensemble des
nombres rationnels et par Rl’ensemble des nombres r´eels.
1.1. Polynˆomes
1.1.1. D´efinition. Soit un polynˆome r´eel de degr´e nsuivant:
f(x) = anxn+··· +a1x+a0,o`u an̸= 0.
Pour tout a∈R, on pose
f(a) = anan+··· +a1a+a0∈R.
On dit que aest une racine de f(x) si f(a) = 0.
1.1.2. Proposition. Soit f(x) un polynˆome r´eel de degr´e n. Alors a∈Rest une racine
de f(x) si et seulement si f(x) = (x−a)g(x), avec g(x) un polynˆome r´eel de degr´e n−1.
Par cons´equent,
(1) f(x) admet au plus nracines r´eelles; et
(2) f(x) admet nracines r´eelles a1, . . . , an(incluant les multiplicit´es) si et seulement si
f(x) = c(x−a1)···(x−an),
o`u cest le coefficient de xn.
Il n’y a pas de r`egle pour trouver les racines d’un polynˆome r´eel g´en´eral. N´eanmoins, on
a le r´esultat suivant pour les polynˆomes quadratiques.
1.1.3. Proposition. Soit un polynˆome r´eel quadratique
f(x) = ax2+bx +c, o`u a̸= 0.
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Alors f(x) admet une racine r´eelle si et seulement si ∆ = b2−4ac ≥0; et dans ce cas, f(x)
admet deux racines r´eelles suivantes:
x1=−b+√∆
2a, x2=−b−√∆ 2a.
Le r´esultat suivant est tr`es pratique pour trouver des racines d’un polynˆome entier.
1.1.4. Proposition. Soit un polynˆome entier
f(x) = xn+an−1xn−1+··· +a1x+a0,o`u a0, . . . , an−1∈Z.
Si q∈Qest une racine de f(x), alors q∈Zest un diviseur de a0.
1.2. Matrices
1.2.1. D´efinition. Une matrice r´eelle de type m×nest un tableau de mn nombres
r´eels rang´es sur mlignes et ncolonnes comme suit:
C1C2··· Cn
a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
.
.
..
.
.....
.
.
am1am2··· amn
L1
L2
Lm
On appelle aij le (i, j)-terme o`u iest l’indice de ligne et jest l’indice de colonne.
La matrice est dite nulle, not´ee 0m×n, si aij = 0 pour tous 1 ≤i≤met 1 ≤j≤n.
La matrice s’appelle une matrice-ligne si m= 1; et une matrice-colonne si n= 1.
La matrice est dite carr´ee d’ordre nsi m=n. Dans ce cas, les termes a11, a22, . . . , ann
sont appel´es les termes diagonaux.
Deux matrices sont dites ´egales si elles sont du mˆeme type et les termes en mˆeme position
sont ´egaux.
Remarque. Une matrice carr´ee (a) d’ordre 1 sera identifi´ee avec le nombre a.
En tant qu’une premi`ere application de matrices, on parlera la repr´esentation matricielle
des images num´eriques.
1.2.2. D´efinition. Une couleur sur un ´ecran d’ordinateur est d´etermin´ee par trois
nombres r´eels r, v, b entre 0 et 1, appel´es coordonn´ees RVB, qui donnent les intensit´es du
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rouge, du vert et du bleu respectivement. Une telle couleur est repr´esent´ee par une matrice-
colonne 
r
v
b
.
Dor´enavant, on identifiera une couleur `a la matrice-colonne de ses coordonn´ees RVB.
`
A titre d’exemple, on a le tableau suivant:
rouge vert bleu blanc noir cyan magenta jaune gris pourpre
1 0 0 1 0 0 1 1 1
30,6
0 1 0 1 0 1 0 1 1
30
0 0 1 1 0 1 1 0 1
31
1.2.3. D´efinition. Une image num´erique sur un ´ecran d’ordinateur est constitu´ee de
petits carr´es color´es, appel´es pixels, qui sont rang´es sur plignes et qcolonnes. Chaque pixel
est repr´esent´e par la matrice-colonne des coordonn´ees RVB de sa couleur. Ainsi une image
num´erique de p×qpixels sera repr´esent´ee par une matrice de type 3 ×(pq) de nombres entre
0 et 1 comme suit: 
r1r2··· rpq
v1v2··· vpq
b1b2··· bpq
.
o`u la premi`ere colonne repr´esente le pixel au coin sup´erieur gauche et la derni`ere colonne
repr´esente le pixel au coin inf´erieur droit.
En tant qu’une deuxi`eme application, on parlera des matrices de probabilit´es.
Exemple. Supposons que chaque ann´ee au Qu´ebec, 3% des habitants en ville d´em´enagent
`a la campagne, et 5% des habitants `a la campagne d´em´enagent en ville. Par cons´equent, les
probabilit´es pour qu’une personne qui habite en ville cette ann´ee habitera en ville ou `a la
campagne l’ann´ee prochaine sont de 0,97 et de 0,03 respectivement. Les probabilit´es pour
qu’une personne qui habite `a la campagne cette ann´ee habitera en ville ou `a la campagne
l’ann´ee prochaine sont respectivement de 0,05 et de 0,95,respectivement. La matrice des
probabilit´es 0,97 0,05
0,03 0,95 
d´ecrit le changement de la r´epartition de la population du Qu´ebec.
1.3. Op´erations matricielles
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Le but de cette section est de d´efinir et ´etudier les op´erations arithm´etiques sur les
matrices. Partout dans ce cours, on d´esignera par Mm×n(R) l’ensemble des matrices r´eelles
de type m×net par Mn(R) l’ensemble des matrices carr´ees r´eelles d’ordre n.
1.3.1. D´efinition. Soient A= (aij )m×n, B = (bij )m×n∈Mm×n(R).On d´efinit
(1) a·A= (aaij )m×n=A·a, pour tout a∈R;
(2) A+B= (aij +bij )m×n;
(3) A−B= (aij −bij )m×n.
Remarque. Si Aet Bne sont pas du mˆeme type, alors ni A+Bni A−Bn’est d´efini.
Les op´eatrations matricielles satisfont aux axiomes ´enonc´es dans le r´esultat suivant.
1.3.2. Proposition. Soient A, B ∈Mm×n(R) et a, b ∈R.
(1) 1 ·A=A; (2) (ab)A=a(bA);
(3) (a±b)A=aA ±bA; (4) a(A±B) = aA ±aB;
(5) A+ 0m×n=A; (6) A−A= 0m×n;
(7) A+B=B+A; (8) (A+B) + C=A+ (B+C).
On introduira la multiplication matricielle dans la d´efinition suivante.
1.3.3. Multiplication. (1) Le produit d’une matrice de type 1 ×net une matrice de
type n×1 est une matrice de type 1 ×1 d´efinie par
(a1··· an)
b1
.
.
.
bn
=n
k=1akbk.
(2) Si A= (aik)∈Mm×n(R) et B= (bkj )∈Mn×p(R), alors le produit de Aet Best d´efini
par AB = (cij )m×p, o`u
cij = (ai1··· ain)
b1j
.
.
.
bjn
=n
k=1aikbkj , i = 1, . . . , m;j= 1, . . . , p.
Remarque. (1) Si A= 0m×nou B= 0n×p, alors AB = 0m×p.
(2) Si A, B ∈Mn(R), alors AB ∈Mn(R).
Exemple. Supposons que le nombre de r´esidents au Qu´ebec est constant et que le
changement de la r´epartition de la population en ville et `a la campagne est d´ecrit par la
matrice de probabilit´es suivante:
0,97 0,05
0,03 0,95 .
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Supposons que les nombres de r´esidents en ville et `a la campagne cette ann´ee sont v0et
c0, respectivement. Si v1, c1sont les nombres de r´esidents en ville et `a la campagne l’ann´ee
prochaine, alors
v1= 0,97v0+ 0,05c0
c1= 0,03v0+ 0,95c0,
c’est-`a-dire, v1
c1=0,97 0,05 0,03 0,95  v0 c0.
1.3.4. D´efinition. Pour tout entier n≥1, la matrice carr´ee
In=
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 ··· 1
n×n
s’appelle matrice-identit´e d’ordre n.
1.3.5. Proposition. Si A, B, C des matrices r´eelles et a, b ∈R, alors chacune des
´egalit´es suivantes est vraie lorsque l’un de ses deux membres est d´efini.
(1) (AB)C=A(BC);
(2) (aA)(bB) = (ab)(AB);
(3) A(B+C) = AB +AC;
(4) (A+B)C=AC +BC;
(5) Si Aest de type m×n, alors ImA=AIn=A.
Remarque. (1) La multiplication matricielle n’est pas commutative.
(2) Le produit AB peut ˆetre nul sans que Aou Best nulle.
(3) Si A1, A2, . . . , Ansont des matrices telles que AiAi+1 est d´efini pour i= 1, . . . , n −1,
on d´efinit alors
A1A2···An= (···(A1A2)···An−1)An.
On va donner deux r´esultats qui facilitent le calcul du produit de deux matrices. On
commence par le cas o`u le facteur `a droite est une matrice-colonne.
1.3.6. Proposition. Soit Aune matrice r´eelle dont les colonnes sont A1, . . . , An. Si
a1, . . . , an∈R, alors
A
a1
.
.
.
an
=a1A1+···+anAn.
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