Des expériences aléatoires aux probabilités

PANORAMA 15 - Des expériences aléatoires aux probabilités
15.1 / 15.3 / 15.5 Probabilités et diagramme en arbre
Probabilité théorique d’un événement : c’est un nombre (fraction, %, décimale) entre 0 et 1 qui
quantifie la possibilité qu’un événement se produise.
Pr obabilité théorique=
€
Ex :
nombre de résultats favorables
nombre de résultats possibles
Expérience aléatoire : choisir un point au hasard dans la figure ci-dessus.
Événement recherché : le point est à l’intérieur du losange.
Probabilité :
aire du losange
20cm 2 1
=
=
P(le point est à l’intérieur du losange) =
aire du rec tan gle 40cm 2 2
Probabilité fréquentielle d’un événement : c’est un nombre obtenu suite à une
€
expérimentation. Elle est utile quand il est impossible de calculer la probabilité théorique.
Pr obabilité fréquentielle =
€
Ex :
nombre de fois que le résultat attendu s'est réalisé
nombre de fois que l'expérience a été répétée
On établit la probabilité fréquentielle qu’un joueur de hockey compte un but d’après
ses performances précédentes.
Probabilité d’un événement composé
La probabilité d’un événement composé de plusieurs événements élémentaires est égale à la
somme des probabilités de chacun de ces événements élémentaires.
Ex :
Expérience aléatoire : piger une seule bille dans un bocal contenant 6 billes rouges, 3
billes vertes et 2 billes blanches.
Événements élémentaires : «piger une bille rouge», «piger une bille verte», «piger une
bille blanche».
6 3 9
+ =
Probabilité :
P(piger une bille rouge OU verte) =
11 11 11
Expériences aléatoires à plusieurs étapes (avec ou sans remise)
Dans ce chapitre, tu devras être capable de :
€
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•
Déterminer le nombre de résultats possibles d’une expérience à plusieurs étapes
1. Pour ce faire, on peut multiplier le nombre de résultats possibles à chacune des
étapes.
2. On peut également s’aider d’un diagramme en arbre.
•
Calculer la probabilité d’un événement élémentaire d’une exp. à plusieurs étapes
1. On fait le produit des probabilités de chacun des événements intermédiaires à
chacune des étapes.
•
Identifier des événements dépendants et indépendants
1. Événements dépendants : la réalisation de l’un influence la probabilité de la
réalisation de l’autre. [surtout expérience SANS REMISE]
2. Événements indépendants : la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité
de la réalisation de l’autre. [surtout expérience AVEC REMISE]
•
Calculer la probabilité d’un événement composé d’une exp. à plusieurs étapes
1. Construire le diagramme en arbre associé à l’expérience.
2. Additionner toutes les probabilités des événements élémentaires qui
correspondent à l’événement recherché.
•
Savoir que la somme des probabilités de TOUS les événements élémentaires d’une
expérience aléatoire est 1.
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Exemple 1 :
Expérience aléatoire avec remise
Un sac contient 7 billes rouges (r), 4 billes vertes (v) et 6 billes blanches (b).
Expérience aléatoire : piger 2 billes successivement, avec remise.
Diagramme en arbre
Nombre de résultats possibles
3 x 3 = 9 résultats possibles
Voici des événements et leur probabilité correspondante :
1. Piger deux billes rouges
P (piger deux billes rouges) = P (r, r) =
7 7
49
× =
17 17 289
2. Piger au moins une bille verte
€
P (piger au moins une bille verte)
= P ((r, v) ou (v, r) ou (v, v) ou (v, b) ou (b, v)) =
28
28
16
24
24 120
+
+
+
+
=
289 289 289 289 289 289
3. Piger deux billes de couleur différente
€
P (piger deux billes de même couleur)
16
36
49 101
+
+
=
= P ((v, v) ou (b, b) ou (r, r)) =
289 289 289 289
€
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Exemple 2 :
Expérience aléatoire sans remise
Un sac contient 7 billes rouges (r), 4 billes vertes (v) et 6 billes blanches (b).
Expérience aléatoire : piger 2 billes successivement, sans remise.
Diagramme en arbre
Nombre de résultats possibles
3 x 3 = 9 résultats possibles
Voici des événements et leur probabilité correspondante :
1. Piger deux billes rouges
P (piger deux billes rouges) = P (r, r) =
7 6
42
21
× =
=
17 16 272 136
2. Piger au moins une bille verte
€
P (piger au moins une bille verte)
= P ((r, v) ou (v, r) ou (v, v) ou (v, b) ou (b, v))
28
28
12
24
24 116 29
+
+
+
+
=
=
=
272 272 272 272 272 272 68
3. Piger deux billes de couleur différente
€
P (piger deux billes de même couleur)
12
30
42
84 21
+
+
=
=
= P ((v, v) ou (b, b) ou (r, r)) =
272 272 272 272 68
€
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15.2 Ensembles, événements et probabilités
Intersection de deux ensembles
Le symbole I se lit «inter» ou «intersection». Il représente les éléments communs à deux
ensembles.
Ex :
€
A : ensemble des diviseurs de 20
B : ensemble des diviseurs de 36
A I B = {1, 2, 4}
Ce sont les diviseurs communs de 20 et de 36.
€
Réunion de deux ensembles
Le symbole U se lit «union». Il représente tous les éléments des deux ensembles.
Ex :
€
A : ensemble des diviseurs de 20
B : ensemble des diviseurs de 36
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 18, 20, 36}
Ce sont les diviseurs de 20 OU de 36.
€
Événements complémentaires
Deux événements sont complémentaires s’ils ne possèdent aucun résultat commun et si la
réunion des résultats possibles des deux événements correspond à l’univers des résultats
possibles (tous les résultats possibles).
A et B sont complémentaires si
AI B = ∅ et A ∪ B = Ω
L’événement complémentaire à A est noté A’ et se lit «A complément». La somme des
probabilités de ces deux événements est 1.
€
P(A) + P(A') = 1
Ex :
€
Expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces
Événement A : obtenir un nombre pair
Événement A’ : obtenir un nombre impair
P(A) + P(A') =
€
3 3 6
+ = =1
6 6 6
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Événements incompatibles ou compatibles
Événements incompatibles : ils ne possèdent aucun résultat commun ( AI B = ∅) . Ils ne
peuvent pas se produire en même temps.
Ex :
Expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces
Événement A : obtenir un nombre inférieur à 3
Événement B : obtenir un nombre supérieur à 4
€
P (obtenir un nombre à la fois f 3 ET p 4 ) = ∅
2 2 4 2
P (obtenir un nombre f 3 OU p 4 ) = + = =
€ 6 6 6 3
€
€
€ : ils possèdent au moins 1 résultat commun ( AI B ≠ ∅) . Ils peuvent
Événements€compatibles
€
se produire en même temps.
Ex :
Expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces
Événement A : obtenir un nombre pair
Événement B : obtenir un diviseur de 6
€
P (obtenir un nombre pair ET un diviseur de 6)
1 1 2 1
= P (obtenir 2 ou 6) = + = =
6 6 6 3
P (obtenir un nombre pair OU un diviseur de 6)
3 4 2 5
=P (A ou B)€
= P(A) + P(B) – P( AI B ) = + − =
6 6 6 6
* On doit soustraire la probabilité de l’intersection car on l’a additionné deux fois!
€
€
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15.4 Expérience aléatoire avec ordre ou sans ordre
On détermine le nombre de résultats possibles d’une expérience aléatoire sans ordre et sans
remise ainsi :
nombre de résultats possibles en tenant compte de l'ordre
nombre de façons différentes d'écrire un résultat en tenant compte de l'ordre
€
Ex :
Expérience aléatoire : tirer 3 billes de couleur sans ordre et sans remise d’un sac
contenant 4 billes : 1 rouge, 1 verte, 1 mauve et 1 orange.
Nombre de résultats possibles =
4 × 3 × 2 24
=
=4
3 × 2 ×1 6
Résultats possibles en tenant compte de l’ordre = { (r, v, m), (r, m, v), (v, m, r), (v, r, m), (m, v,
€
r), (m, r, v), (v, m, o), (v, o, m), (o, m, v), (o, v, m), (m, o, v), (m, v, o), (r, m, o), (r, o, m), (m, o,
r), (m, r, o), (o, m, r), (o, r, m), (v, o, r), (v, r, o), (o, r, v), (o, v, r), (r, o, v), (r, v, o)}
Une fois que 3 billes ont été choisie, il y a 6 façons d’écrire le résultat en tenant compte de
l’ordre. Avec les billes rouge, verte et mauve, cela donne :
(r, v, m), (r, m, v), (v, m, r), (v, r, m), (m, v, r), (m, r, v)
L’univers des résultats possibles de cette expérience aléatoire (sans ordre et sans remise) est :
Ω = {(v, m, r), (v, m, o), (v, o, r), (m, o, r)}
€
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Notes personnelles et autres exemples
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