Des expériences aléatoires aux probabilités

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PANORAMA 15 - Des expériences aléatoires aux probabilités
15.1 / 15.3 / 15.5 Probabilités et diagramme en arbre
Probabilité théorique d’un événement : c’est un nombre (fraction, %, décimale) entre 0 et 1 qui
quantifie la possibilité qu’un événement se produise.
€
Pr obabilité théorique=nombre de résultats favorables
nombre de résultats possibles
Ex : Expérience aléatoire : choisir un point au hasard dans la figure ci-dessus.
Événement recherché : le point est à l’intérieur du losange.
Probabilité :
P(le point est à l’intérieur du losange) =
€
aire du losange
aire du rec tan gle =20cm2 40cm2=1 2
Probabilité fréquentielle d’un événement : c’est un nombre obtenu suite à une
expérimentation. Elle est utile quand il est impossible de calculer la probabilité théorique.
€
Pr obabilité fréquentielle =nombre de fois que le résultat attendu s'est réalisé
nombre de fois que l'expérience a été répétée
Ex : On établit la probabilité fréquentielle qu’un joueur de hockey compte un but d’après
ses performances précédentes.
Probabilité d’un événement composé
La probabilité d’un événement composé de plusieurs événements élémentaires est égale à la
somme des probabilités de chacun de ces événements élémentaires.
Ex : Expérience aléatoire : piger une seule bille dans un bocal contenant 6 billes rouges, 3
billes vertes et 2 billes blanches.
Événements élémentaires : «piger une bille rouge», «piger une bille verte», «piger une
bille blanche».
Probabilité : P(piger une bille rouge OU verte) =
€
6
11 +3 11 =9 11
Expériences aléatoires à plusieurs étapes (avec ou sans remise)
Dans ce chapitre, tu devras être capable de :

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• Déterminer le nombre de résultats possibles d’une expérience à plusieurs étapes
1. Pour ce faire, on peut multiplier le nombre de résultats possibles à chacune des
étapes.
2. On peut également s’aider d’un diagramme en arbre.
• Calculer la probabilité d’un événement élémentaire d’une exp. à plusieurs étapes
1. On fait le produit des probabilités de chacun des événements intermédiaires à
chacune des étapes.
• Identifier des événements dépendants et indépendants
1. Événements dépendants : la réalisation de l’un influence la probabilité de la
réalisation de l’autre. [surtout expérience SANS REMISE]
2. Événements indépendants : la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité
de la réalisation de l’autre. [surtout expérience AVEC REMISE]
• Calculer la probabilité d’un événement composé d’une exp. à plusieurs étapes
1. Construire le diagramme en arbre associé à l’expérience.
2. Additionner toutes les probabilités des événements élémentaires qui
correspondent à l’événement recherché.
• Savoir que la somme des probabilités de TOUS les événements élémentaires d’une
expérience aléatoire est 1.

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Exemple 1 : Expérience aléatoire avec remise
Un sac contient 7 billes rouges (r), 4 billes vertes (v) et 6 billes blanches (b).
Expérience aléatoire : piger 2 billes successivement, avec remise.
Diagramme en arbre
Nombre de résultats possibles
3 x 3 = 9 résultats possibles
Voici des événements et leur probabilité correspondante :
1. Piger deux billes rouges
P (piger deux billes rouges) = P (r, r) =
€
7
17 ×7 17 =49 289
2. Piger au moins une bille verte
P (piger au moins une bille verte)
= P ((r, v) ou (v, r) ou (v, v) ou (v, b) ou (b, v)) =
€
28
289 +28 289 +16 289 +24 289 +24 289 =120 289
3. Piger deux billes de couleur différente
P (piger deux billes de même couleur)
= P ((v, v) ou (b, b) ou (r, r)) =
€
16
289 +36 289 +49 289 =101 289

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Exemple 2 : Expérience aléatoire sans remise
Un sac contient 7 billes rouges (r), 4 billes vertes (v) et 6 billes blanches (b).
Expérience aléatoire : piger 2 billes successivement, sans remise.
Diagramme en arbre
Nombre de résultats possibles
3 x 3 = 9 résultats possibles
Voici des événements et leur probabilité correspondante :
1. Piger deux billes rouges
P (piger deux billes rouges) = P (r, r) =
€
7
17 ×6 16 =42 272 =21 136
2. Piger au moins une bille verte
P (piger au moins une bille verte)
= P ((r, v) ou (v, r) ou (v, v) ou (v, b) ou (b, v))
=
€
28
272 +28 272 +12 272 +24 272 +24 272 =116 272 =29 68
3. Piger deux billes de couleur différente
P (piger deux billes de même couleur)
= P ((v, v) ou (b, b) ou (r, r)) =
€
12
272 +30 272 +42 272 =84 272 =21 68

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15.2 Ensembles, événements et probabilités
Intersection de deux ensembles
Le symbole
€
I
se lit «inter» ou «intersection». Il représente les éléments communs à deux
ensembles.
Ex : A : ensemble des diviseurs de 20
B : ensemble des diviseurs de 36
A
€
I
B = {1, 2, 4}
Ce sont les diviseurs communs de 20 et de 36.
Réunion de deux ensembles
Le symbole
€
U
se lit «union». Il représente tous les éléments des deux ensembles.
Ex : A : ensemble des diviseurs de 20
B : ensemble des diviseurs de 36
A
€
U
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 18, 20, 36}
Ce sont les diviseurs de 20 OU de 36.
Événements complémentaires
Deux événements sont complémentaires s’ils ne possèdent aucun résultat commun et si la
réunion des résultats possibles des deux événements correspond à l’univers des résultats
possibles (tous les résultats possibles).
A et B sont complémentaires si
€
AIB=∅et A ∪B=Ω
L’événement complémentaire à A est noté A’ et se lit «A complément». La somme des
probabilités de ces deux événements est 1.
€
P(A)+P(A') =1
Ex : Expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces
Événement A : obtenir un nombre pair
Événement A’ : obtenir un nombre impair
€
P(A)+P(A') =3
6+3 6=6 6=1