racines carrées

Cours n°9 : RACINES CARREES
Maths–3ème
1
La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels
(quotient de deux entiers).
L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres
irrationnels.
Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable 2 qui
étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre
indicible et jamais rencontré jusqu'alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le
fondement même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de
Métaponte, trahisse le secret. Celui-ci périra "curieusement" dans un naufrage !
I- RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
Activité : Quelle est la longueur de la diagonale d’un carré dont le côté mesure 1 m ?
Quel est le nombre positif dont le carré est égal à 2 ?
x 1 2 1,5 1,4 1,42 1,41 1,415
x² 1 4 2,25 1,96 2,0164 1,9881 2,002225
Le nombre cherché n’a pas d’écriture décimale, et n’est pas un nombre rationnel
(démonstration). Ainsi, on a défini ce nombre à l’aide d’une nouvelle écriture : 2
Définition :  désigne un nombre positif. L’unique nombre positif dont le carré est
égal à  se note √ et se lit « racine carré de  ». Le symbole √ s’appelle le radical.
Pour tout nombre 0, on a donc : √0 et √.
Exemples :
o 3 est le nombre positif dont le carré est 3, donc ( 3)² = 3.
o On a 1² = 1, donc 1 = 1.
o On a 0² = 0, donc 0 = 0.
Lesymboleutilisépourécrirelesracinespeut
fairepenseràunV,maisc’estunRstylisé.
MaispasleRderacine,celuide«Radical».
Eneffetpourparlerdesracinescarrées,on
p
eutaussiem
p
lo
y
erlemot«radicaux ».

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Remarque 1 : -5 = ?
La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5.
Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre
négatif est impossible.
-5 n’existe pas !
Propriété :  désigne un nombre positif. On a : ² .
Exemple : 36 = 6² = 6
Remarque 2 : pour un nombre très important de valeurs 0 , le nombre a est un
nombre irrationnel. Il n’a ni d’écriture décimale ni d’écriture fractionnaire. Ainsi, la
calculatrice permet de ne trouver qu’une valeur approchée de la racine carrée.
Nombre dont le carré vaut 10 Valeur exacte : 10
Valeur approchée : 3,16 au centième
3,162 au millième
Cependant, on peut donner avec ou sans calculatrice la valeur exacte de certaines
racines carrées. Les nombres positifs dont la racine carrée est un entier sont appelés
carrés parfaits ; voici la liste des premiers carrés parfaits :
Remarque 3 : devant l’écriture √, on est en présence de trois informations :
o  est un nombre positif ;
o  est un nombre positif ;
o ²   .
Exercice : voici une liste de nombres :
4;4;3²;4;√81;√81;√123;123²;15,29²;√13
Classer ces nombres dans un tableau à trois colonnes : ceux qui existent et ont une écriture
plus simple, ceux qui existent mais n’ont pas d’écriture plus simple et ceux qui n’existent pas.
existent et ont une écriture plus
simple
existent mais n’ont pas
d’écriture plus simple n’existent pas

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II- OPERATIONS SUR LES RACINES CARREES
Propriété 1 : a et b désignent deux nombres positifs, nous avons : √√ √
Exemple : 2 × 8 = 16 = 4² = 4
3 × 27 = 81 = 9² = 9
4 × 25 = 100 = 10² = 10
Démonstration :
o
Outils utilisés : propriétés des puissances et propriété vue au I/.
o
Démonstration :
1. soit x = a × b ; x > 0 ;
• x² = ( a × b)²
• x² = ( a)² × ( b)²
• x² = ab
2. donc : y = a × b ; y > 0 ;
• y² = ( a × b)² ;
• y² = ab
3. D’où : x = y, c’est-à-dire : a × b = a × b.
Remarque : quelque soit le nombre 0: √√  √² .
Exemple : √8√88
Propriété 2 ( admise ) : a et b désignent deux nombres positifs avec b ≠ 0, nous
avons :
√
√
Exemples : 32
2 = 32
2 = 16 = 4² = 4 ; 64 9 = 64
9 = 8² 3² = 8
3
Attention ! Quels que soient les nombres a et b positifs :
√√  √ et√√  √
Exemples :
o √2√5 ne peut être simplifié.
o 3√75√78√7

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III- SIMPLIFICATION D’ECRITURES
1) Simplifier une racine carrée
Définition : simplifier une racine carrée, c’est trouver une écriture de la forme √
pour laquelle le nombre sous le radical est le plus petit possible.
Méthode : il faut décomposer le nombre sous la racine carrée sous la forme d’un
produit où un des deux facteurs est un carré parfait ; à savoir 4 , 9 , 16 , 25 …
Exemple 1 : écrire plus simplement √72.
√362 ←
on fait « apparaître » dans 72 un carré parfait.
√36√2 ←
on extrait cette racine (propriété 1).
6√2 ←
on simplifie la racine « parfaite ».
Exemple 2 : écrire plus simplement √54√24.
Exemple 3 : développer puis simplifier 9√83√75.
93
√795√83√7√85
27
√7453√8752√2
27
√7453√41410√2
27
√7456√1410√2
2) Ecrire un quotient sans radical au dénominateur
Exemple 1 : écrire sans racine au dénominateur 
√.
L
e

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Exemple 2 : écrire sans racine au dénominateur √
√.
On va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par √2.
2√31√2
5√2√2
2√3√2√2
52 
2√6√2
10 
Exemple 3 : écrire sans racine au dénominateur  √
√.
On va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par √21, qui est appelée
expression conjuguée de √21.
 √2√21
√21√21
 2√2
2√2√21  2√2
√21
2√2
IV- EQUATION DU SECOND DEGRÉ DU TYPE : x² = a
Voici les cas pouvant se présenter :
→
Exemple 1 : résoudre l’équation ²  9.
o Il y a deux nombres dont le carré est 9 : 3 et -3.
o L’équation proposée a donc deux solutions.
→
Exemple 2 : résoudre l’équation ²  7.
o Il y a deux nombres dont le carré est 7 : √7 et √7.
o L’équation proposée a donc, elle aussi, deux solutions.
→
Exemple 3 : résoudre l’équation ²  0.
o Il y a un seul nombre dont le carré est 0 : c’est 0.
o L’équation proposée a donc une unique solution.
→
Exemple 4 : résoudre l’équation ²  36.
o Il n’existe pas de nombre dont le carré soit -36 (le carré d’un nombre n’est
jamais négatif).
o L’équation proposée n’a donc pas de solution.