Trigonometrie 1 Rappel : Fonctions cosinus et sinus 1.1 Définition Soit un triangle ABC rectangle en B. On [ appelle α l’angle BAC. AB Le rapport ne dépend que de l’angle AC α et on a le Cosinus : AB Cos(α) = AC De la même façon on a le Sinus : Sin(α) = 1.2 C α BC AC A B Valeurs remarquables On peut déterminer de façon exacte ces rapports pour certains angles particuliers. α 0˚ Cos(α) 1 Sin(α) 0 2 30˚ √ 3 2 1 2 45˚ √ 2 2 √ 2 2 60˚ 90˚ 1 2 √ 3 2 0 1 Cercle trigonométrique y On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1. J On appelle sens direct, ou sens trigonométrique le sens inverse des aiguilles d’une montre (indiqué + sur la figure). + • • O • α M • I Un point M du cercle peut être repéré par \ = α. l’angle IOM → −−→ \, on préfère la notation − Notation : Plutôt que la notation IOM OI ; OM . Question : Lesquelles de ces points appartiennent au cercle trigonométrique ? Page 1/5 x Trigonometrie 3 √ 3 4 – B( , ) 5 5 – A(1, 1) √ √ – E( 3, − 2) 3 1 – C(− , ) 2 2 Longueur d’un arc de cercle Le périmètre du cercle trigonométrique est P = 2π, ce qui correspond à un tour complet, soit un angle de 360˚. J • L’angle α est une faction d’un tour com_ plet. On aura donc l’arc IM en rapport à 2π égal à celui de α à 360˚. • + • O α M •I On peut alors compléter le tableau cidessous. α 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ 120˚ 180˚ 360˚ 0 π 6 π 8 π 3 π 2 2π 3 π 2π _ IM _ _ π ×α On constate que IM et α (exprimé en degrés) sont proportionnels et que IM = 180 où α est exprimé en degrés. Définition 1: On appelle radian l’unité d’angle telle qu’un tour complet représente un angle de 2π radians. On a la formule : αradians = π αdegrs 180 En exprimant les angles en radians, la lon_ gueur d’un arc IM de cercle de rayon R et d’angle α est tout simplement : _ M • α O IM = Rα • R •I 1 L’aire du secteur OIM est AOIM = R2 α 2 4 Enroulement de la droite des réels Une droite des réels est une droite quelconque permettant de représenter graphiquement l’ensemble des nombres réels. Cette droite est dotée d’un repère (O; I), O étant l’origine et I donnant le sens et l’échelle. Page 2/5 0• O 1• I 4, 5 x • M Trigonometrie Ici, dire que le point M représente la valeur 4, 5 revient à dire que OM = 4, 5, compté −→ positivement dans le sens de OI. y Enrouler cette droite sur le cercle trigonométrique c’est faire le même travail sur le cercle trigonométrique : On prend le cercle trigonométrique, l’échelle est donnée par son rayon OI, le sens est le sens trigonométrique. Alors dire que le point M représente 4, 5 re_ vient à dire que IM = 4, 5. ×π •x π × 2 M (x) d a 5r 4, M • × •I O J • × O • • x I × C • ×− A droite, la représentation d’un tel enroulement. M (x) est l’image du réel x sur le _ cercle trigonométrique : IM (x) = x. π 2 D ×−π Exercices du Math’x : 15 πet 16p156 On voit que M (0) = I et M = J. Mais M (2π) = I aussi ! En effet, 2π correspond à 2 un tour complet. Après un tour, M revient en I. On pourrait dire également que I = M (0) = M (2π) = M (4π) = M (6π) = · · · . Pour tous x ∈ R et k ∈ Z, on a M (x + 2kπ) = M (x). Autrement dit, M (x) = M (x0 ) ⇔ x − x0 = 2kπ avec k ∈ Z. En effet, un arc de longueur 2kπ correspond à exactement k tours complets du cercles 9π 17π Exemple : Les réels et − ont la même image sur le cercle trigonométrique. En 13 13 9π 17π 26π effet, − − = = 2π. 13 13 13 Exercices du Math’x : 23 p157 Page 3/5 Trigonometrie 5 Cosinus et sinus d’un nombre réel Définition 2: Dans le repère orthonormal (O; I; J), le point M (x) a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)). Cette définition est naturelle si on utilise les radians. En effet, dans le triangle OM a, OM = 1 est l’hypoténuse et Oa est le coté adjacent de Oa = xM . l’angle α. On a donc cos(α) = OM De même, sin(α) = yM . Or, dire que M est l’image du réel x sur le cercle trigonométrique, c’est dire que J• b• M α _ IM (x) = x, ou encore que α = x, si α est exprimé en radians. • O • • a • I On donne ci-dessous quelques valeurs remarquables. α 0˚ α en rad 0 cos(α) 1 sin(α) 0 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ π 6 √ 3 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 π 2 1 2 1 2 √ 3 2 √J 3 √2 2 2 1 2 0 1 √ 1 2 O √ 2 2 3 2 I J Remarque : On n’est pas limités à des angles positifs et aigus ! Avec cette nouvelle définition, on peut calculer les cosinus et sinus d’angles négatifs et plus grands qu’un angle droit. 3π Ci-contre, exemple d’un angle de (soit 4 π 135˚) et un autre de − (soit −30˚). 6 √ 2 2 √ 3π 4 √ − 2 2 O 3 2 π 6 I − 12 On peut utiliser les symétries pour trouver les cosinus et sinus des angles autres que ceux connus. Exercices du Math’x : 26 et 29 p157 Page 4/5 Trigonometrie 6 Propriétés des fonctions sinus et cosinus Propriété 1: Pour tout réel x : – (cos(x))2 + (sin(x))2 = 1. On préfère généralement la notation : cos2 (x) + sin2 (x) = 1 – −1 6 cos(x) 6 1 – −1 6 sin(x) 6 1 Démonstration : – Soit x un réel. M (x) est l’image de x sur le cercle trigonométrique et ses coordonnées sont (cos(x) ; sin(x)). On a OM 2 = cos2 (x) + sin2 (x) et comme M est sur le cercle trigonométrique, OM = 1. – Notons X = cos(x) et Y = sin(y). X 2 + Y 2 = 1 donc Y 2 = 1 − X 2 . Comme X 2 > 0 alors Y 2 6 1 et donc −1 6 Y 6 1. On raisonne de même pour X. √ !2 2 3+1 3 1 π = =1 + Exemple : Pour x = , cos2 (x) + sin2 (x) = 6 2 2 4 Page 5/5