PROBABILITÉS Loi binomiale - Échantillonnage - XMaths

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PROBABILITÉS
Loi binomiale - Échantillonnage
I Épreuve de Bernoulli - Loi binomiale
Exemple
On lance deux fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
Les deux lancers sont indépendants (c'est-à-dire que le résultat du second lancer ne dépend pas du résultat
du premier). À chaque lancer, on a p(F) = p(P) = 1
2
On peut représenter la succession des deux lancers par un arbre et
faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre.
(On dit dans ce cas qu'il s'agit d'un arbre pondéré)
La probabilité d'obtenir deux fois "Face" est p(F,F) = 1
2
x 1
2 = 1 4
La probabilité d'obtenir deux fois "Pile" est p(P,P) = 1
2
x 1
2 = 1 4
La probabilité d'obtenir "Face" suivi de "Pile" est p(F,P) = 1
2
x 1
2 = 1 4
La probabilité d'obtenir "Pile" suivi de "Face" est p(P,F) = 1
2
x 1
2 = 1 4
Exercice 01 (voir réponses et correction)
Une pièce n'est pas parfaitement équilibrée. En effectuant un grand nombre de lancers, on a remarqué que
"Face" est obtenu dans 40% des cas et "Pile" dans 60% des cas.
On admet donc qu'à chaque lancer, on a p(F) = 2
5 et p(P) = 3 5 .
On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants.
1°) Représenter la situation par un arbre et faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre.
2°) Déterminer p(P,P) et p(F,F).
3°) Déterminer la probabilité de l'événement E : « obtenir une fois "Pile" et une fois "Face" ».
4°) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le nombre de fois que l'on
a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X.
Exercice 02 (voir réponses et correction)
Un magasin organise un jeu. Chaque personne entrant dans le magasin reçoit un billet portant l'un des trois
numéros : 0 ; 2 ou 5.
Pour chaque personne entrant dans le magasin, la probabilité de recevoir un billet portant le numéro 0 est
p(0) = 0,5 et la probabilité de recevoir un billet portant le numéro 2 est p(2) = 0,4.
• Un billet numéro 0 est un billet perdant.
• Un billet numéro 2 est un billet gagnant un stylo.
• Un billet numéro 5 est un billet gagnant une montre.
Un couple rentre dans un magasin et chacune des deux
personnes du couple reçoit un billet.
1°) Reproduire et terminer l'arbre pondéré ci-contre
représentant la situation.
2°) Calculer la probabilité des événements suivants :
a) Le couple ne gagne rien ;
b) Le couple gagne deux montres ;
c) Le couple gagne une montre et un stylo ;
d) Le couple gagne uniquement un stylo.
F
P
F
P
F
P
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
2
5
0
2
5
0
0,5
0,4

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Exercice 03 (voir réponses et correction)
On utilise une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elle est équilibrée.
Pour cette pièce on suppose que la probabilité d'obtenir "Face" est un nombre réel p de l'intervalle [0 ; 1].
1°) Donner la valeur de la probabilité d'obtenir "Pile".
2°) On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants.
a) Représenter la situation par un arbre pondéré.
b) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le nombre de fois que
l'on a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X.
Exercice 04 (voir réponses et correction)
On jette un dé cubique équilibré. Ce dé comporte deux faces vertes, trois faces bleues et une face rouge.
On note la couleur apparaissant sur la face supérieure. Si une face verte apparaît, on gagne 10 € ; si une
face bleue apparaît, on gagne 20 €, si une face rouge apparaît on gagne 50 €.
On jette deux fois de suite ce dé, de façon indépendante.
1°) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2°) On note G la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la suite des deux lancers.
a) Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de G
Gain 20 30
Probabilité
b) Calculer l'espérance mathématique de G
c) Pour pouvoir faire les deux lancers, une personne doit miser 50 €.
Un joueur peut-il espérer gagner sur le long terme ?
Définition
On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve ayant deux éventualités : S (succès) et S (échec).
La loi de Bernoulli de paramètre p associe à l'événement S la probabilité p et à S la probabilité 1 - p .
Exemple
On considère une épreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont S : "Succès" et E = S : "Échec".
Notons p(S) = p et p(E) = 1 - p.
On répète trois fois cette épreuve, de manière indépendante, et on s'intéresse au nombre de Succès que
l'on obtient sur les trois essais. On peut traduire la situation par un arbre de probabilités :
S 3 Succès
S
E 2 Succès
S
S 2 Succès
E
E 1 Succès
S 2 Succès
S
E 1 Succès
E
S 1 Succès
E
E 0 Succès
D'après l'arbre, la probabilité d'obtenir la suite (S ; S ; E) est : p x p x (1 - p) = p
2
(1 - p)
De même la probabilité de (S ; E ; S) est p
2
(1 - p) et la probabilité de (E ; S ; S) est aussi p
2
(1 - p)
La probabilité d'obtenir exactement deux Succès sur les trois essais est la probabilité de l'événement :
{(S ; S ; E) ;(S ; E ; S) ; (E ; S ; S)}. Elle est donc égale à 3 x p
2
(1 - p) .
En notant x
i
le nombre de Succès obtenus sur les trois essais, on peut justifier que l'obtient la loi de
probabilité ci-dessous :
x
i
0 1 2 3
p
i
(1 - p)
3
3 p(1 - p)
2
3 p
2
(1 - p) p
3
p
1
-
p
p
1
-
p
p
1
-
p
p
1
-
p
p
1
-
p
p
1
-
p
p
1
-
p

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Exercice 05 (voir réponses et correction)
73 % d'une population déterminée, possède un ordinateur.
Lorsqu'on interroge une personne dans cette population, on note :
O l'événement : « la personne possède un ordinateur »
et O : « la personne ne possède pas d'ordinateur ».
1°) Quelle est la probabilité de O ?
2°) On interroge successivement, au hasard et de façon
indépendante trois personnes dans cette population.
a) Terminer et compléter l'arbre ci-contre.
b) Quelle est la probabilité que les trois personnes
interrogées aient un ordinateur.
c) Quelle est la probabilité qu'aucune des trois
personnes interrogées n'ait un ordinateur.
d) Quelle est la probabilité qu'une exactement des trois
personnes interrogées ait un ordinateur (et que les
deux autres n'en aient pas).
Exercice 06 (voir réponses et correction)
La société qui imprime des tickets pour un jeu de
grattage a reçu la consigne d'imprimer 5 % de tickets
gagnants. Ces tickets gagnants sont soigneusement
mélangés avec les autres tickets qui eux sont perdants.
Lorsqu'une personne achète un ticket, on note :
G l'événement : « le ticket est gagnant » ;
P l'événement : « le ticket est perdant ».
Une personne achète trois tickets.
1°) Terminer et compléter l'arbre ci-contre.
(On indiquera les probabilités sur les branches)
2°) Quelle est la probabilité que les trois tickets achetés
soient gagnants.
3°) Justifier que la probabilité qu'un seul des trois tickets
soit gagnant est égale à 0,135375.
4°) On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de
tickets gagnants obtenus (sur les trois tickets
achetés).
Donner la loi de probabilité de X.
Calculer l'espérance mathématique de X.
Exercice 07 (voir réponses et correction)
Dans les mêmes conditions que pour l'exercice 06 on suppose maintenant que la personne achète quatre
tickets. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les quatre
tickets achetés).
Donner la loi de probabilité de X.
Calculer l'espérance mathématique de X.
Définition
On appelle schéma de Bernoulli, la répétition n fois, de manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli.
Si X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès à l'issue du schéma de Bernoulli, on
appelle loi binomiale la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Exemples
Dans les exercices 06 et 07, on a déterminé la loi binomiale correspondant à un schéma de Bernoulli, avec 3
répétitions et 4 répétitions.
Définition
On répète n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli et on considère l'arbre correspondant
à cette répétition. On appelle coefficient binomial n
k le nombre de chemins de l'arbre réalisant k succès.
O
O
O
O
O
O
O
0,73
0,73
0,73
G
P
G
G

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Exemple
En considérant l'arbre ci-contre correspondant à 3 répétitions,
on peut établir les 8 chemins suivants :
SSS ; SSE ; SES ; SEE ; ESS ; ESE ; EES ; EEE
Un seul chemin réalise 3 succès : c'est SSS
On a donc 3
3 = 1
Trois chemins réalisent 2 succès : ce sont SSE ; SES ; ESS
On a donc 3
2 = 3
Trois chemins réalisent 1 succès : ce sont SEE ; ESE ; EES
On a donc 3
1 = 3
Un seul chemin réalise 0 succès : c'est EEE
On a donc 3
0 = 1
Exercice 08 (voir réponses et correction)
Faire un arbre correspondant à un schéma de Bernoulli à 4 répétitions.
Vérifier que 4
4 = 1 ;
4
3 = 4 ;
4
2 = 6 ;
4
1 = 4 ;
4
0 = 1
Remarque
Les coefficients binomiaux peuvent être donnés par une calculatrice ou un ordinateur.
Pour déterminer le coefficient 4
2
Calculatrice TI : 4 math PRB Combinaison 2 entrer ou 4 MATH PRB nCr 2 ENTER
Calculatrice Casio : 4 OPTN  PROB nCr 2
Tableur : =COMBIN(4;2)
Algobox : ALGOBOX_COEFF_BINOMIAL(4,2)
Exercice 09 (voir réponses et correction)
En utilisant AlgoBox, écrire un algorithme permettant de trouver les coefficients binomiaux n
k .
L'algorithme devra fonctionner au moins pour 2 £ n £ 10 .
On l'utilisera pour compléter le tableau suivant :
k
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 1 2 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx
3 1 3 3 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx
4 1 4 6 4 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx
5 xxx xxx xxx xxx xxx
6 xxx xxx xxx xxx
7 xxx xxx xxx
8 xxx xxx
9 xxx
10
Propriété
Dans un schéma de Bernoulli comportant n répétitions, si p est la probabilité du succès de l'épreuve de
Bernoulli, la probabilité d'obtenir k succès (avec 0 £ k £ n) est : p(X = k) =
n
k p
k
(1 - p)
n-k
On dit que la loi binomiale a pour paramètres n et p. On la note B(n ; p).
S
E
S
S
E
E
S
S
S
S
E
E
E
E

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Exemple
Une pièce de monnaie n'est pas équilibrée et la probabilité d'obtenir "Pile" est égale à 0,6.
On jette 10 fois cette pièce.
La probabilité d'obtenir 7 fois "Pile" est : p(X = 7) = 10
7
x 0,6
7
x (1 - 0,6)
10-7
= 10
7
x 0,6
7
x 0,4
3
Une calculatrice ou un ordinateur donne 10
7 = 120.
Donc p(X = 7) = 120 x 0,6
7
x 0,4
3
on trouve alors p(X = 7) ≈ 0,21499 .
Exercice 10 (voir réponses et correction)
Dans un schéma de Bernoulli comportant 9 répétitions la probabilité du succès est 0,65.
On appelle X le nombre de succès obtenus.
Déterminer p(X = 0) ; p(X = 3) ; p(X = 8) ; p(X £ 2).
On donnera dans chaque cas la valeur exacte puis une valeur approchée à 10
-6
près.
Remarque
Dans une feuille de tableur,
• on pourra obtenir la valeur de p(X = k) = n
k p
k
(1 - p)
n-k
avec la formule =LOI.BINOMIALE(k;n;p;0)
Par exemple =LOI.BINOMIALE(8;9;0,65;0) donnera la valeur 0,100373 (voir exercice 10)
• on pourra obtenir la valeur de p(X £ k) en utilisant la formule =LOI.BINOMIALE(k;n;p;1)
Par exemple =LOI.BINOMIALE(2;9;0,65;1) donnera la valeur 0,011182 (voir exercice 10)
Exercice 11 (voir réponses et correction)
On jette 10 fois de suite une pièce parfaitement équilibrée. On appelle X le nombre de "Pile" obtenus.
1°) Donner la probabilité d'obtenir exactement 4 fois "Pile".
2°) a) Donner dans le tableau ci-dessous la loi de probabilité de X.
x
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X = x
i
)
b) Représenter cette loi de probabilité par un diagramme en bâtons.
c) Calculer l'espérance mathématique de X.
Exercice 12 (voir réponses et correction)
Un QCM (questionnaire à choix multiples) est composé de 8 questions indépendantes.
Pour chaque question quatre réponses sont proposées et une seule de ces quatre réponses est juste.
Un candidat répond au hasard aux 8 questions de ce QCM.
On appelle N le nombre de réponses justes qu'il obtient.
1°) Montrer que la loi de probabilité de N est une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2°) Calculer p(N = 8) et p(N = 4) puis en donner des valeurs approchées à 10
-6
près.
3°) Donner la loi de probabilité de N.
4°) Représenter cette loi de probabilité par un diagramme en bâtons.
5°) Calculer l'espérance mathématique de N.
6°) Comment doit-on noter ce QCM pour qu'un candidat qui répond au hasard ait en moyenne 0.
Propriété
L'espérance mathématique de la loi binomiale B(n ; p) de paramètres n et p est : E = n x p
Exemple
Si on répète 10 fois une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du succès est 0,5 l'espérance
mathématique du nombre de succès est : 10 x 0,5 = 5. (Résultat obtenu dans l'exercice 11)
Si on répète 8 fois une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du succès est 0,25 l'espérance
mathématique du nombre de succès est : 8 x 0,25 = 2. (Résultat obtenu dans l'exercice 12)
Remarque
On pourra aussi vérifier la formule de l'espérance sur les résultats des exercices 01 ; 03 ; 06 et 07.