3e Activité Activité : Découverte du PGCD. Partie n°2 1 ≺ PGCD Problème : Marc a 108 roses rouges et 135 rose blanches. Il veut faire des bouquets de sorte que : tous les bouquets contiennent le même nombre de roses rouges ; tous les bouquets contiennent le même nombre de roses blanches ; toutes les roses rouges et les roses blanches soient utilisées. On cherche dans un premier temps le nombre maximal de bouquets que l'on pourra réaliser. Pour cela, on va chercher en combien on peut diviser chaque couleur de billes. a. Cite et classe dans l'ordre croissant tous les diviseurs entiers positifs de 108 : (il y en a 12) b. Cite et classe dans l'ordre croissant tous les diviseurs entiers positifs de 135 : (il y en a 8) On appelle diviseur commun à deux nombres, un nombre qui divise à la fois ces deux nombres. c. Cherche un diviseur commun à 108 et 135. Entoure le. Combien peut-on alors réaliser de bouquets de roses ? d. Combien y aura-t-il alors de roses rouges et de roses blanches dans chaque bouquet ? Conclusion : Dans des problèmes concrets, il nous arrive de chercher des diviseurs communs à deux nombres a et b. Parmi ces diviseurs, il y en a un de particulier, le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres a et b est appelé PGCD de a et b. On le note : PGCD ( a ; b ) Activité 2 ≺ PGCD Problème : Un photographe doit réaliser une exposition en pré- sentant ses ?uvres sur des panneaux contenant chacun le même nombre de photos de paysage et le même nombre de portraits. Il dispose de 224 photos de paysage et de 288 portraits. a. Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes les photos ? b. Combien chaque panneau contient-il de paysages et de portraits ? Activité 3 ≺ Recherche du PGCD de deux nombres à partir d'algorithme : Si on veut calculer le PGCD de 26187 et 11223. Il s'agit de grands nombres, il sera donc très fastidieux de rechercher tous les diviseurs de chacun des nombres puis de trouver le plus grand diviseur commun. IL existe deux algorithmes pour calculer le pgcd. Algorithme a. Exemple : calculons le PGCD de 578 et 170 578 408 238 170 102 68 34 170 170 170 68 68 34 34 Diérences 408 238 68 102 34 34 0 Collège Sébastien Vauban EL BAKHRI Par diérences successives, on diminue les deux nombres, jusqu'à ce que la diérence fasse 0 ; à cette étape on a PGCD(578 ; 170) = PGCD(170 ; 238) = . . . = PGCD(34 ; 34) = 34 donc le PGCD est la dernière dif- férence non nulle dans les diérences successives. page 1 LATEX 3e b. Algorithme d'Euclide : divisions successives l'algorithme d'Euclide : 3150 1246 658 588 70 28 1246 658 588 70 28 14 Restes 658 588 70 28 14 0 Collège Sébastien Vauban EL BAKHRI calcul du PGCD de 3150 et 1246 par Par divisions successives du diviseur par le 3150 = 1246 × 2 + 658reste, on diminue les deux nombres jusqu'à 1246 = 658 × 1 + 588 ce que le reste fasse 0 ; à cette étape on a 658 = 588 × 1 + 70 PGCD(3150 ; 1246) = PGCD(1246 ; 658) = 588 = 70 × 8 + 28 . . . = PGCD(28,14) = 14 donc le PGCD 70 = 28 × 2 + 14 est le dernier reste non nul dans les 28 = 14 × 2 + 0 divisions successives page 2 LATEX