Activité : Découverte du PGCD. Partie n°2

3e
Activité
Activité : Découverte du PGCD. Partie n°2
1 ≺ PGCD
Problème :
Marc a 108 roses rouges et 135 rose blanches. Il veut faire des bouquets de sorte que :
tous les bouquets contiennent le même nombre de roses rouges ;
tous les bouquets contiennent le même nombre de roses blanches ;
toutes les roses rouges et les roses blanches soient utilisées.
On cherche dans un premier temps le nombre maximal de bouquets que l'on pourra réaliser.
Pour cela, on va chercher en combien on peut diviser chaque couleur de billes.
a. Cite et classe dans l'ordre croissant tous les diviseurs entiers positifs de 108 : (il y en a 12)
b. Cite et classe dans l'ordre croissant tous les diviseurs entiers positifs de 135 : (il y en a 8) On
appelle diviseur commun à deux nombres, un nombre qui divise à la fois ces deux nombres.
c. Cherche un diviseur commun à 108 et 135. Entoure le. Combien peut-on alors réaliser de
bouquets de roses ?
d. Combien y aura-t-il alors de roses rouges et de roses blanches dans chaque bouquet ?
Conclusion : Dans des problèmes concrets, il nous arrive de chercher des diviseurs communs
à deux nombres a et b.
Parmi ces diviseurs, il y en a un de particulier, le Plus Grand Commun Diviseur de deux
nombres a et b est appelé PGCD de a et b. On le note :
PGCD ( a ; b )
Activité
2 ≺
PGCD
Problème : Un photographe doit réaliser une exposition en pré-
sentant ses ?uvres sur des panneaux contenant chacun le même nombre de photos de paysage
et le même nombre de portraits. Il dispose de 224 photos de paysage et de 288 portraits.
a. Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes les photos ?
b. Combien chaque panneau contient-il de paysages et de portraits ?
Activité 3 ≺
Recherche du PGCD de deux nombres à partir d'algorithme
: Si
on veut calculer le PGCD de 26187 et 11223. Il s'agit de grands nombres, il sera donc très
fastidieux de rechercher tous les diviseurs de chacun des nombres puis de trouver le plus grand
diviseur commun. IL existe deux algorithmes pour calculer le pgcd.
Algorithme
a. Exemple : calculons le PGCD de 578 et 170
578
408
238
170
102
68
34
170
170
170
68
68
34
34
Diérences
408
238
68
102
34
34
0
Collège Sébastien Vauban
EL BAKHRI
Par diérences successives, on diminue les
deux nombres, jusqu'à ce que la diérence
fasse 0 ; à cette étape on a PGCD(578 ; 170)
= PGCD(170 ; 238) = . . . = PGCD(34 ; 34)
= 34 donc le PGCD est la dernière dif-
férence non nulle dans les diérences
successives.
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3e
b.
Algorithme d'Euclide : divisions successives
l'algorithme d'Euclide :
3150
1246
658
588
70
28
1246
658
588
70
28
14
Restes
658
588
70
28
14
0
Collège Sébastien Vauban
EL BAKHRI
calcul du PGCD de 3150 et 1246 par
Par divisions successives du diviseur par le
3150 = 1246 × 2 + 658reste, on diminue les deux nombres jusqu'à
1246 = 658 × 1 + 588 ce que le reste fasse 0 ; à cette étape on a
658 = 588 × 1 + 70 PGCD(3150 ; 1246) = PGCD(1246 ; 658) =
588 = 70 × 8 + 28
. . . = PGCD(28,14) = 14 donc le PGCD
70 = 28 × 2 + 14
est le dernier reste non nul dans les
28 = 14 × 2 + 0
divisions successives
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