Solutions du Contrôle de spécialité / Bac blanc TS3

Solutions du Contrˆole de sp´ecialit´e / Bac blanc TS3 page 1 de 1
Solutions du Contrˆole de sp´ecialit´e / Bac blanc TS3
Exercice de sp´ecialit´e (5 points)
1. a) Si nest impair, il s’´ecrit n= 2p+ 1.
Or 5 ≡2 [3], donc 5n≡52p+1 ≡22p+1 ≡22p×2≡4p×2.
Or 4 ≡1 [3], donc 5n≡2 [3].
S’il y avait une solution, on aurait : a2≡2 [3] (puisque 9 ≡0 [3]).
On examine les carr´es possibles modulo 3 : a012
a2011
Donc aucun carr´e n’est congru `a 2 modulo 3, donc le probl`eme n’a pas de
solution
b) Si n= 2p, 5n−a2= 52p−a2= (5p−a)(5p+a).
Donc le probl`eme ´equivaut `a (5p−a)(5p+a) = 9.
Donc 5p−aet 5p+asont des diviseurs de 9.
Mais d’autre part a>0 et le r´esultat 9 est positif, donc 0 65p−a65p+a.
Donc les seules possibilit´es sont : 5p−a= 1
5p+a= 9 et d’autre part 5p−a= 3 5p+a= 3
On r´esout chaque syst`eme : le premier donne a= 4 et p= 1, et le deuxi`eme
n’a pas de solution car 3 et 5 sont premiers entre eux (il faudrait a= 0 et
5p= 3).
Donc une seule solution : 42+ 9 = 52.
2. a) D’apr`es le lemme d’Euclide :
dn= PGCD(2n+1 + 1; 2n+2 −3) = PGCD(2n+1 + 1; 2n+2 −3−2(2n+1 + 1))
dn= PGCD(2n+1 + 1; −5).
Puisque le PGCD est un diviseur commun particulier, dndivise 5 .
b) On cherche les ntels que dn= 1. Or dnne peut ˆetre ´egal qu’`a 1 ou 5 d’apr`es
la question pr´ec´edente.
Cherchons quand on peut avoir dn= 5. Puisque dn= PGCD(2n+1 + 1; −5),
dnest ´egal `a 5 si et seulement si 5 divise 2n+1 + 1, c’est-`a-dire 2n+1 ≡ −1 [5].
Voyons quand c’est possible.
On ´etudie les premi`eres puissances de 2 modulo 5 :
n01234
2n02431
Puisque 24≡1 [5], la valeur de 2nd´epend du reste rde la division de npar
4, car 24q+r=24q2r≡2r[5].
Or, d’apr`es le tableau, les seuls cas o`u 2k≡4 [5] sont pour k≡2 [4] (condition
n´ecessaire et suffisante). On a donc dn= 5 dans tous les cas o`u n+ 1 ≡2 [4]
et seulement dans ces cas.
Donc la r´eponse est : l’ensemble des nnon congrus `a 1 modulo 4 .
3. a) 5x−7y=a, donc tout diviseur commun `a xet ydivise a(par combinaison
lin´eaire).
2x−3y=−b, donc tout diviseur commun `a xet ydivise b(par combinaison
lin´eaire).
R´eciproque : soit uun diviseur de aet b.
Il divise xpuisque x= 3a+ 7bet il divise ypuisque y= 2a+ 5b(par
combinaison lin´eaire). Donc la r´eciproque est vraie.
b) Soit pimpair et q=p+ 2.
Alors PGCD(p, q) = PGCD(p, p+2) = PGCD(p, 2) (lemme d’Euclide). Mais 2
ne divise pas ppuisque pest impair. Comme 2 est premier, la seule possibilit´e
restante est PGCD(p, q) = PGCD(p, 2) = 1 .
Donc pet qn’ont aucun facteur premier commun. Donc pmet qnnon plus,
donc pmet qnsont premiers entre eux .
c) L’ensemble des diviseurs communs `a xet yest l’ensemble des diviseurs de
PGCD(x, y) d’apr`es une propri´et´e. Or d’apr`es la question 1, l’ensemble des
diviseurs communs `a xet yest ´egal `a l’ensemble des diviseurs communs `a a
et b. Donc en particulier PGCD(x;y) = PGCD(a, b).
Or PGCD(a, b) = 20082006PGCD(20072006; 20092006). Comme 2007 et 2009
sont deux nombres impairs cons´ecutifs, PGCD(20072006 ; 20092006) = 1 d’apr`es
la question pr´ec´edente.
On d´ecompose 2008 en produit de facteurs premiers : 2008 = 23×251. Donc
20082006 = 23×2006 ×2512006
D’apr`es un th´eor`eme, le nombre des diviseurs est (3 ×2006 + 1)(2006 + 1) =
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