Solutions du Contrôle de spécialité / Bac blanc TS3 page 1 de 1 Solutions du Contrôle de spécialité / Bac blanc TS3 Exercice de spécialité (5 points) 1. 2. a) Si n est impair, il s’écrit n = 2p + 1. Or 5 ≡ 2 [3], donc 5n ≡ 52p+1 ≡ 22p+1 ≡ 22p × 2 ≡ 4p × 2. Or 4 ≡ 1 [3], donc 5n ≡ 2 [3]. S’il y avait une solution, on aurait : a2 ≡ 2 [3] (puisque 9 ≡ 0 [3]). a 0 1 2 On examine les carrés possibles modulo 3 : 2 a 0 1 1 Donc aucun carré n’est congru à 2 modulo 3, donc le problème n’a pas de solution b) Si n = 2p, 5n − a2 = 52p − a2 = (5p − a)(5p + a). Donc le problème équivaut à (5p − a)(5p + a) = 9. Donc 5p − a et 5p + a sont des diviseurs de 9. p p Mais d’autre part a > 0 et le résultat p 9 est positif, donc 0 6 5 − ap 6 5 + a. 5 −a=1 5 −a=3 et d’autre part Donc les seules possibilités sont : 5p + a = 3 5p + a = 9 On résout chaque système : le premier donne a = 4 et p = 1, et le deuxième n’a pas de solution car 3 et 5 sont premiers entre eux (il faudrait a = 0 et 5p = 3). Donc une seule solution : 42 + 9 = 52 . a) D’après le lemme d’Euclide : dn = PGCD(2n+1 + 1; 2n+2 − 3) = PGCD(2n+1 + 1; 2n+2 − 3 − 2(2n+1 + 1)) dn = PGCD(2n+1 + 1; −5). Puisque le PGCD est un diviseur commun particulier, dn divise 5 . b) On cherche les n tels que dn = 1. Or dn ne peut être égal qu’à 1 ou 5 d’après la question précédente. Cherchons quand on peut avoir dn = 5. Puisque dn = PGCD(2n+1 + 1; −5), dn est égal à 5 si et seulement si 5 divise 2n+1 + 1, c’est-à-dire 2n+1 ≡ −1 [5]. Voyons quand c’est possible. On étudie les premières puissances de 2 modulo 5 : n 0 1 2 3 4 2n 0 2 4 3 1 Puisque 24 ≡ 1 [5], la valeur de 2n dépend du reste r de la division de n par q 4, car 24q+r = 24 2r ≡ 2r [5]. Or, d’après le tableau, les seuls cas où 2k ≡ 4 [5] sont pour k ≡ 2 [4] (condition nécessaire et suffisante). On a donc dn = 5 dans tous les cas où n + 1 ≡ 2 [4] et seulement dans ces cas. Donc la réponse est : l’ensemble des n non congrus à 1 modulo 4 . 3. a) 5x − 7y = a, donc tout diviseur commun à x et y divise a (par combinaison linéaire). 2x − 3y = −b, donc tout diviseur commun à x et y divise b (par combinaison linéaire). Réciproque : soit u un diviseur de a et b. Il divise x puisque x = 3a + 7b et il divise y puisque y = 2a + 5b (par combinaison linéaire). Donc la réciproque est vraie. b) Soit p impair et q = p + 2. Alors PGCD(p, q) = PGCD(p, p+2) = PGCD(p, 2) (lemme d’Euclide). Mais 2 ne divise pas p puisque p est impair. Comme 2 est premier, la seule possibilité restante est PGCD(p, q) = PGCD(p, 2) = 1 . Donc p et q n’ont aucun facteur premier commun. Donc pm et q n non plus, donc pm et q n sont premiers entre eux . c) L’ensemble des diviseurs communs à x et y est l’ensemble des diviseurs de PGCD(x, y) d’après une propriété. Or d’après la question 1, l’ensemble des diviseurs communs à x et y est égal à l’ensemble des diviseurs communs à a et b . Donc en particulier PGCD(x; y) = PGCD(a, b). Or PGCD(a, b) = 20082006 PGCD(20072006 ; 20092006 ). Comme 2007 et 2009 sont deux nombres impairs consécutifs, PGCD(20072006 ; 20092006 ) = 1 d’après la question précédente. On décompose 2008 en produit de facteurs premiers : 2008 = 23 × 251. Donc 20082006 = 23×2006 × 2512006 D’après un théorème, le nombre des diviseurs est (3 × 2006 + 1)(2006 + 1) = 12 080 133