LOI DE PROBABILITÉ PROBABILITÉS - Hachette

LOI DE PROBABILITÉ
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
LOI DE PROBABILITÉ
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Sommaire
1. Espérance et variance d’une loi
2. Adéquation à une loi équirépartie
3. Probabilité conditionnelle
4. Indépendance
5. Loi Binomiale
Logiciels
1.Adéquation à une loi équirépartie à
l’aide de la calculatrice
2.Élaboration d’un test d’équiréparti-
tion sur tableur
3.La planche de GALTON à l’aide
d’un tableur
Lorsqu’une société de
vente de pizzas surgelées est en
concurrence sur le marché de la
grande distribution, elle peut prendre le
risque d’accepter une baisse de bénéfice
unitaire si elle espère vendre plus en volume.
Comment le calcul sur les probabilités
peut-il être une aide à la décision ?
voir exercice 86
Aide à la décision

CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
111
ACTIVITÉS
ACTIVITÉS
Activité 1. Fréquences conditionnelles
Une enquête dans une classe de 35 élèves de
Te r minale ES porte sur les études post-bac
souhaitées par les élèves.
Répartition en pourcentage arrondi à l’unité :
1° a) Quelle est la part des filles dans la classe
de Terminale ES ?
b) Recopier et compléter l’arbre
pondéré ci-contre en plaçant
les parts sur les branches.
F
G
2°a) Parmi les filles, quelle est la part des
élèves ayant choisi des études courtes ?
b) Placer ce résultat sur la branche qui
convient, puis compléter l’arbre.
3° Parmi les élèves de la Terminale ES, quelle
est la part des garçons qui ont choisi des
études courtes ?
Où lit-on ce résultat sur l’arbre précédent ?
FG
CLC
L
voir rabats de
couverture
Activité 2. Répétitions d’épreuves
Dans une classe de 30 élèves de Terminale, 18
ont choisi d’apprendre à conduire à 16 ans en
conduite accompagnée.
On interroge un élève au hasard.
1° a) Calculer la probabilité que ce soit un
élève pratiquant la conduite accompagnée.
b) Recopier et compléter l’arbre
pondéré en plaçant les probabi-
lités sur les branches.
2° On interroge ensuite un deuxième élève de
Te r minale, dans l’ensemble des 30 élèves de la
classe.
C
C
Compléter l’arbre précédent, suivant le résultat
pour le premier élève.
3° On interroge un troisième élève toujours
dans la classe complète de Terminale.
a) À l’aide de l’arbre précédent, déterminer
toutes les issues.
b) Combien d’issues de cet arbre contiennent
exactement un élève pratiquant la conduite
accompagnée ?
c) Comment peut-on utiliser l’arbre pour calcu-
ler la probabilité d’avoir interrogé un seul élève
pratiquant la conduite accompagnée ?
Activité 3. Distribution de fréquences
1° a) Simuler, à l’aide de la calculatrice, le
tirage de 200 chiffres aléatoires, de 1 à 7
compris , et stocker la liste en liste 1 .
b) Calculer les fréquences d’apparition f1, f2,
…, f7de chacun des sept chiffres à 10–3 près
et stocker les fréquences en liste 2 .
Sont-elles toutes égales ? Expliquer.
2° On choisit, au hasard, un nombre entier de
1 à 7 compris.
a) Donner la loi de probabilité équirépartie sur :
E={1;2;3;4;5;6;7} .
b) À l’aide du calcul sur les listes, calculer
le carré de la distance des fréquences obser-
vées, f1, f2, …, f7, à la loi équirépartie,
distance définie par la formule ci-après.
d2=f1– 2+ f2– 2+ … + f7– 2.
3° On effectue 30 simula-
tions d’un tirage de 200
chiffres aléatoires de 1 à
7 compris, puis on calcule
les 30 valeurs du carré
de la distance.
La répartition des 30
valeurs de d
2
est donnée
par le diagramme en boîte
ci-contre.
Lire le troisième quartile
de cette série.
Interpréter le résultat .
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0,000
1
7
1
7
1
7
C: BTS-IUT L: Université-
CPGE total
fille 45 55 57
garçon 73 27 43
TESTS PRÉLIMINAIRES
TESTS PRÉLIMINAIRES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
110
Une roue de loterie est formée de cinq secteurs
égaux, numérotés de 0 à 4.
On lance la roue deux fois de suite et on note
les chiffres apparus.
On obtient alors un nombre :
le premier chiffre sorti est le chiffre des dizai-
nes et le deuxième celui des unités.
1° Déterminer l’ensemble E de toutes les
issues possibles, à l’aide d’un tableau à deux
entrées.
2° Soit A l’événement : «obtenir un nombre
supérieur ou égal à 10».
À l’aide du tableau, donner le nombre
d’éléments de A.
3° Soit Bl’événement : «obtenir un nombre
multiple de 4» et Dl’événement : «obtenir au
moins un chiffre 2» , déterminer les éléments
de B , de Dpuis de DBet DB.
4° Définir, par deux phrases différentes, les
événements
—
Aet
—
D.
A. Vocabulaire des événements
Un tiroir contient six pulls : deux bleus clairs, un
noir, un marron et deux blancs.
Le matin, Maxime prend, au hasard, un pull
dans le tiroir, sans se soucier de la couleur.
a) Eest l’ensemble des pulls du tiroir, la loi de
probabilité sur Eest-elle équiprobable ?
b) Fest l’ensemble des couleurs des pulls.
La loi de probabilité définie sur Fest-elle équi-
probable ? Définir cette loi.
c) Maxime préfère la douceur de la laine des
pulls bleus à celle des autres pulls.
Il reconnaît les pulls bleus au toucher, ainsi il
les choisit plus souvent que les autres.
La loi de probabilité sur Eest alors définie par :
Calculer p , puis calculer la probabilité que
Maxime choisisse un pull foncé.
B. Loi de probabilité
aide en fiche TB26
et corrigés
aide en fiche TB27
et corrigés
aide en fiche TB27
et corrigés
aide en fiche TB24
et corrigés
Sur une étagère sont rangés 12 livres :
5 livres d’Honoré de Balzac, 4 livres de Victor
Hugo et 3 livres d’Émile Zola.
Les livres de Victor Hugo, d’Émile Zola et deux
livres d’Honoré de Balzac sont édités dans la
collection Xalors que les autres sont édités
dans la collection Y.
Alexis prend, au hasard, un livre sur l’étagère.
a) Combien y a-t-il d’issues possibles ?
b) Calculer les probabilités des événements
suivants :
E:«Le livre choisi est un livre de Victor Hugo» ;
F:«Le livre choisi est un livre de la collec-
tion Y» ;
G:«Le livre choisi est un livre de la collection
X et d’Honoré de Balzac» ;
H:«Le livre choisi n’est ni un livre de la collec-
tion Y , ni un livre de Victor Hugo ».
C. Probabilité d’un événement
1° Calculer la moyenne, la variance et l’écart
type des séries suivantes :
a)
b)
2° Lors d’une tombola, des enveloppes sont
vendues au prix de 2 euros.
La répartition des lots est donnée par le
tableau suivant :
a) Calculer le gain moyen d’un joueur.
b) Calculer la variance et l’écart type du gain.
D. Moyenne, variance et écart type
couleur bleu noir marron blanc
probabilité 4p2p p p
valeur 68912
fréquence en % 30 10 20 40
valeur 2,5 3 9 15
fréquence 0,3 0,1 0,2 0,4
valeur du lot 5 10 50 0 
fréquence 0,408 0,09 0,002 0,5

CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
112
COURS
COURS
Espérance et variance d’une loi
1
L’espérance de la loi de probabilité est la moyenne :
m=p1x1+p2x2+p3x3+ … + pnx n=Σ (pixi)
La variance de la loi de probabilité est le nombre :
V=p1(x1 – m)2+ p2(x2 – m)2+ p3(x3 – m)2+ … + pn(xn– m)2= Σpi(xi– m)2
Définitions
Si on ajoute ou retranche un même nombre bà toutes les valeurs xi, alors on ajoute
bà l’espérance.
Si on multiplie toutes les valeurs xipar un même nombre a, on multiplie l’espérance
par a.
Propriétés de linéarité de l’espérance
C’est la loi faible des
grands nombres 
Autre formule de la
variance :
V = Spixi
2– m2
Voir logiciels, p. 120 
Signification :
D9 = 0,00145,
c’est-à-dire que lors de
500 simulations de 1000
lancers d’une pièce
équilibrée, 90 % des
valeurs de d2sont
inférieures à 0,00145
L’espérance est la valeur
qu’on peut «espérer»
obtenir en moyenne
quand on répète un
grand nombre de fois
l’épreuve
Comme en statistique,
la variance caractérise
la dispersion des
valeurs autour de
l’espérance m
Voir TB 24
Soit El’ensemble des nrésultats provenant d’une expérience aléatoire :
E={x1;x2;x3…;xn} .
Lorsqu’on répète l’épreuve un grand nombre de fois :
• la distribution de fréquences
observées :
• la moyenne des valeurs observées
• la variance de la série
tend vers
la distribution de fréquences
théoriques appelée loi de probabilité :
0 pi1
et Σ pi=1
m= p1x1+ p2x2+ p3x3… + pnxn
V= p1(x1– m)2+ … + pn(xn– m)2
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
113
APPLICATIONS
APPLICATIONS
A. Calculer et interpréter une espérance
On détermine l’ensemble Edes
issues de l’expérience aléatoire.
Ici, le lancer de dés à 4 faces :
On définit la loi de probabilité sur E
associée à l’expérience aléatoire, en
calculant la probabilité de chacune
des issues.
On calcule l’espérance à l’aide de la
formule.
Pour calculer l’espérance à l’aide de la
calculatrice, on calcule la moyenne
des valeurs xi, pondérées par les
valeurs pi.
Voir rabats de couverture
Voir exercices 16 à 19
Énoncé : Un joueur mise 6 et un deuxième joueur mise 10 .Le maître de jeu
lance deux dés tétraédriques équilibrés. Les joueurs reçoivent deux fois la somme
des nombres indiqués par les dés.
Calculer l’espérance de gain des joueurs.
Résolution : Lorsqu’on lance deux dés tétraédriques, l’ensem-
ble des valeurs de la somme est :
S={2;3;4;5;6;7;8} .
Le premier joueur mise 6 et reçoit deux fois la somme
apparue, donc les valeurs possibles du gain sont :
E={– 2;0;2;4;6;8;10} .
La loi de probabilité est donnée dans
le tableau ci-contre :
et Σpi=1.
L’espérance de la loi de probabilité est :
m= ×(– 2) + ×0 + ×2 + ×4 + ×6 + ×8 + ×10 = = 4 .
L’espérance de gain du premier joueur est de 4 .
Le deuxième joueur mise 10 , les valeurs possibles du gain sont :
{– 6 ; – 4;– 2;0;2;4;6} .
On a ainsi soustrait 4 à chacun des résultats précédents, les pirestent inchan-
gées donc, d’après les propriétés de linéarité de l’espérance :
m=m– 4 = 0 .
L’espérance de gain du deuxième joueur est nulle.
On dit que le jeu est équitable,car il ne favorise ni le joueur ni l’organisateur.
64
16
1
16
2
16
3
16
4
16
3
16
2
16
1
16
Méthode
B. Calculer des probabilités simples
Voir fiche TB27
Penser qu’un élève peut faire plusieurs
choix !
Faire un diagramme de VENN en indi-
quant les effectifs.
Voir exercices 20 et 21
E
F
G
F G
20
10 15
3J
Énoncé : Parmi 48 élèves de Terminale ES, 30 élèves pensent poursuivre leurs
études en France, 25 élèves souhaitent partir à l’étranger dont 10 désirent parta-
ger leurs études entre la France et l’étranger.
Les autres pensent ne pas poursuivre d’études.
On interroge un élève, au hasard, au sujet de ses projets. On note :
F:«étudier en France» ; G:«étudier à l’étranger» ;
I:«étudier en France ou à l’étranger» et J:«interrompre les études».
Déterminer les probabilités des événements suivants.
Résolution : On choisit un élève au hasard, la loi est donc équirépartie.
30 élèves poursuivent leurs études en France, 25 élèves souhaitent partir à
l’étranger et 10 élèves pensent étudier en France et à l’étranger. Donc :
P(F) = = ; P(G) = et P(F G) = = ;
P(I) = P(F) + P(G) – P(FG) = + – = = .
Jest l’événement contraire de I, donc P(J) = 1 – P(I) = 1 – = .
1
16
15
16
15
16
45
48
10
48
25
48
30
48
5
24
10
48
25
48
5
8
30
48
Méthode
x1x2x3…xn
p1p2p3…pn
x1x2x3…xn
f1f2f3…fn
Adéquation à une loi équirépartie
2
Valeurs observées
Malika se demande si la pièce d’un euro qu’elle
possède est équilibrée.
Elle la lance 1000 fois de suite et observe les
fréquences suivantes :
Or, Malika sait que pour le lancer d’une pièce
équilibrée, la loi de probabilité est :
Pour mesurer la distance entre la loi équirépartie
et la distribution observée, elle calcule :
dobs2= (0,518 – 0,5)2+ (0,482 – 0,5)2
≈0,00065 .
Simulation de la loi équirépartie
On simule à l’aide d’un tableur 1000 lancers
d’une pièce équilibrée.
On note f1la fréquence d’apparition de PILE et
f2celle de FACE.
On calcule la distance
entre la distribution
obtenue et la loi équiré-
partie :
d2=(f1 – 0,5)2
+(f2– 0,5)2.
On effectue 500 expé-
riences, on obtient
alors 500 valeurs d2
dont la répartition est
donnée par le
diagramme en boîte ci-
contre.
On lit le décile 9 :
D9 = 0,00145 .
PILE FACE
fréquence 0,518 0,482
résultat PILE FACE
pi0,5 0,5
0,0014
0,0012
0,0010
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0,0000
0,0016
D9
Q1
Q3
D1
Me
90 % des valeurs de d2obtenues lors de la simulation de la loi équirépartie sont
inférieures à D9 , si la valeur dobs2trouvée lors de l’expérience sur la pièce testée est
telle que dobs2D9,
alors on conclut, avec un risque d’erreur de 10 % , que la pièce est équilibrée .
Théorème admis
Étude sur un exemple
1 2 3 4
12 3 4 5
23 4 5 6
34 5 6 7
45 6 7 8
xi– 2 0 2 4 6 8 10
pi
1
16
2
16
3
16
4
16
3
16
2
16
1
16

CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
114
Probabilité conditionnelle
3.1. Probabilité de Asachant B
3
COURS
COURS
On considère une expérience aléatoire et l’ensemble des issues Emuni d’une loi de
probabilité P.
Aet Bsont deux événements de E, Aétant de probabilité non nulle .
La probabilité de Bsachant que Aest réalisé
est notée PA(B) et est définie par le quotient :
PA(B) = P(AB)
P(A)
EA
B
A
B
Définition
Rappel de Première :
on retrouve la
fréquence fA(B):
fréquence conditionnelle
de Bsachant A
L’ensemble Adevient
le nouvel ensemble de
référence
Autre formule :
P(AB) =
P(B)×PB(A)
Partition :
dire que trois événe-
ments forment une
partition de Esignifie
que, les événements pris
deux à deux sont
toujours disjoints
et la réunion des trois
est l'ensemble E
E
A1
A2
A3
Remarque : Dans le cas d’une loi équirépartie, on a la formule de LAPLACE :
PA(B) = .
nombre d’éléments de Aet B
nombre d’éléments de A
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
115
APPLICATIONS
APPLICATIONS
C. Utiliser un arbre pondéré par les probabilités
On définit l’ensemble Edes issues
et on établit une partition de E.
On traduit les données en probabi-
lité.
Les premières branches de l’arbre
sont pondérées par les probabilités
des événements formant la partition.
On repère les phrases, dans
l’énoncé, indiquant un changement
d’ensemble de référence, donc une
probabilité conditionnelle.
Sur la branche partant de Aivers
B , on note la probabilité de B
sachant que Aiest réalisé.
On complète l’arbre par les
probabilités de
—
Bsachant que Aiest
réalisé en appliquant :
la somme des probabilités des bran-
ches issues de Aiest égale à 1.
Les probabilités P(AiB) sont les
produits des pondérations des bran-
ches joignant les événements Epuis
Aipuis B.
On utilise enfin la formule des probabi-
lités totales.
Voir exercices 37 à 40
Énoncé :
Pour fabriquer un objet, un artisan achète des pièces auprès de trois fournisseurs
A1 , A2et A3 .
25 % des pièces proviennent du fournisseur A1 , 40 % des pièces proviennent du
fournisseur A2et le reste provient du fournisseur A3 .
5% des pièces provenant du fournisseur A1, 10 % de celles provenant du four-
nisseur A2et 0,1 % de celles provenant du fournisseur A3ont un défaut.
On prend, au hasard, une des pièces.
a) Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
b) Calculer la probabilité de l’événement B:«la pièce achetée par l’artisan
présente un défaut».
Résolution :
On note El’ensemble des pièces fabriquées par les trois usines.
Aiest l’événement : «la pièce provient de l’usine Ai»;
Best l’événement : «la pièce a un défaut».
a) Comme la loi est équirépartie sur E , les pourcentages donnés se tradui-
sent par les probabilités suivantes :
P(A1) = 0,25 , P(A2) = 0,40 et P(A3) = 1 – P(A1) – P(A2) = 0,35 .
On construit un arbre pondéré :
On place sur les premières branches les
probabilités données.
P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1 .
Les phrases, en bleu, dans l’énoncé indiquent une probabilité conditionnelle :
la probabilité que la pièce ait un défaut sachant qu’elle provient du fournisseur
A1est PA1(B) = 0,05 .
On lit, de même, PA2(B) = 0,1 et PA3(B) = 0,001 .
On complète l’arbre par des branches allant vers Bou
—
B , en les pondérant
par les probabilités conditionnelles :
Se souvenir que :
la somme des probabilités des
branches d’un même niveau est
égale à 1 :
PA1(B) + PA1
(
—
B ) = 1 .
P(AiB) = P(Ai)×PAi(B) .
b) On calcule P(B) à l’aide de la formule des probabilités totales :
P(B) = P(A1B) + P(A2B) + P(A3B)
= 0,25 ×0,05 +0,40 ×0,1 +0,35 ×0,001 =0,05285 .
B
A1
B B
A2
B B
A3
B
0,25
0,05 0,1 0,001
0,35
0,4
E
A1A
2
E
A3
P(A1)
Méthode
La probabilité de l’événement «Aet B» , si on connaît la probabilité de l’événement A
et la probabilité de l’événement Bsachant que Aest réalisé, est :
P(AB) = P(A)×PA(B)
Théorème
3.2. Formule des probabilités composées
Démonstration : C’est une autre écriture de la formule précédente.
Si les événements A1 , A2 , A3 , … Anforment une partition
de E, alors la probabilité de l’événement Bde l’ensemble Eest :
P(B)= P(BA1) + P(BA2) + … + P(BAn)
=P
A1(B) ×P(A1) + PA2(B) ×P(A2) + … + PAn(B) ×P(An)
3.3. Formule des probabilités totales
Si Aest un événement de probabilité non nulle et
—
Ason événement
contraire , alors Aet
—
Aforment une partition de E.
Soit Bun événement de E, alors les événements BAet B
—
A
sont incompatibles et (BA) 
( B
—
A ) = B .
P(B) = P(BA) + P
( B
—
A ) = PA(B)×P(A) + P
—
A(B)×P
(
—
A ) .
On peut traduire la situation par un arbre, comme ci-contre, pondéré
par les probabilités.
Ce cas particulier se généralise et donne la formule des probabilités
totales.
EAA
B
B  AB  A
B
A
B B
A
B
P(A)P(A)
Démonstration : On applique la propriété de la probabilité des événements incompatibles, et
la formule des probabilités composées.
EA1A2
A3
An……
B
Théorème

CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
117
APPLICATIONS
APPLICATIONS
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
116
COURS
COURS
Indépendance
4
Définition : Les événements Aet Bsont indépendants lorsque la probabilité de l’un
ne dépend pas de la réalisation de l’autre.
Autrement dit : PA(B) = P(B) ou PB(A) = P(A).
Autre définition : Dire que les événements Aet Bsont indépendants signifie que la
probabilité de l’événement «Aet B» est égale au produit de leurs probabilités :
P(AB) = P(A) ¥P(B)
Définitions
4.1. Événements indépendants
Attention :
ne pas confondre
deux événements
indépendants et
deux événements
incompatibles qui
n’ont pas d’éléments
en commun
Comme :
P(AB) = P(A)×PA(B),
alors :
PA(B) = P(B)
⇔P(A
B)
= P(A) ×P(B)
⇔PB(A) = P(A)
Les lancers successifs
d’une pièce, d’un dé…
la répétition de tirages
dans une boîte de
boules, de lettres, etc.
avec remise dans la
boîte, les réponses à un
questionnaire …
sont des expériences
indépendantes
Soit une expérience aléatoire et l’ensemble des résultats E , muni d’une loi de probabilité P.
Soit Aet Bdeux événements de Ede probabilités non nulles.
On admet que si Aet Bsont indépendants, alors
—
Aet Bsont aussi indépendants, de
même Aet
—
B, et
—
Aet
—
B.
Exemple
• Le diagramme :
Ici, la part de Bdans Aest la
même que la part de B dans
E:
PA(B) = =
et P(B) = = .
• Le tableau :
Si = ,alors :
P(AB) = = .
On peut écrire = ×;
d’où :
P(AB) = P(A) ×P(B) .
• L’arbre pondéré :
P(B) = PA(B) = P
—
A(B) .
Ainsi :
P(AB)= P(A) ×PA(B)
= P(A) ×P(B)
et :
P
(
—
AB ) = P (
—
A ) ×P
—
A(B)
= P
(
—
A ) ×P(B) .
B
A
B B
A
B
P(A)
P(B)P(B)
b
T
a
T
m
T
a×b
T×T
m
T
b
T
m
a
1
4
8
32
1
4
3
12
A
B
A  B
A
—
Aeffectif
Bm…b
—
B… … …
effectif a…T
Dans le cas d’une succession d’expériences indépendantes, la probabilité d’une liste de
résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
Théorème admis
4.2. Principe multiplicatif
Exemple
On lance une pièce, puis un dé à 6 faces, puis une pièce, puis de nouveau
une pièce, puis un dé à 4 faces.
Si on a obtenu FACE sur la première pièce, cela n’agit pas sur le résultat du
lancer du dé à 6 faces, et ainsi de suite.
La probabilité d’obtenir la liste de résultats (F;2;P;P;3) est alors :
××××= .
1
192
1
4
1
2
1
2
1
6
1
2
PILE FACE
PILE FACE
123456
PILE FACE
1234
D. Montrer que deux événements sont indépendants
Pour deux événements indépendants,
se méfier de son intuition ! Il faut
répondre à la question par un calcul.
On calcule les probabilités de chacun
des deux événements Aet B, puis le
produit de ces probabilités.
Si ce produit est égal à la probabilité
de leur intersection AB , alors les
événements Aet Bsont indépen-
dants.
Voir exercices 51 à 53
Énoncé : On interroge les parents d’une famille pour connaître le rhésus sanguin
de leurs enfants : positif + ou négatif – .
On considère les événements :
A:«les enfants n’ont pas tous le même rhésus»
et B:«au plus, un enfant est de rhésus négatif».
1° Les parents ont deux enfants.
Les événements Aet Bsont-ils indépendants ?
2° Les parents ont trois enfants.
Les événements Aet Bsont-ils indépendants ?
Résolution :
1° L’ensemble des issues possibles est E= { (+ ; +) ; (+ ; –) ; (– ; +) ; (– ; –) } .
On suppose que la loi définie sur Eest équiprobable.
Alors P(A) = = et P(B) = , donc P(A) ×P(B) = .
Or AB=
{ (+; –); (–; +) } , donc P(AB) = = .
Les événements Aet Bne sont donc pas indépendants.
2° L’ensemble des issues possibles est :
E=
{ (+ ; + ; +) ; (+ ;+ ; –) ; (+ ; – ; +) ; (– ; + ; +) ; (– ; – ; +) ; (– ; +; –) ;
(+ ; – ; –) ; (– ; – ;–) } .
On suppose que la loi définie sur Eest équiprobable.
Alors P(A) = = et P(B) = = , donc P(A) ×P(B) = .
Or AB=
{ (–; +; +) ; (+; +; –); (+;–; +) } , donc P(AB) = .
Les événements Aet Bsont donc indépendants.
3
8
3
8
1
2
4
8
3
4
6
8
1
2
2
4
3
8
3
4
1
2
2
4
Méthode
E. Calculer la probabilité d’une intersection
Remarque : la somme de chaque
ligne en jaune est égale à 1 :
les fréquences données sont des
fréquences conditionnelles sur Aet D.
Pour calculer la probabilité d’une inter-
section ABlorsque l’on connaît
des fréquences conditionnelles :
•si les événements sont indépendants :
P(AB) = P(A) ×P(B);
•sinon, on applique la formule des
probabilités composées :
P(AB) = PA(B) ×P(A) .
Voir exercices 54 à 56
Énoncé : Le tableau représente la répartition de 150 élèves de Terminale en
fonction de la première langue étudiée au lycée et l’activité préférée en loisirs.
On interroge un élève de Terminale au hasard.
Calculer la probabilité d’interroger un élève de Terminale musicien et étudiant
l’Anglais.
Résolution : PA(M) = 0,3 et P(M) = = 0,3 , donc PA(M) = P(M) ,
ce qui signifie que les événements Aet Msont indépendants.
Donc P(AM ) = P(A) ×P(M) ,
or P(A) = = 0,60 , donc P(AM) = 0,6 ×0,3 = 0,18 .
90
150
45
150
Méthode
sport (S) lecture (L) musique (M) ensemble
Anglais (A) 0,5 0,2 0,3 90
Allemand (D) 0,55 0,15 0,3 60
ensemble 52 53 45 150