LOI DE PROBABILITÉ PROBABILITÉS - Hachette

L
LO
O II D
DE
E P
PR
RO
OB
BA
AB
B II L
L II T
TÉ
É
P
PR
RO
OB
BA
AB
B II L
L II T
TÉ
ÉS
S C
CO
ON
ND
D II T
T II O
ON
NN
NE
EL
LL
LE
ES
S
Sommaire
Logiciels
1. Espérance et variance d’une loi
1. Adéquation à une loi équirépartie à
l’aide de la calculatrice
2. Élaboration d’un test d’équirépartition sur tableur
3. La planche de GALTON à l’aide
d’un tableur
2. Adéquation à une loi équirépartie
3. Probabilité conditionnelle
4. Indépendance
5. Loi Binomiale
Aide à la décision
Lorsqu’une société de
vente de pizzas surgelées est en
concurrence sur le marché de la
grande distribution, elle peut prendre le
risque d’accepter une baisse de bénéfice
unitaire si elle espère vendre plus en volume.
Comment le calcul sur les probabilités
peut-il être une aide à la décision ?
voir exercice 86
TESTS PRÉLIMINAIRES
ACTIVITÉS
Activité 1. Fréquences conditionnelles
A. Vocabulaire des événements
aide en fiche TB26
et corrigés
Une roue de loterie est formée de cinq secteurs
égaux, numérotés de 0 à 4.
On lance la roue deux fois de suite et on note
les chiffres apparus.
On obtient alors un nombre :
le premier chiffre sorti est le chiffre des dizaines et le deuxième celui des unités.
1° Déterminer l’ensemble E de toutes les
issues possibles, à l’aide d’un tableau à deux
entrées.
2° Soit A l’événement : « obtenir un nombre
Une enquête dans une classe de 35 élèves de
Terminale ES porte sur les études post-bac
souhaitées par les élèves.
Répartition en pourcentage arrondi à l’unité :
supérieur ou égal à 10 ».
À l’aide du tableau, donner le nombre
d’éléments de A .
3° Soit B l’événement : « obtenir un nombre
C : BTS-IUT
multiple de 4 » et D l’événement : « obtenir au
moins un chiffre 2 » , déterminer les éléments
de B , de D puis de D B et D B .
a) E est l’ensemble des pulls du tiroir, la loi de
probabilité sur E est-elle équiprobable ?
b) F est l’ensemble des couleurs des pulls.
La loi de probabilité définie sur F est-elle équiprobable ? Définir cette loi.
Sur une étagère sont rangés 12 livres :
5 livres d’Honoré de Balzac, 4 livres de Victor
Hugo et 3 livres d’Émile Zola.
Les livres de Victor Hugo, d’Émile Zola et deux
livres d’Honoré de Balzac sont édités dans la
collection X alors que les autres sont édités
dans la collection Y .
Alexis prend, au hasard, un livre sur l’étagère.
a) Combien y a-t-il d’issues possibles ?
45
55
57
garçon
73
27
43
c) Maxime préfère la douceur de la laine des
pulls bleus à celle des autres pulls.
Il reconnaît les pulls bleus au toucher, ainsi il
les choisit plus souvent que les autres.
La loi de probabilité sur E est alors définie par :
couleur
probabilité
bleu
noir
4p
2p
Dans une classe de 30 élèves de Terminale, 18
ont choisi d’apprendre à conduire à 16 ans en
conduite accompagnée.
p
Calculer p , puis calculer la probabilité que
Maxime choisisse un pull foncé.
On interroge un élève au hasard.
1° a) Calculer la probabilité que ce soit un
élève pratiquant la conduite accompagnée.
b) Recopier et compléter l’arbre
pondéré en plaçant les probabilités sur les branches.
C
C
b) Calculer les probabilités des événements
suivants :
E : « Le livre choisi est un livre de Victor Hugo » ;
F : « Le livre choisi est un livre de la collection Y » ;
G : « Le livre choisi est un livre de la collection
X et d’Honoré de Balzac » ;
H : « Le livre choisi n’est ni un livre de la collection Y , ni un livre de Victor Hugo ».
2° On interroge ensuite un deuxième élève de
Terminale, dans l’ensemble des 30 élèves de la
classe.
1° a) Simuler, à l’aide de la calculatrice, le
tirage de 200 chiffres aléatoires, de 1 à 7
compris , et stocker la liste en liste 1 .
1° Calculer la moyenne, la variance et l’écart
2° Lors d’une tombola, des enveloppes sont
type des séries suivantes :
a)
vendues au prix de 2 euros.
La répartition des lots est donnée par le
tableau suivant :
2° On choisit, au hasard, un nombre entier de
1 à 7 compris.
9
12
fréquence en %
30
10
20
40
valeur du lot
fréquence
b)
valeur
2,5
3
9
15
fréquence
0,3
0,1
0,2
0,4
C
L
5€
10 €
50 €
0€
0,408
0,09
0,002
0,5
a) Calculer le gain moyen d’un joueur.
b) Calculer la variance et l’écart type du gain.
est la part des garçons qui ont choisi des
études courtes ?
Où lit-on ce résultat sur l’arbre précédent ?
Compléter l’arbre précédent, suivant le résultat
pour le premier élève.
3° On interroge un troisième élève toujours
dans la classe complète de Terminale.
a) À l’aide de l’arbre précédent, déterminer
toutes les issues.
b) Combien d’issues de cet arbre contiennent
exactement un élève pratiquant la conduite
accompagnée ?
c) Comment peut-on utiliser l’arbre pour calculer la probabilité d’avoir interrogé un seul élève
pratiquant la conduite accompagnée ?
Activité 3. Distribution de fréquences
…, f7 de chacun des sept chiffres à 10 – 3 près
et stocker les fréquences en liste 2 .
Sont-elles toutes égales ? Expliquer.
8
L
Activité 2. Répétitions d’épreuves
marron blanc
p
G
b) Calculer les fréquences d’apparition f1 , f2 ,
6
G
3° Parmi les élèves de la Terminale ES, quelle
D. Moyenne, variance et écart type
valeur
F
1° a) Quelle est la part des filles dans la classe
voir rabats de
couverture
aide en fiche TB24
et corrigés
fille
C
—
—
événements A et D .
C. Probabilité d’un événement
aide en fiche TB27
et corrigés
L : Universitétotal
CPGE
de Terminale ES ?
b) Recopier et compléter l’arbre
pondéré ci-contre en plaçant
les parts sur les branches.
F
Un tiroir contient six pulls : deux bleus clairs, un
noir, un marron et deux blancs.
Le matin, Maxime prend, au hasard, un pull
dans le tiroir, sans se soucier de la couleur.
élèves ayant choisi des études courtes ?
b) Placer ce résultat sur la branche qui
convient, puis compléter l’arbre.
4° Définir, par deux phrases différentes, les
B. Loi de probabilité
aide en fiche TB27
et corrigés
2° a) Parmi les filles, quelle est la part des
a) Donner la loi de probabilité équirépartie sur :
E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} .
b) À l’aide du calcul sur les listes, calculer
le carré de la distance des fréquences observées, f1 , f2 , …, f7 , à la loi équirépartie,
distance définie par la formule ci-après.
1
d 2 = f1 – 7
2
1
+ f2 – 7
3° On effectue 30 simulations d’un tirage de 200
chiffres aléatoires de 1 à
7 compris, puis on calcule
les 30 valeurs du carré
de la distance.
La répartition des 30
valeurs de d 2 est donnée
par le diagramme en boîte
ci-contre.
Lire le troisième quartile
de cette série.
Interpréter le résultat .
2
1
+ … + f7 – 7
2
.
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0,000
110
111
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
COURS
APPLICATIONS
1 Espérance et variance d’une loi
C’est la loi faible des
grands nombres
L’espérance est la valeur
qu’on peut « espérer »
obtenir en moyenne
quand on répète un
grand nombre de fois
l’épreuve
A.
Soit E l’ensemble des n résultats provenant d’une expérience aléatoire :
E = { x1 ; x2 ; x3 … ; xn } .
Lorsqu’on répète l’épreuve un grand nombre de fois :
tend vers
• la distribution de fréquences
observées :
Méthode
la distribution de fréquences
théoriques appelée loi de probabilité :
x1 x2 x3 … xn
x1 x2 x3 … xn
f1 f2 f3 … fn
p1 p2 p3 … pn
• la moyenne des valeurs observées
• la variance de la série
Voir TB 24
et
des
m = p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 … + pn xn
V = p1 (x1 – m)2 + … + pn (xn – m)2
On définit la loi de probabilité sur E
associée à l’expérience aléatoire, en
calculant la probabilité de chacune
des issues.
L’espérance de la loi de probabilité est la moyenne :
m = p1 x1 + p2 x2 + p3 x 3 + … + pn x n = Σ (p i xi )
La variance de la loi de probabilité est le nombre :
V = p1 (x1 – m)2 + p2 (x2 – m)2 + p3 (x3 – m)2 + … + pn (xn – m)2 = Σ pi (xi – m)2
On calcule l’espérance à l’aide de la
formule.
Pour calculer l’espérance à l’aide de la
calculatrice, on calcule la moyenne
des valeurs xi , pondérées par les
valeurs pi .
Si on ajoute ou retranche un même nombre b à toutes les valeurs xi , alors on ajoute
b à l’espérance.
Si on multiplie toutes les valeurs xi par un même nombre a , on multiplie l’espérance
par a .
2 Adéquation à une loi équirépartie
Voir rabats de couverture
Malika se demande si la pièce d’un euro qu’elle
possède est équilibrée.
Elle la lance 1 000 fois de suite et observe les
fréquences suivantes :
fréquence
PILE
FACE
0,518
0,482
Or, Malika sait que pour le lancer d’une pièce
équilibrée, la loi de probabilité est :
Signification :
D9 = 0,00145,
c’est-à-dire que lors de
500 simulations de 1000
lancers d’une pièce
équilibrée, 90 % des
valeurs de d 2 sont
inférieures à 0,00145
La loi de probabilité est donnée dans
le tableau ci-contre :
et Σ pi = 1.
L’espérance de la loi de probabilité est :
xi
pi
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
–2 0
2
4
6
8 10
1
2
3
4
3
2
1
16 16 16 16 16 16 16
1
2
3
4
3
2
1
64
m = × (– 2) + × 0 + × 2 + × 4 + × 6 + × 8 + × 10 = = 4 .
16
16
16
16
16
16
16
16
L’espérance de gain du premier joueur est de 4 € .
Le deuxième joueur mise 10 €, les valeurs possibles du gain sont :
{– 6 ; – 4 ; – 2 ; 0 ; 2 ; 4 ; 6 } .
L’espérance de gain du deuxième joueur est nulle.
Simulation de la loi équirépartie
Valeurs observées
Calculer l’espérance de gain des joueurs.
On a ainsi soustrait 4 à chacun des résultats précédents, les pi restent inchangées donc, d’après les propriétés de linéarité de l’espérance :
m = m – 4 = 0 .
Étude sur un exemple
Voir logiciels, p. 120
lance deux dés tétraédriques équilibrés. Les joueurs reçoivent deux fois la somme
des nombres indiqués par les dés.
Résolution : Lorsqu’on lance deux dés tétraédriques, l’ensemble des valeurs de la somme est :
S={2;3;4;5;6;7;8}.
Le premier joueur mise 6 € et reçoit deux fois la somme
apparue, donc les valeurs possibles du gain sont :
E = { – 2 ; 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 } .
Σ pi = 1
Propriétés de linéarité de l’espérance
Autre formule de la
variance :
V = S pi x 2i – m2
Énoncé : Un joueur mise 6 € et un deuxième joueur mise 10 €. Le maître de jeu
On détermine l’ensemble E
issues de l’expérience aléatoire.
Ici, le lancer de dés à 4 faces :
0 pi 1
Définitions
Comme en statistique,
la variance caractérise
la dispersion des
valeurs autour de
l’espérance m
Calculer et interpréter une espérance
résultat
PILE
FACE
pi
0,5
0,5
Pour mesurer la distance entre la loi équirépartie
et la distribution observée, elle calcule :
d obs2 = (0,518 – 0,5)2 + (0,482 – 0,5)2
≈ 0,00065 .
On simule à l’aide d’un
d’une pièce équilibrée.
On note f1 la fréquence
f2 celle de FACE.
On calcule la distance
entre la distribution
obtenue et la loi équirépartie :
d 2 = (f 1 – 0,5)2
+ (f 2 – 0,5)2 .
On effectue 500 expériences, on obtient
alors 500 valeurs d 2
dont la répartition est
donnée
par
le
diagramme en boîte cicontre.
On lit le décile 9 :
D 9 = 0,00145 .
Voir exercices 16 à 19
tableur 1 000 lancers
d’apparition de
PILE
et
B.
Calculer des probabilités simples
0,0016
0,0014
Méthode
D9
Penser qu’un élève peut faire plusieurs
choix !
0,0010
0,0008
Q3
0,0006
Faire un diagramme de VENN en indiquant les effectifs.
E
0,0004
0,0002
0,0000
F
Me
Q1
D1
20
G
F G
Théorème admis
10
d2
Énoncé : Parmi 48 élèves de Terminale ES, 30 élèves pensent poursuivre leurs
Voir fiche TB27
0,0012
90 % des valeurs de
obtenues lors de la simulation de la loi équirépartie sont
inférieures à D 9 , si la valeur d obs2 trouvée lors de l’expérience sur la pièce testée est
telle que d obs2 D 9 ,
alors on conclut, avec un risque d’erreur de 10 % , que la pièce est équilibrée .
On dit que le jeu est équitable, car il ne favorise ni le joueur ni l’organisateur.
3
15
études en France, 25 élèves souhaitent partir à l’étranger dont 10 désirent partager leurs études entre la France et l’étranger.
Les autres pensent ne pas poursuivre d’études.
On interroge un élève, au hasard, au sujet de ses projets. On note :
F : « étudier en France » ;
G : « étudier à l’étranger » ;
I : « étudier en France ou à l’étranger » et J : « interrompre les études ».
Déterminer les probabilités des événements suivants.
Résolution : On choisit un élève au hasard, la loi est donc équirépartie.
30 élèves poursuivent leurs études en France, 25 élèves souhaitent partir à
l’étranger et 10 élèves pensent étudier en France et à l’étranger. Donc :
30
5
P (F ) = = ;
48
8
25
P(G) = 48
et
5
10
P(F G) = = ;
48
24
15
30
25
10
45
P (I ) = P (F ) + P(G) – P(F G) = + – = = .
48
48
48
48
16
J
Voir exercices 20 et 21
15
1
J est l’événement contraire de I , donc P(J ) = 1 – P (I ) = 1 – = .
16
16
112
113
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
COURS
APPLICATIONS
3 Probabilité conditionnelle
C.
Méthode
3.1. Probabilité de A sachant B
Rappel de Première :
on retrouve la
fréquence fA (B) :
fréquence conditionnelle
de B sachant A
L’ensemble A devient
le nouvel ensemble de
référence
Utiliser un arbre pondéré par les probabilités
Énoncé :
On définit l’ensemble E des issues
et on établit une partition de E .
Définition
On considère une expérience aléatoire et l’ensemble des issues E muni d’une loi de
probabilité P .
A et B sont deux événements de E , A étant de probabilité non nulle .
La probabilité de B sachant que A est réalisé
est notée PA (B ) et est définie par le quotient :
E
A
On prend, au hasard, une des pièces.
B
On traduit les données en probabilité.
Les premières branches de l’arbre
sont pondérées par les probabilités
des événements formant la partition.
AB
P(A B)
PA (B ) = P(A)
Remarque : Dans le cas d’une loi équirépartie, on a la formule de LAPLACE :
3.2. Formule des probabilités composées
P(B) × PB (A )
b) Calculer la probabilité de l’événement B : « la pièce achetée par l’artisan
présente un défaut ».
a) Comme la loi est équirépartie sur E , les pourcentages donnés se traduisent par les probabilités suivantes :
Théorème
P(A B) =
a) Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
Résolution :
On note E l’ensemble des pièces fabriquées par les trois usines.
A i est l’événement : « la pièce provient de l’usine A i » ;
B est l’événement : « la pièce a un défaut ».
nombre d’éléments de A et B
PA (B ) = .
nombre d’éléments de A
Autre formule :
Pour fabriquer un objet, un artisan achète des pièces auprès de trois fournisseurs
A 1 , A 2 et A 3 .
25 % des pièces proviennent du fournisseur A 1 , 40 % des pièces proviennent du
fournisseur A 2 et le reste provient du fournisseur A 3 .
5 % des pièces provenant du fournisseur A 1 , 10 % de celles provenant du fournisseur A 2 et 0,1 % de celles provenant du fournisseur A 3 ont un défaut.
On repère les phrases, dans
l’énoncé, indiquant un changement
d’ensemble de référence, donc une
probabilité conditionnelle.
La probabilité de l’événement « A et B » , si on connaît la probabilité de l’événement A
et la probabilité de l’événement B sachant que A est réalisé, est :
P(A B) = P(A) × PA (B )
P (A 1 ) = 0,25 ,
P (A 2 ) = 0,40
et
On construit un arbre pondéré :
E
On place sur les premières branches les
probabilités données.
P (A1)
Sur la branche partant de A i vers
B , on note la probabilité de B
sachant que A i est réalisé.
Démonstration : C’est une autre écriture de la formule précédente.
3.3. Formule des probabilités totales
Partition :
dire que trois événements forment une
partition de E signifie
que, les événements pris
deux à deux sont
toujours disjoints
et la réunion des trois
est l'ensemble E
—
Si A est un événement de probabilité non nulle et A son événement
—
E
contraire , alors A et A forment une partition de E .
—
P(B) = P(B A) + P (B A ) = PA (B) × P(A) + PA— (B) × P ( A ) .
P (A )
On peut traduire la situation par un arbre, comme ci-contre, pondéré
par les probabilités.
E
A1
A2
A3
Ce cas particulier se généralise et donne la formule des probabilités
totales.
A
1
B
On lit, de même, PA (B) = 0,1 et PA (B) = 0,001 .
2
P (A )
A
On complète l’arbre par les
—
probabilités de B sachant que A i est
réalisé en appliquant :
la somme des probabilités des branches issues de A i est égale à 1.
A
B
B
1
2
n
A2
A3
…
E
0,25
B …
Démonstration : On applique la propriété de la probabilité des événements incompatibles, et
On utilise enfin la formule des probabilités totales.
Voir exercices 37 à 40
Se souvenir que :
la somme des probabilités des
branches d’un même niveau est
égale à 1 :
0,35
0,4
A1
Les probabilités P(Ai B) sont les
produits des pondérations des branches joignant les événements E puis
A i puis B .
3
—
On complète l’arbre par des branches allant vers B ou B , en les pondérant
par les probabilités conditionnelles :
B
Théorème
Si les événements A 1 , A 2 , A 3 , … A n forment une partition E
A1
de E , alors la probabilité de l’événement B de l’ensemble E est :
P(B ) = P(B A 1 ) + P(B A 2 ) + … + P(B A n )
An
= PA (B) × P(A 1) + PA (B) × P(A 2 ) + … + PA (B) × P(A n )
P (A 1) + P (A2 ) + P (A3 ) = 1 .
A3
A2
Les phrases, en bleu, dans l’énoncé indiquent une probabilité conditionnelle :
la probabilité que la pièce ait un défaut sachant qu’elle provient du fournisseur
A1 est PA (B) = 0,05 .
BA BA
B
—
Soit B un événement de E , alors les événements B A et B A
—
sont incompatibles et (B A) (B A ) = B .
—
A
A1
P(A 3 ) = 1 – P (A 1 ) – P (A 2 ) = 0,35 .
A2
0,05
A3
0,1
—
PA (B) + PA ( B ) = 1 .
0,001
1
B
B
B
B
B
1
B
P (A i B ) = P (A i ) × PA (B) .
i
b) On calcule P(B) à l’aide de la formule des probabilités totales :
P(B ) = P (A1 B ) + P(A2 B ) + P(A3 B )
= 0,25 × 0,05 + 0,40 × 0,1 + 0,35 × 0,001 = 0,05285 .
la formule des probabilités composées.
114
115
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
COURS
APPLICATIONS
4 Indépendance
D.
Montrer que deux événements sont indépendants
Méthode
4.1. Événements indépendants
Soit une expérience aléatoire et l’ensemble des résultats E , muni d’une loi de probabilité P .
Soit A et B deux événements de E de probabilités non nulles.
Pour deux événements indépendants,
se méfier de son intuition ! Il faut
répondre à la question par un calcul.
Définitions
Attention :
ne pas confondre
deux événements
indépendants et
deux événements
incompatibles qui
n’ont pas d’éléments
en commun
Exemple
Comme :
P(A B) = P(A) × PA (B) ,
alors :
PA (B) = P (B)
⇔ P(A B)
= P(A ) × P (B)
⇔ PB (A ) = P(A )
2° Les parents ont trois enfants.
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Autrement dit : PA (B) = P(B ) ou PB (A) = P(A).
—
On admet que si A et B sont indépendants, alors A et B sont aussi indépendants, de
—
—
—
même A et B , et A et B.
• Le tableau :
• Le diagramme :
A
—
A
effectif
B
—
B
m
…
b
…
…
…
effectif
a
…
T
B
AB
1
3
PA (B) = = 12
4
et
1
8
P (B) = = .
32
4
Si ce produit est égal à la probabilité
de leur intersection A B , alors les
événements A et B sont indépendants.
A
A
P (B)
On suppose que la
6
Alors P(A ) = =
8
P (B)
B
B
B
Ainsi :
P(A B ) = P (A) × PA (B)
m
On peut écrire =
T
d’où :
P(A B ) = P (A )
et :
—
—
P ( A B) = P ( A ) × PA— (B)
—
= P ( A ) × P(B) .
× P (B ) .
P(B ) = PA (B) =
P A—
(B) .
E est équiprobable.
4
1
3
= , donc P (A ) × P (B ) = .
8
2
8
3
A B = { (– ; + ; +) ; (+ ; +; –) ; (+;– ; +) } , donc P (A B ) = .
8
Les événements A et B sont donc indépendants.
Or
Voir exercices 51 à 53
E.
Calculer la probabilité d’une intersection
Méthode
Remarque : la somme de chaque
ligne en jaune est égale à 1 :
les fréquences données sont des
fréquences conditionnelles sur A et D .
Théorème admis
Exemple
On lance une pièce, puis un dé à 6 faces, puis une pièce, puis de nouveau
une pièce, puis un dé à 4 faces.
Si on a obtenu FACE sur la première pièce, cela n’agit pas sur le résultat du
lancer du dé à 6 faces, et ainsi de suite.
La probabilité d’obtenir la liste de résultats (F ; 2 ; P ; P ; 3) est alors :
1
1
1
1
1
1
××××=.
2
6
2
2
4
192
PILE
FACE
123456
PILE FACE
PILE FACE
Pour calculer la probabilité d’une intersection A B lorsque l’on connaît
des fréquences conditionnelles :
• si les événements sont indépendants :
P(A B) = P(A) × P(B) ;
• sinon, on applique la formule des
probabilités composées :
P(A B) = PA (B) × P(A) .
Voir exercices 54 à 56
1234
Énoncé : Le tableau représente la répartition de 150 élèves de Terminale en
fonction de la première langue étudiée au lycée et l’activité préférée en loisirs.
sport (S)
lecture (L)
musique (M)
ensemble
Anglais (A)
0,5
0,2
0,3
90
Allemand (D)
0,55
0,15
0,3
60
52
53
45
150
ensemble
Dans le cas d’une succession d’expériences indépendantes, la probabilité d’une liste de
résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
loi définie sur
3
et P(B ) =
4
= P (A) × P(B)
4.2. Principe multiplicatif
Les lancers successifs
d’une pièce, d’un dé…
la répétition de tirages
dans une boîte de
boules, de lettres, etc.
avec remise dans la
boîte, les réponses à un
questionnaire …
sont des expériences
indépendantes
2
1
A B = { (+; –) ; (– ; +) } , donc P (A B ) = = .
4
2
Les événements A et B ne sont donc pas indépendants.
2° L’ensemble des issues possibles est :
Or
E = { (+ ; + ; +) ; (+ ;+ ; –) ; (+ ; – ; +) ; (– ; + ; +) ; (– ; – ; +) ; (– ; + ; –) ;
(+ ; – ; –) ; (– ; – ; –) } .
m
b
Si = , alors :
a
T
a×b
m
P(A B ) = = .
T×T
T
a
b
×;
T
T
Résolution :
1° L’ensemble des issues possibles est E = { (+ ; +) ; (+ ; –) ; (– ; +) ; (– ; –) } .
On suppose que la loi définie sur E est équiprobable.
2
1
3
3
Alors P (A ) = = et P(B) = , donc P(A ) × P (B ) = .
4
2
4
8
P (A)
B
Ici, la part de B dans A est la
même que la part de B dans
E:
On calcule les probabilités de chacun
des deux événements A et B , puis le
produit de ces probabilités.
• L’arbre pondéré :
A
On considère les événements :
A : « les enfants n’ont pas tous le même rhésus »
et B : « au plus, un enfant est de rhésus négatif ».
1° Les parents ont deux enfants.
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Définition : Les événements A et B sont indépendants lorsque la probabilité de l’un
ne dépend pas de la réalisation de l’autre.
Autre définition : Dire que les événements A et B sont indépendants signifie que la
probabilité de l’événement « A et B » est égale au produit de leurs probabilités :
P(A B) = P(A) ¥ P(B)
Énoncé : On interroge les parents d’une famille pour connaître le rhésus sanguin
de leurs enfants : positif + ou négatif – .
On interroge un élève de Terminale au hasard.
Calculer la probabilité d’interroger un élève de Terminale musicien et étudiant
l’Anglais.
45
P (M ) = = 0,3 , donc PA (M ) = P (M ) ,
150
ce qui signifie que les événements A et M sont indépendants.
Résolution : PA (M) = 0,3
et
Donc P (A M ) = P(A) × P(M ) ,
or
90
P(A ) = = 0,60 ,
150
donc
P (A M ) = 0,6 × 0,3 = 0,18 .
116
117
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
COURS
APPLICATIONS
5 Loi Binomiale
F.
Méthode
5.1. Loi de BERNOULLI
Définition
Note :
Jacob BERNOULLI
(1654 – 1705) :
Ars Conjectandi
paru en 1713
Reconnaître et appliquer la loi binomiale
Lorsqu’une expérience aléatoire n’a que deux issues appelées succès
et échec, on la nomme épreuve de BERNOULLI .
On note p la probabilité du succès et q = 1 – p la probabilité de
l’échec.
p
S
q
E
On reconnaît la répétition de quatre
épreuves de BERNOULLI, identiques et
indépendantes et on définit avec soin
la probabilité du succès p .
Nota bene : Le succès peut être un événement désagréable et l’échec un événement heureux.
Remarque :
si le succès est noté 1
et l’échec 0, l’espérance
de la loi de BERNOULLI est
p et l’écart type :
Définir une loi de BERNOULLI de paramètre p , c’est associer à
l’expérience aléatoire une loi de probabilité discrète définie par :
xi
S
E
pi
p
q
5.2. Loi Binomiale
s = 4 pq
Lors de la répétition de n épreuves de BERNOULLI , identiques et indépendantes, on
s’intéresse au nombre de succès de la liste ordonnée obtenue à la fin des n épreuves.
On obtient alors l’ensemble des résultats
Notation :
cette loi est notée :
@( n ; p )
E = {0 ; 1 ; 2 ; … ; n} .
Résolution : Chaque match est une épreuve de BERNOULLI de succès l’événement S : « Benoît gagne le match », de probabilité p = 0,4 .
À chaque match, la probabilité du succès ne change pas et ne dépend pas du
match précédent.
On a donc une répétition de 4 épreuves de BERNOULLI identiques et indépendantes. On construit un arbre pondéré qui donne toutes les listes de succès et
d’échecs à la fin des 4 épreuves.
On applique le principe multiplicatif
pour obtenir la probabilité d’une liste
particulière.
p
1er match
La loi de probabilité sur cet ensemble E est nommée loi binomiale de paramètres n et p , où
p est la probabilité de succès de la loi de BERNOULLI et n le nombre d’épreuves de BERNOULLI.
La probabilité d’obtenir une liste ordonnée de k succès et n – k échecs à la fin des n épreuves peut se calculer en appliquant le principe multiplicatif :
Comme il y a n épreuves , si on a k succès,
alors il y a n – k
échecs
On établit un arbre pondéré donnant
toutes les listes ordonnées de succès
et d’échecs obtenues à la fin des
4 épreuves.
Énoncé : Aziz et Benoît pratiquent le tennis.
Ils décident de jouer 4 matchs dans l’année. La probabilité que Benoît gagne un
match est 0,4 .
Les résultats des matchs sont indépendants les uns des autres.
À la fin de chaque match, le perdant verse 10 euros dans une cagnotte avec
laquelle ils s’offriront un repas à la fin de la saison.
a) Quelle est la probabilité que Benoît ne gagne qu’une seule fois ?
b) Déterminer la probabilité que Benoît gagne au moins une fois.
c) Quelle est la loi de probabilité associée à la dépense de Benoît ?
d) Calculer l’espérance de dépense en fin d’année pour Benoît.
1er
S
lancer
2e lancer
S
n-ième lancer
S
S ES E
S ES E
p
3e match
S
E
E
S
q
p
S
p
q
E
S
E
E
q
S
E
p
p
4e match
q
S E S E S E S E S E S E S E S E
a) L’événement A : « Benoît gagne exactement une fois » est formé des listes :
(S ; E ; E ; E ) ; (E ; S ; E ; E ) ; (E ; E ; S ; E ) ; (E ; E ; E ; S ) .
Chaque liste a pour probabilité p × q 3 , donc :
P (A) = 4 × 0,4 × 0,6 3 = 0,3456 .
Lorsqu’on calcule la probabilité :
« d’obtenir au moins un …. »,
il est préférable de calculer la probabilité de l’événement contraire :
« d’obtenir aucun… ».
S ES E
est p k × q n – k .
n – k échecs
Il n’y a qu’une seule liste contenant n échecs : elle contient 0 succès.
Donc, la probabilité d’obtenir n échecs consécutifs est
b) L’événement B : « Benoît gagne au moins une fois » est l’événement
contraire de l’événement C : « Benoît ne gagne aucun match », c’est-à-dire
« Benoît perd 4 fois ».
Or, L’événement C correspond à la liste (E ; E ; E ; E ), donc :
P (C) = q 4 = 0,6 4 = 0,1296 et P (B) = 1 – P (C) = 0,8704 .
c) La loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres (4 ; 0,4) est :
Il n’y a qu’une seule liste contenant 0 succès : elle contient n échecs.
On peut remarquer que :
m=n×p.
q n = (1 – p)n .
Pour obtenir la loi de probabilité du nombre de succès, on dresse un arbre de choix et on compte
le nombre de listes contenant k succès.
En notant nk le nombre de listes contenant k succès, on obtient la loi binomiale :
pi
q
p
k succès
probabilité
q
S
p
E
La probabilité d’obtenir la liste de résultats (S , S , S , … , S , E , E , … ,E )
nombre de succès
p
E
E
S E
E
S
2e match
L’arbre pondéré permet de compter les
listes contenant le même nombre de
succès.
q
0
1
2
…
k
…
n
qn
n1 p 1 q n – 1
n2 p 2 q n – 2
…
nk p k q n – k
…
pn
Voir exercices 65 à 68
nombre de succès
k
0
1
probabilité
pi
q4
4 × q3 × p
2
3
4
6 × q2 × p2 4 × q × p3
p4
La loi de probabilité associée à la dépense de Benoît est alors :
di
en €
40
30
20
10
0
pi
10 – 4
0,0256
0,1536
0,3456
0,3456
0,1296
à
d) L’espérance de dépense de Benoît est :
m = 0,0256 × 40 + 0,1536 × 30 + 0,3456 × 20 + 0,3456 × 10 = 16 .
L’espérance de dépense pour Benoît, à la fin de l’année, est de 16 euros.
118
119
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
LOGICIELS
LOGICIELS
1 Adéquation à une loi équirépartie à l’aide de la calculatrice
Objectif :
1.1. Étudier l’exemple
Objectif :
tester l’adéquation de
données
observées à une loi
équirépartie
Dans le but de sensibiliser les conducteurs, la sécurité routière a étudié les rapports d’accidents
dans le département de l’Oise, en 2001.
lundi
mardi
mercredi
jeudi
vendredi
samedi
dimanche
124
125
125
125
159
147
157
Le numéro de la
case correspond
au nombre de
déplacements de la
bille vers la droite
Note :
on admet que,
si on simule
n tirages, les valeurs
de d obs2 sont de
l’ordre de 1/n
et diminuent quand
n augmente
2° En supposant que les accidents sont équirépartis dans la semaine,
1
la probabilité p pour chaque jour est p = .
7
a) Calculer d obs2 = Σ (f i – p) 2 par
Dans ce cas, D9
ne dépend pas de n
mardi
mercredi
jeudi
vendredi
samedi
dimanche
8
9
8
7
9
10
9
simuler 100 fois
une série de 1000
expériences
modélisables par la
loi équirépartie sur :
{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}
afin d’obtenir la
répartition des
valeurs de d 2
a) Simuler le tirage de 1 000 nombres aléatoires compris entre 1 et 7 .
En cellule A2 , écrire
Utiliser la poignée de recopie jusqu’en cellule A1001.
b) Écrire les nombres de 1 à 7 en plage B2 : B8 .
Calculer en cellule C2 le nombre de 1 apparus lors des 1 000 tirages :
c) Calculer d 2 en cellule C9 , où d est la distance entre la distribution
de fréquences observées et la loi équirépartie :
1
0
a) Le point de départ de la bille a pour coordonnées (4 ; 4 ) . Préparer le tableau ci-dessous.
b) Un passage à droite de l’obstacle ajoute + 1 à l’abscisse, un passage à gauche ajoute – 1 :
L’instruction :
SI(ALEA()<0,5;-1; 1)
crée un nombre
aléatoire dans [ 0 ; 1[
et si ce nombre est
inférieur à 0,5, il
donne – 1, sinon
donne 1 ce qui
correspond bien au
choix de la bille
devant un obstacle
en cellule B2 , taper
Avec la poignée de recopie, copier cette formule vers la droite jusqu’en cellule E2 .
c) Simulation de 200 trajets
Sélectionner la plage A2:E2 , puis recopier vers le bas jusqu’en ligne 201.
Déterminer les abscisses des points d’arrivée :
en cellule J2 , taper
Recopier vers le bas jusqu’en cellule J 201 et préparer le tableau ci-dessous.
Pour représenter le
diagramme en bâtons,
sélectionner la plage
L4 : P4 et cliquer
d) Copier le résultat obtenu en cellule E2 .
Recommencer l’expérience de manière à obtenir 100 valeurs de d 2 en
colonne E .
e) En cellule D2 , calculer le décile 9 de la série des 100 valeurs de d 2 :
Donner la valeur du décile D 9 et interpréter ce résultat.
2
3.2. Simulation sur tableur de la distribution de fréquences
a) Calculer la probabilité théorique p de chaque jour, en supposant que les heures de sommeil
sont équiréparties dans la semaine.
b) Calculer dobs2 = Σ (f i – p) 2 , où les f i sont les fréquences associées à chaque jour.
c) Peut-on considérer que les heures de sommeil de Pauline sont équiréparties sur la semaine ?
2 Élaboration d’un test d’équirépartition sur tableur
3
On considère comme Succès le fait de passer à droite de l’obstacle et comme Échec le fait de
passer à gauche.
a) Donner la probabilité p du succès.
b) Dresser un arbre de BERNOULLI correspondant à la situation décrite.
Établir la loi de probabilité sur {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} .
Pauline étudie son nombre d’heures de sommeil, en moyenne, par nuit.
lundi
gauche
3.1. Travail sur papier
1.2. Applications
Objectif :
droite
4
b) On a simulé à l’aide d’un tableur, 100 expériences de 1 000 tirages de nombres aléatoires.
On a obtenu 100 valeurs de d 2 .
Le neuvième décile de cette série est D 9 = 0,0016 , c’est-à-dire que 90 % des valeurs de d 2 ,
pour une loi équirépartie, sont inférieures à 0,0016.
Ici, on obtient d obs2 = 0,0017, d obs2 est supérieur à D 9 , donc on rejette l’hypothèse d’équirépartition des accidents sur la semaine, avec un risque d’erreur de 10 % .
On préfère souvent
calculer les valeurs
de n × d obs2
qui restent stables
quand n augmente
3 La planche de GALTON à l’aide d’un tableur
La planche de GALTON est un jeu d’obstacle formé de petits cylindres répartis
géométriquement.
On lâche une bille en haut de la planche : à chaque obstacle, elle peut
passer indifféremment et avec autant de chance, à gauche ou bien à
droite de l’obstacle. Ici, le jeu contient 4 niveaux d’obstacles.
On veut connaître la loi de probabilité de chacune des cases où
la bille tombe 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 .
observation de
4 épreuves de
BERNOULLI identiques
et indépendantes
Les résultats sont-ils compatibles avec la loi équirépartie sur l’ensemble E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} ?
1° Calculer en liste 2 les fréquences f i des accidents suivant le jour
de la semaine.
Calculer les effectifs en M3 :
puis calculer la fréquence correspondante en M4 .
Recopier vers la droite à l’aide de la poignée de copie jusqu’en cellule Q4 .
Représenter le diagramme en bâtons des fréquences.
Appuyer sur F9 pour
recommencer une
simulation
d) Recommencer les simulations avec 500, puis 1 000 trajets.
Comparer alors les résultats à la loi de probabilité obtenue à partir de l’arbre dressé au 1°.
120
121
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
FAIRE LE POINT
OUTILS
Mise au point des connaissances antérieures
Savoir
calculer et interpréter
l’espérance d’une loi
Comment faire
1. Médiane, quartiles, déciles, diagrammes
Voir TB25
en boîte
Une loi de probabilité P sur E = {x1 ; x2 ; … ; xn }
x1
x2
est définie par le tableau ci-contre
p1
p2
L’espérance de la loi P est :
m = p1 x 1 + p2 x2 + p3 x 3 + … + pn xn = Σ (pi xi )
x3
p3
…
xn
…
pn
reconnaître et calculer
une probabilité
conditionnelle
La variance de la loi de probabilité P est le nombre V = Σ pi (x i – m ) 2
L’écart type est la racine carrée de la variance
Déterminer la médiane, les quartiles et le neuvième
décile de la série suivante :
Voir cours, p. 112
A et B étant deux événements de E et P(A) non nulle
On choisit, au hasard, un individu réalisant l’événement B parmi ceux réalisant
l’événement A . La probabilité de l’événement B est alors conditionnée par A et
notée PA (B)
P (A B )
La probabilité de B sachant que A est réalisé est PA(B) = P (A)
34
56
23
67
56
25
23
18
a) Construire un arbre pour déterminer toutes les issues.
66
57
53
34
29
31
43
40
b) Déterminer la loi de probabilité.
Déterminer la médiane, les quartiles de la série suivante :
2
La variance et l’écart type caractérisent la dispersion des valeurs autour de l’espérance m
9
14
6
5
10
13
15
La calculatrice affiche l’écran ci-contre.
Comparer les résultats affichés à ceux
calculés.
3
Interpréter chacun des résultats.
b) On s’intéresse à la somme obtenue. Déterminer la loi de
probabilité.
8
175
200
b) Mêmes questions sur l’histogramme suivant :
A3
On prend deux pièces parmi 5 pièces de :
1 € , 2 € , 0,5 € , 0,2 € et 0,1 € .
a) Faire un tableau pour déterminer toutes les issues et
toutes les sommes possibles.
150
A2
b) On s’intéresse au nombre de fois où PILE est apparu.
Déterminer la loi de probabilité.
a) Lire sur le diagramme en boîte suivant la médiane, les
premier et troisième quartiles, ainsi que le neuvième décile.
Connaissant une partition A1 , A2 , … , An de l’ensemble E , on s’intéresse à un
événement B . On traduit les données par un arbre pondéré :
A1
On lance trois fois de suite une pièce équilibrée.
a) Construire un arbre pour déterminer toutes les issues.
7
Voir cours, p. 114
construire
un arbre pondéré par
les probabilités
On lance une pièce de 1 euro, puis un dé tétradrique.
À PILE on associe 1 et à FACE on associe 0.
On note la somme des points obtenus.
6
2
s = 3V
Voir TB27
5
1
L’espérance est la valeur qu’on peut « espérer » obtenir en moyenne quand on répète
un grand nombre de fois l’épreuve
Voir application A, p. 113
calculer et interpréter
la variance et l’écart
type d’une loi
3. Loi de probabilité
A4
Une boîte contient trois billes jaunes, une bille verte et
une bille noire.
On tire, au hasard, une bille de la boîte et sans la remettre
dans la boîte, puis on tire une seconde bille.
On s’intéresse au nombre de billes jaunes tirées.
a) À l’aide d’un arbre, déterminer toutes les issues.
b) Compléter le tableau suivant :
B
appliquer
la formule des
probabilités totales
B
B
B
B
B
B
Voir application C, p. 115
Les événements A1 , A2 , … , An de probabilité non
E
A1
nulles forment une partition de E .
La probabilité de B peut se calculer par :
P(B) = P(A1 B ) + P (A2 B ) + … + P (An B )
An
…
ou encore
P (B) = PA (B) × P (A1 ) + P A (B) × P (A2 ) + … + PA (B) × P (An )
1
prouver
que des événements
sont indépendants
B
2
n
A3
reconnaître
un schéma de BERNOULLI
Les élèves d’une classe de Terminale se répartissent de
la façon suivante :
Réalisé avec Sinequanon
E
2. Part en pourcentage
4
4
Cent touristes se sont inscrits pour une visite guidée de
la ville de Paris. La répartition des inscriptions est donnée, en
pourcentage, dans le tableau suivant :
visite de nuit (N)
visite de jour (J)
visite en car (C)
20
30
Dans les autres cas : P (A B) = P(A) + P (B) – P(A B)
visite à pied (P)
10
40
Vérifier qu’il y a répétition de n épreuves de BERNOULLI, identiques et indépendantes
Énoncer clairement l’événement « succès » de probabilité p qui doit rester identique
dans la répétition des épreuves
Dresser un arbre à n niveaux pondéré par les probabilités p et q = 1 – p , pour
obtenir la probabilité d’obtenir k succès
Voir application F, p. 119
9
A
Si les événements A et B ne sont pas indépendants et si l’on connaît la probabilité de A et la probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé :
P(A B ) = P(A) × PA (B)
Voir application E, p. 117
2
9
Voir cours, p. 114
Voir application D, p. 117
1
4. Probabilité d’un événement
B …
Les événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants si, et seulement si :
PA (B) = P (B) ou PB (A ) = P (A) ou P (A B) = P(A) × P(B)
0
1
10
probabilité
A2
Si les événements A et B sont indépendants : P(A B) = P (A) × P (B)
calculer
P(A B)
nombre de billes jaunes
a) Quelle est la part des touristes visitant Paris la nuit ?
Quelle est la part des touristes visitant Paris la nuit en car ?
3
14
B
On note B : « l’ensemble des élèves déjeunant à la cantine
le mercredi midi ».
On note A : « l’ensemble des élèves participant à l’association sportive ».
On choisit un élève, au hasard, dans la classe.
a) Quelle formule doit-on utiliser pour calculer P (A ) ainsi
que P(B) ?
b) Quelle est la part des touristes visitant Paris la nuit, parmi
ceux voyageant en car ?
b) Préciser l’événement A B par une phrase.
Calculer P(A B) .
—
—
c) Définir par une phrase l’événement A . Calculer P ( A ) .
c) Quelle est la part des touristes visitant Paris en car parmi
ceux ayant choisi la visite de nuit ?
d) Citer la formule permettant, dans ce cas, de calculer
P(A B) . Calculer P(A B ) .
122
123
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
EXERCICES
EXERCICES
1. ESPÉRANCE ET VARIANCE D’UNE LOI
2. Applications directes
A. Calculer et interpréter une espérance, p. 113
1. Q.C.M. et VRAI-FAUX
10
VRAI ou FAUX. Justifier la réponse.
On considère une loi de probabilité sur un ensemble de
résultats :
{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} .
xi
1
2
3
4
5
6
pi
0,1
0,25
0,1
0,15
0,2
0,2
a) L’espérance est multipliée par
probabilités en pourcentage.
b) L’espérance augmente de
augmentent de 1 .
100 , si on traduit les
1 , si tous les résultats
c) L’espérance diminue de 20 % , si tous les résultats diminuent de 20 % .
d) Si seul le résultat 6 change et passe à 7 , l’espérance
augmente de 0,2 point.
11
VRAI ou FAUX. Justifier la réponse.
On considère la loi de probabilité d’un jeu :
xi
–6
–4
–1
2
5
12
pi
0,3
0,1
0,2
0,1
0,2
0,1
Répondre sans utiliser la calculatrice.
a) Le jeu est équitable.
b) La variance est égale à 32,4 .
c) Si P (2) = 0,2 et P(5) = 0,1 et les autres probabilités sont
inchangées, l’espérance et la variance diminuent.
d) Si la loi de probabilité reste celle de départ, la valeur – 6
passe à – 7 et la valeur 12 passe à 15 , alors l’espérance
ne change pas, mais la variance augmente.
e) Si la loi de probabilité reste celle de départ et seule la
valeur 12 change et passe à 20 , l’espérance et la variance
augmentent.
12
Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses.
La loi de probabilité associée à une expérience aléatoire est :
xi
0
1
2
3
4
pi
0,15
0,55
0,1
0,05
0,15
1° L’espérance de cette loi est :
2,5
1,5
0,2
5° Si on remplace la valeur 4 par – 1 , alors l’espérance :
diminue de 5
est divisée par 2
est égale à 0,75
diminue de – 0,15
6° L’écart type est environ égal à :
1,24
1,54
1,41
Au cours d’une enquête sur un groupe de personnes
suisses ou belges, on a posé la question « Êtes-vous allés au
moins une fois hors de l’Europe ? ».
a)
b)
c)
2
7
30 % des personnes ont répondu OUI, 40 % des personnes
du groupe sont des Belges dont 25 % ont répondu OUI.
0,2
0,3
On reprend, au hasard, la fiche d’une personne du groupe.
30
40
80
0,5
0,2
0,15
0,1
xi
–6
–2
0
1
2
10
pi
0,4
0,2
0,1
0,1
0,05
xi
–5
pi
0,3
xi
10
pi
0
a) Calculer la probabilité pour que ce soit un Belge qui ait
répondu OUI.
100
b) En déduire la probabilité que la personne ait répondu
ou soit un Belge.
VRAI ou FAUX
Une boîte contient beaucoup de billes unicolores : rouges,
vertes ou bleues. On prend une poignée de 3 billes.
On s’intéresse aux événements :
A : « deux billes au moins sont vertes » ;
B : « les trois billes sont de la même couleur » ;
C : « il y a au moins une bille rouge » ;
D : « aucune bille n’est rouge » ;
E : « le tirage est tricolore ».
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier.
a) Les événements A et B sont incompatibles (ou
disjoints).
b) B et E sont contraires.
c) A et C sont disjoints.
d) C et D sont contraires.
e) A et E sont disjoints.
14
Q.C.M. Trouver la seule bonne réponse.
A et B sont deux événements tels que :
P(A ) = 0,7 , p(B ) = 0,4 et P (A B) = 0,2 .
1,1
0,6
0,2
0,1
0,1
0,3
0,9
0,1
OUI
c) Quelle est la probabilité que la personne soit un Suisse qui
ait répondu NON ?
21
17
13
20
Dans chaque cas, compléter la loi de probabilité et
calculer la moyenne m et la variance s 2 sans utiliser la
calculatrice.
0,178
7° Si les valeurs de xi augmentent de 10 % , l’écart type :
ne change pas
augmente de 10 %
est multiplié par 0,1
est multipliée par 1,21
1° P(A B ) =
0,9
—
2° P( A B ) =
0,8
— —
3° P( A B ) =
0,8
— —
4° P( A B ) =
0,8
16
On lance deux dés, l’un cubique (de 1 à 6) et l’autre
tétraédrique (de 1 à 4).
Établir la loi de probabilité du dernier chiffre du produit des
deux numéros obtenus, puis calculer l’espérance et la
variance.
18
Un joueur mise 10 points et lance trois pièces, une de
1 €, une de 2 € et une de 0,50 € .
Il gagne 30 points s’il obtient trois FACE, il gagne 10 points s’il
obtient deux FACE et ne gagne rien sinon.
Le gain algébrique est la différence entre ce que le joueur
reçoit à l’issue de la partie et sa mise.
À l’entrée d’un immeuble, le digicode comprend cinq
chiffres : 1 2 3 4 5 , et deux lettres : A et B .
Un code est formé d’une lettre et d’un nombre à deux chiffres pris parmi les chiffres de 1 à 5 .
Exemple : codes A33 ou B51 .
a) À l’aide de deux tableaux, établir tous les codes possibles.
• Codes commençant par A
1
2
3
4
• Codes commençant par B
5
1
1
1
2
2
3
33
4
4
2° Déterminer la loi de probabilité du gain algébrique du
joueur.
5
5
19
Un joueur mise x euros et lance deux dés cubiques
équilibrés.
Si la somme des deux nombres apparus est égale à 7 , il
gagne 15 € , sinon il ne gagne rien.
Combien doit miser le joueur au début du jeu pour que ce jeu
soit équitable ?
3
4
5
51
3
1° Déterminer l’ensemble E de toutes les issues possibles.
3° Calculer l’espérance du gain algébrique.
Le jeu est-il équitable ?
2
b) On effectue un code au hasard.
Calculer la probabilité d’obtenir le bon code.
c) Le gérant qui détermine le code le fait au hasard.
Calculer la probabilité pour que le code choisi comporte deux
chiffres identiques.
d) Calculer la probabilité que le code commence par A et se
termine par 1 .
e) Calculer la probabilité que le code commence par A ou
se termine par 1 .
3. Approfondissement
1,65
2° Si tous les xi augmentent de 5 , alors l’espérance :
ne change pas
augmente de 5
augmente de 25
3° Si on diminue tous les xi de 1,5 , alors :
le jeu est équitable
l’espérance diminue de 1,5
l’espérance ne change pas
4° Si tous les xi augmentent de 10 % , alors, l’espérance :
ne change pas
augmente de 10 %
augmente de 50 %
est multipliée par 0,1
B. Calculer des probabilités simples, p. 113
15
VRAI ou FAUX. Corriger si la réponse est fausse.
Dans un restaurant, la carte montre que 60 % des menus
proposent des poissons (S ), 20 % des menus proposent
des glaces (G) et 30 % des menus ne proposent ni poisson
ni glace.
—
b) P(S G) = 0,80 ;
a) P(S ) = 0,40 ;
—
c) P(S G) = 0,1 ;
d) P(S G) = 0,5 ;
—
—
e) S G et S G sont incompatibles.
22
Une partie de loterie consiste à lâcher une bille dans un
appareil qui comporte six portes de sortie, numérotées de 1 à 6.
La loi de probabilité sur l’ensemble des numéros de porte est
telle que :
p 1 = p 6 = t , p 2 = p 5 = 5t et p 3 = p 4 = 2p 2 .
Règle du jeu : un joueur mise 2 € et lance la bille :
si la bille franchit les portes 1 ou 6 , il reçoit 12 € ;
si la bille franchit les portes 3 ou 4 , le joueur reçoit 2 € ;
si la bille franchit les portes 2 ou 5 , le joueur ne reçoit rien.
Le gain algébrique est la différence entre ce que le joueur
reçoit à l’issue de la partie et sa mise.
1
a) En résolvant une équation, montrer que t = .
32
b) Donner l’ensemble E des gains algébriques possibles.
Déterminer la loi de probabilité sur E .
c) Calculer l’espérance de gain de ce jeu.
124
125
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
EXERCICES
EXERCICES
1° a) Établir un arbre représentant toutes les éventualités à
la fin d’une partie, et les gains obtenus pour chaque branche.
b) Calculer la probabilité de l’événement :
G : « le joueur est gagnant ».
c) Déterminer la loi de probabilité sur l’ensemble E des
gains. Calculer alors l’espérance de gain.
2° Déterminer le gain algébrique à attribuer à un joueur
lorsque le deuxième jeton tiré est rouge, pour que l’espérance de gain soit nulle.
24
Une roue de loterie présente de nombreux secteurs
munis d’une marque.
Chaque secteur permet de gagner 100 € , 10 € , 5 € ou
1 € ou ne rien gagner (0 €) :
8 % gagnent 5 € ; le cinquième gagne 1 € ; le vingtième
gagne 10 € et plus, dont le dixième gagne 100 € .
1° Déterminer la loi de probabilité par traduction des informations données. Justifier que plus des deux tiers des
secteurs ne gagnent rien (0 €).
2. Applications directes
2° a) Montrer que l’espérance de gain est 1,55 € .
b) Si le prix du billet est de 2 € , calculer l’espérance de
recette par billet pour le gérant de cette loterie.
3° Les frais fixes se montent à 1 500 € .
Combien de billets au minimum ce gérant doit-il vendre pour
réaliser un profit ?
On choisit, au hasard, une puce de cette fabrication.
Calculer la probabilité des événements suivants :
E : « la puce a au moins l’un des deux défauts » ;
F : « la puce a le défaut A seulement » ;
G : « la puce a un défaut et un seul » ;
H : « la puce n’a ni le défaut A , ni le défaut B ».
On souhaite savoir si un dé à quatre faces (un tétraèdre)
peut être considéré comme parfaitement équilibré.
Pour cela, on numérote de 1 à 4 les quatre faces de ce dé,
puis on lance ce dé 160 fois en notant le nombre ni de fois,
où chaque face est cachée.
On obtient les résultats suivants :
face cachée
i
effectif
ni
VRAI ou FAUX. Corriger si la réponse est fausse.
On considère la loi équirépartie sur un ensemble E et p la
probabilité de chacune des issues.
a) Si E est l’ensemble des jours de la semaine, alors :
1
p=.
7
b) Si E est l’ensemble des couples obtenus en lançant deux
1
dés cubiques, alors p = .
6
c) Si
E
est l’ensemble des issues lors de trois lancers
1
successifs d’une pièce de 1 € , alors p = .
6
27
Q.C.M. Donner la seule bonne réponse.
Pour évaluer l’adéquation de la distribution des fréquences
f i d’une expérience aléatoire à k issues, on calcule dobs2
qui est égale à :
2
Σ (f i – k) 2
Σ fi 2 – k
f i – k1
28
3
4
30
48
46
36
Q.C.M. Donner la seule bonne réponse.
On réalise une expérience et on mesure la distance d obs2 .
1° On accepte l’adéquation à la loi équirépartie, si d obs2 est :
supérieure à D 9
inférieure à D 9
1%
10 %
9%
90 %
3° Si d obs2 est supérieure au 95e centile de cette série, on
rejette l’adéquation à la loi équirépartie avec un risque
d’erreur de :
1%
10 %
5%
15 %
,
Le 9e décile de la série statistique des 1 000 valeurs D 2 est
égal à 0,009 8.
Au vu de l’expérience réalisée, et au risque de 10 %, peut-on
considérer le dé comme parfaitement équilibré ?
30
Les guichets d’une agence bancaire d’une petite ville
sont ouverts au public cinq jours par semaine : les mardi,
mercredi, jeudi, vendredi et samedi.
Le tableau ci-dessous donne la répartition journalière des
250 retraits d’argent liquide effectués aux guichets une
certaine semaine.
mardi mercredi
jeudi
vendredi samedi
rang i du jour
1
2
3
4
5
nombre de retraits
37
55
45
53
60
5
On pose d obs2 =
fi – 15 i = 1
2
, où fi est la fréquence des
retraits du i-ième jour.
31
Un pisciculteur possède un bassin qui contient trois
variétés de truites : communes, saumonées et arc-en-ciel. Il
voudrait savoir s’il peut considérer que son bassin contient
autant de truites de chaque variété.
Pour cela, il effectue, au hasard, 400 prélèvements d’une
truite avec remise et obtient les résultats suivants :
variétés
Commune
Saumonée
Arc-en-ciel
effectifs
146
118
136
1° a) Calculer les fréquences de prélèvement fc d’une truite
commune, fs d’une truite saumonée et fa d’une truite arcen-ciel.
On donnera les valeurs décimales exactes.
1 2
1 2
1 2
b) On pose d 2 = fc – + fs – + fa – .
3
3
3
Calculer 400d 2 arrondi à 10 – 2 ; on note 400dobs2 cette
valeur.
2° À l’aide d’un ordinateur, le pisciculteur simule le prélèvement, au hasard, de 400 truites suivant la loi équirépartie.
Il répète 1 000 fois cette opération et calcule, à chaque fois,
la valeur de 400 d 2 .
Le diagramme à bandes ci-dessous représente la série des
1 000 valeurs de 400 d 2 obtenues par simulation.
Ces valeurs ont permis de construire le diagramme en boîte
ci-dessous, où les extrémités des « pattes » correspondent
respectivement au premier décile et au neuvième décile.
539
effectifs
égale à D 9
2° Si d obs2 est inférieure au neuvième décile de cette série,
on accepte l’adéquation à la loi équirépartie avec un risque
d’erreur de :
2
3. Approfondissement
On suppose donc que le nombre des retraits journaliers est
1
égal à du nombre des retraits de la semaine.
5
On simule 100 fois la loi équirépartie, on obtient 100 valeurs
de d 2 . Le neuvième décile de cette série est D 9 .
Fi – 14 où Fi est la fréquence d’apparition de la face i .
On veut tester l’hypothèse : « le nombre de retraits est indépendant du jour de la semaine ».
1. Q.C.M. et VRAI-FAUX
26
2
jour de la semaine
2. ADÉQUATION À UNE LOI ÉQUIRÉPARTIE
1
D2 =
On note f i la fréquence relative à la face i et d 2obs le réel :
1 2
d obs2 = f i – .
4
25
Une entreprise fabrique des puces électroniques.
Ces puces peuvent être défectueuses à cause de deux
défauts de fabrication A et B . On teste chaque puce.
On vérifie le défaut A : 20 % des puces présentent le
défaut A .
On vérifie le défaut B : 24 % des puces présentent le
défaut B .
Après tous les tests : 15 % des puces présentent les deux
défauts.
On simule ensuite 1 000 fois I’expérience consistant à tirer
160 fois un chiffre, au hasard, parmi l’ensemble {1 ; 2 ; 3 ; 4}
puis, pour chaque simulation, on calcule :
29
type BAC
On s’intéresse au gain algébrique (gain ou perte) à la fin
d’une partie, soit E l’ensemble des gains.
On admet que la répartition des secteurs selon le gain définit une loi de probabilité.
type BAC
Un sac contient sept jetons : un rouge, deux jaunes et
quatre verts.
Une partie consiste à tirer un jeton du sac :
• s’il est rouge, le joueur gagne 10 € ;
• s’il est jaune, le joueur perd 5 € ;
• s’il est vert, le joueur retire un deuxième jeton sans avoir
replacé le premier jeton tiré, si le deuxième est rouge, il
gagne 8 € , sinon il perd 4 € .
type BAC
23
235
122
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1° Lire sur le diagramme une valeur approchée du neuvième
décile.
2° En argumentant la réponse, dire si pour la série observée
au début, on peut affirmer, avec un risque d’erreur inférieur à
10 %, que « le nombre de retraits est indépendant du jour de
la semaine ».
51
0
41
12
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Déterminer une valeur approchée à 0,5 près par défaut, du
neuvième décile D 9 de cette série.
3° En argumentant soigneusement la réponse, dire si on
peut affirmer, avec un risque d’erreur inférieur à 10 %, que :
« le bassin contient autant de truites de chaque variété ».
126
127
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
EXERCICES
EXERCICES
3. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
3. Approfondissement
1. Q.C.M. et VRAI-FAUX
Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses.
La probabilité de l’événement B sachant que l’événement
A est réalisé est :
P(A B)
P (A)
P (A B )
P(A )
33
Q.C.M. Trouver toutes les affirmations vraies.
On considère trois événements A , B et C d’un même
ensemble E que l’on peut schématiser par le diagramme de
VENN ci-dessous. On connaît l’effectif de chaque partie.
A
C
3
2
4
E
10
9
7
5
B
2
PB (C) = 12
2
P(B C) = 40
5
PC (B) = 11
3° La probabilité d’obtenir, parmi les personnes ayant une
réaction allergique, une personne vaccinée est :
P (A )
PA (V )
P(V )
PV (A)
5
PA (B) = 18
5
PB (A) = 18
34
Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses.
60 % d’une population est vaccinée (V ) contre une maladie.
On constate que 5 % des personnes vaccinées font une
réaction allergique A .
Parmi les personnes non vaccinées, 10 % sont victimes de
la réaction allergique A .
1° On choisit, au hasard, une personne vaccinée.
La probabilité d’obtenir une personne victime d’une réaction
allergique est :
PA (V )
P (A)
PV (A)
0,10
0,05
0,6
Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses.
On reprend la situation de l’exercice précédent.
37
A et B sont deux événements de E tels que :
P(A) = 0,4 , P —A (B) = 0,8 et PA (B) = 0,2 .
Construire un arbre pondéré, puis calculer :
P(A B ) et P (B) .
38
A et B sont deux événements de E tels que :
—
P(A) = 0,4 , P( A B) = 0,3 et P(A B) = 0,2 .
Calculer PA (B ) et P —A (B ) .
et
F1
F2
F3
F4
magasin A
0
0,8
0,5
0,4
magasin B
0,6
0
0,5
0,3
autres magasins
0,4
0,2
0
0,3
10 %
20 %
30 %
40 %
part en %
du stock total
PB (C) .
1° La probabilité d’obtenir, dans la population, une personne
victime d’une réaction allergique et vaccinée est :
PA (V )
PV (A)
P (A) + P (V )
P (A V )
PA (V )
PV (A)
P (A)
P (A V )
0,15
Un vélo est vendu dans l’un des magasins.
42
0,07
3° La probabilité d’obtenir, dans la population, une personne
ni allergique ni vaccinée est :
—
—
— —
PV ( A )
P( A V )
0,36
0,97
P A— (V )
Dans un lycée, 60 % sont des filles, 40 % sont des
élèves de Seconde, dont 55 % sont des filles.
On prend, au hasard, la fiche d’une élève de ce lycée.
On note :
F : « l’élève est une fille » et S : « l’élève est en Seconde ».
2° En déduire les pondérations de l’arbre ci-dessous.
—
S
total
S
F
—
F
total
F
S
S
F
S
S
100
Préciser les probabilités P(F ), P(S) et P(S F ) .
2° Pour tous les événements B et C , on a :
—
P (B) = P (B C) + P(B C) .
Un joueur de tennis réussit sa première balle de service
à 75 % et sa seconde balle à 90 %.
3° Si les événements A et B forment une partition de E ,
alors, C étant un événement de E , les événements A C
et B C sont disjoints.
4° Si les événements A et B forment une partition de E ,
alors :
Quelle est la probabilité pour qu’il commette une double faute
(service faux à la seconde balle) ?
b) Pour tout événement C de E :
P (C) = P (A) × P (C) + P (B) × P (C) .
43
44
Une équipe de basket est composée de 6 joueurs ayant
de très grandes performances dans la réussite de paniers :
deux de ces 6 joueurs réussissent à 80 % ,
trois réussissent à 90 %
et le dernier, Alfred, réussit à 95 % .
On assiste à un match où chaque basketteur a tenté le
même nombre de paniers et on choisit, au hasard, l’une des
tentatives. On note :
A : « Alfred a tenté le panier » ; R : « le panier est réussi ».
39
A et B sont deux événements de E :
P (A ) = 0,3 , PA (B) = 0,05 et P —A (B) = 0,1 .
Établir un arbre pondéré avec ces données et le compléter.
Calculer P(B ) .
40
A , B , C et D sont quatre événements de E tels que
A , B et C forment une partition de E .
On a P (A) = 0,3 , P (B) = 0,5 , PA (D) = 0,05 ,
PB (D) = 0,1 et PC (D) = 0,2 .
Établir un arbre pondéré et calculer P(D) .
c) Quelle est la probabilité qu’il soit vendu dans le magasin
A et provienne du fournisseur F4 ?
2° a) À l’aide d’un arbre pondéré, déterminer la probabilité
que le vélo soit vendu dans le magasin A .
VRAI ou FAUX. Corriger si la réponse est fausse.
—
1° Quel que soit l’événement A de E , A et A forment une
partition de E .
a) P (A ) + P(B ) = P(E ) ;
1° a) Quelle est la probabilité qu’il provienne de F4 ?
b) Quelle est la probabilité qu’il soit vendu dans le magasin
B , sachant qu’il provient du fournisseur F1 ?
1° Traduire ces informations dans un tableau.
36
2. Applications directes
C. Utiliser un arbre pondéré par les probabilités, p. 115
Déterminer les probabilités :
P(C) , P(B) , P(C B)
fournisseur
35
2° La probabilité d’obtenir, dans la population, une personne
victime d’une réaction allergique est :
L’ensemble E a 40 résultats et est muni d’une loi de probabilité P équiprobable.
5
P (A B) = 40
2° On choisit, au hasard, une personne non vaccinée. La
probabilité d’obtenir une personne victime d’une réaction
allergique est :
P(A)
PV (A)
PA (V )
0,10
0,05
0,6
Dans un groupe de 50 personnes, on remarque les
hommes portant la cravate ou ayant les yeux bleus.
On compte 20 hommes portant la cravate, 15 hommes qui
ont les yeux bleus, dont 8 portent la cravate.
On discute avec une personne choisie au hasard dans ce
groupe.
On note C : « c’est un homme à cravate »
et
B : « c’est un homme aux yeux bleus ».
a) Déterminer les probabilités suivantes :
P(A), PA (R) et P(A R) .
b) Déterminer P(R) .
On utilisera un arbre pondéré.
45
Une chaîne de magasins commercialise des vélos tout
terrain.
Elle s’adresse exclusivement à quatre fournisseurs F1 , F2 ,
F3 et F4 qui produisent respectivement 10 % , 20 % ,
30 % et 40 % du stock.
b) Déterminer la probabilité que le vélo provienne du fournisseur F4 , sachant qu’il est vendu dans le magasin A .
type BAC
32
P(A B ) × P(A)
L’essentiel de ces vélos est vendu dans deux magasins et la
production de chaque fournisseur est répartie selon le
tableau ci-dessous :
41
46
27 000 15 000
Une entreprise veut recette
investir dans un projet
0,4
0,6
dont les coûts s’élèvent à probabilité
50 000 euros et lui
rapporte chaque année 27 000 € ou 15 000 € .
Représenter, à l’aide d’un arbre, les différentes recettes
possibles au bout de 3 ans.
Quelle est la probabilité que la recette de l’entreprise atteigne 81 000 euros ? Donner la loi de probabilité associée à la
recette de l’entreprise.
Calculer l’espérance de la recette pour l’entreprise. Le projet
est-il rentable ?
47
À la pause de 10 h, indifféremment, Myriam boit un jus
d’orange, mange une pomme ou une barre de céréales
qu’elle a apporté.
Si elle a bu un jus d’orange, la probabilité qu’elle choisisse
une orange au déjeuner est 0,05 .
Si elle a mangé une pomme, la probabilité qu’elle choisisse
une orange au déjeuner est 0,2 .
Si elle a mangé une barre de céréales, la probabilité qu’elle
choisisse une orange au déjeuner est 0,5 .
On note :
J : « Myriam boit un jus d’orange » ;
P : « Myriam mange une pomme » ;
B : « Myriam mange une barre de céréales » ;
O : « Myriam mange une orange ».
1° Calculer P(J O) , P(O B) et P(O) .
2° Quelle est la probabilité que Myriam boive un jus d’orange
à 10 h sachant qu’elle mangera une orange au déjeuner ?
128
129
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
EXERCICES
EXERCICES
4. INDÉPENDANCE
1. Q.C.M. et VRAI-FAUX
VRAI ou FAUX. Argumenter.
1° Si deux événements A et B sont indépendants, alors :
a) P (A B ) = P (A) + P (B ) ;
b) PA (B ) = P (A ) ;
c) PB (A) = P (A ) ;
d) P(A B) = P(A) × P (B ) ;
e) P(B ) = 1 – P (A) .
2° Des événements incompatibles sont indépendants.
3° Des événements indépendants sont incompatibles.
4° Si l’on réalise cinq épreuves indépendantes, on peut appliquer le principe multiplicatif pour calculer la probabilité d’obtenir une liste de résultats obtenus à la fin des cinq épreuves.
49
VRAI ou FAUX. Corriger si la réponse est fausse.
Un jeu se joue à l’aide de trois dés à six faces.
a) Si on lance les trois dés simultanément, les expériences
sur ces dés sont indépendantes.
b) Si on lance le premier dé, puis le deuxième, puis le troisième, la probabilité d’obtenir 6 sur chacun des dés n’est
pas la même.
c) Si on lance le même dé trois fois de suite, les résultats
obtenus à chaque expérience ne sont pas indépendants.
50
Q.C.M. Donner toutes les bonnes réponses.
Dans une classe de Terminale ES, il y a 25 % de redoublants.
La probabilité de réussir au Bac est de 80 % chez les non
redoublants.
20 % des redoublants échouent au Bac.
Après le Bac, on rencontre, au hasard, un élève de cette
classe.
On note :
B : « l’élève a le Bac » et R : « l’élève était redoublant ».
—
PR (B ) = 0,2
P(R) = 0,25
P(B R) = 0,2
P(B ) = 0,8
R et B sont indépendants
Un hypermarché vend par paquet d’un kilogramme, des
clémentines et des oranges, en provenance d’Europe (Italie,
Espagne) et du Maroc.
Le nombre de kilogrammes mis en vente est donné cidessous.
Italie
Espagne
Maroc
clémentines
100
250
150
oranges
300
550
650
D. Montrer que deux événements
sont indépendants, p. 117
Calculer les probabilités des événements E et F ainsi que
la probabilité de E sachant F .
1° a) Quelle est la probabilité des événements :
C : « acheter des clémentines » ?
I : « acheter un paquet italien » ?
b) Les événements C et I sont-ils indépendants ?
2° a) Quelle est la probabilité p1 d’acheter des clémentines,
sachant que l’acheteur ne veut que des produits « européens » ?
b) Quelle est la probabilité p2 d’acheter « européen »
sachant que des clémentines ont été choisies ?
51
A et B sont deux événements de E tels que :
P (A) = 0,2 , P (A B ) = 0,08 et P (A B) = 0,5 .
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
52
A et B sont deux événements de E tels que :
P(A ) = 0,2 , P (B ) = 0,7 et P(A B) = 0,76 .
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
53
A et B sont deux événements de E tels que :
—
P (A ) = 0,4 , P (B) = 0,5 et P ( A B ) = 0,3 .
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
E. Calculer la probabilité d’une intersection, p. 117
54
Reprendre l’exercice de l’application E, p. 117.
Calculer la probabilité d’interroger un élève de Terminale
étudiant l’Anglais et pratiquant un sport.
Les événements A et S sont-ils indépendants ?
On interroge, au hasard, un élève qui pratique un sport.
Quelle est la probabilité qu’il étudie l’anglais ?
58
55
Une entreprise de location de voiture propose plusieurs
types de véhicules.
Le gérant constate que 20 % des véhicules loués sont des
monospaces.
Parmi les clients louant des monospaces, 80 % choisissent
la climatisation.
50 % des clients louant un autre type de véhicules demandent la climatisation.
Un client vient louer une voiture.
1° Calculer la probabilité qu’il loue un monospace ayant la
climatisation.
2° Calculer la probabilité qu’il loue une voiture standard sans
climatisation.
56
Dans une médiathèque, les abonnés choisissent, de
manière indépendante, un DVD et un CD.
En étudiant les locations de DVD, le responsable de la vidéothèque constate que 60 % des abonnés louent des DVD de
science-fiction.
Le responsable de la discothèque constate que 30 % des
abonnés louent des CD de musique classique.
On interroge un abonné au hasard.
1° Quelle est la probabilité pour que cet abonné ait choisi un
DVD de science-fiction et un CD de musique classique ?
2° Quelle est la probabilité que cet abonné ait choisi un DVD
qui ne soit pas de science-fiction et un CD de musique classique ?
Une boîte contient des jetons rouges ou verts, tous sont
numérotés 0 ou 1 .
Il y a 100 jetons rouges, dont 50 portent le numéro 0 , et
30 jetons verts numérotés 0 .
On prend, au hasard, un jeton de la boîte. On note :
R : « le jeton est rouge »
et Z : « le jeton porte le numéro 0 ».
Déterminer le nombre de jetons verts numérotés 1 contenus dans la boîte afin que les événements R et Z soient
indépendants.
59
Au cours d’une réunion de famille, 15 personnes sont
conviées ; cinq portent le même nom de famille Dupond, trois
se prénomment Jacques, dont un Jacques Dupond.
1° On rencontre, au hasard, une personne ayant assisté à
cette réunion.
Montrer que les événements « s’appeler Dupond » et « s’appeler Jacques » sont indépendants.
2° On tire au sort une première personne, puis une
deuxième pour représenter ce groupe. On note :
D1 : « la première personne est un Dupond » ;
D2 : « la deuxième personne est un Dupond ».
a) Établir les pondérations de l’arbre
ci-contre.
b) En déduire la probabilité que la
deuxième personne soit un Dupond.
D1
D2
D1
D2 D2
On dispose d’un dé en forme de tétraèdre régulier peint
possédant une face bleue, deux faces rouges et une face
verte ; on suppose le dé parfaitement équilibré.
On considère les événements suivants :
E est l’événement : « à l’issue d’une partie, les deux faces
notées sont vertes » ;
F est l’événement : « à l’issue d’une partie, les deux faces
notées sont de la même couleur ».
Un acheteur prend, au hasard, un paquet de un kilogramme
de ces fruits.
c) En déduire la probabilité d’acheter « marocain » sachant
que des clémentines ont été choisies.
2. Applications directes
60
Une partie consiste à effectuer deux lancers successifs et
indépendants de ce dé.
À chaque lancer, on note la couleur de la face cachée.
type BAC
48
57
type BAC
3. Approfondissement
61
À l’issue d’une compétition, des sportifs sont contrôlés
par un comité antidopage qui doit se prononcer sur leur positivité ou négativité au dopage.
Or, d’une part certains produits dopants restent indétectables aux contrôles et, d’autre part, certains médicaments ont
un effet de dopage inconnu du sportif ; le comité prend donc
sa décision avec un risque d’erreur.
On note :
D l’événement : « Le sportif est dopé » ;
O l’événement : « Le sportif est déclaré positif » ;
E l’événement : « Le comité a commis une erreur ».
1° Dans cette question, on suppose que, parmi les sportifs,
50 % ne sont pas dopés et que la probabilité d’être
déclaré positif est indépendante de l’état réel du sportif
(dopé ou non dopé).
Lors d’une étude sur des compétitions antérieures, on a pu
observer que ce comité déclarait positifs 20 % des sportifs.
On choisit un sportif au hasard.
Calculer la probabilité :
a) que le sportif soit non dopé et déclaré positif ;
b) que le sportif soit dopé et déclaré négatif ;
c) de l’événement E .
2° Dans cette question, on note p la fréquence des dopés
parmi les sportifs contrôlés.
On suppose que la probabilité d’être déclaré positif n’est pas
la même selon que le sportif est réellement dopé ou non.
La probabilité qu’un sportif dopé soit déclaré positif est 0,9 ;
La probabilité qu’un sportif non dopé soit déclaré positif est
0,1.
On choisit un sportif au hasard.
a) Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
b) Calculer la probabilité de E .
c) Calculer, en fonction de p , la probabilité que ce sportif soit
déclaré positif.
d) On s’intéresse à la probabilité qu’un sportif ayant été
déclaré positif soit réellement dopé.
Montrer que cette probabilité, notée f (p) , est définie par :
0,9 p
f (p) = .
0,8 p + 0,1
D2
Résoudre l’inéquation f (p) 0,9 . Interpréter ce résultat.
130
131
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
EXERCICES
EXERCICES
5. LOI BINOMIALE
3. Approfondissement
1. Q.C.M. et VRAI-FAUX
62
69
VRAI ou FAUX. Corriger si la réponse est fausse.
1° Une expérience aléatoire à trois issues A , B et C est
une loi de BERNOULLI ?
2° Une expérience aléatoire suit une loi de BERNOULLI de
paramètre 0,4 .
La loi de probabilité est :
issue
2° Dans une loi de BERNOULLI, la probabilité du succès est
toujours égale à celle de l’échec.
pi
S
E
issue
0,6
0,4
pi
3° Une loi binomiale de paramètre (5 ; 0,7) est une loi de
BERNOULLI.
63
VRAI ou FAUX. Corriger si la réponse est fausse.
1° Si l’on répète 4 épreuves de BERNOULLI indépendantes, on
obtient une loi binomiale.
2° On lance 4 fois une pièce de 1 € bien équilibrée.
La loi de probabilité du nombre de PILE apparus à la fin des
4 lancers suit une loi binomiale.
3° On lance 3 fois le même dé cubique. La loi de probabilité
du nombre de six apparus suit une loi binomiale.
4° Lors de 3 répétitions d’une épreuve de BERNOULLI de paramètre 0,2 , la probabilité d’obtenir 3 succès est 0,6 .
pi
Q.C.M. Trouver la seule bonne réponse.
1° Pour une expérience suivant une loi de BERNOULLI telle que
probabilité du succès est p et celle de l’échec est q , on a
toujours :
p1
p=q
pq
p 0,5
p=1–q
1
2
0,5
0,1
0,4
E
0,4
0,6
le nombre de succès à la fin de l’expérience aléatoire
la probabilité d’obtenir un succès
le nombre de répétition de l’épreuve de BERNOULLI
4° Si l’on tire successivement et sans remise trois boules
d’une urne contenant 6 boules rouges et deux boules vertes,
le nombre de boules rouges obtenues :
suit une loi de BERNOULLI
suit une loi binomiale
0,25
1
3
0,75 × 0,25
2
2
0,75 × 0,25
2
3
3
0,75
5° Lors de trois répétitions identiques et indépendantes
d’une épreuve de BERNOULLI de paramètre 0,2 , la probabilité d’obtenir au moins un succès est :
3 × 0,2 × 0,8 2
0,2 3
3 × 0,2 × 0,8 + 3 × 0,8 × 0,2 + 0,8 3
2
1 – 0,8 3
2
1 – 0,2 3
65
La boulangerie ne vend que des brioches et des croissants. Pour lui être agréable, mais sans se concerter, la
mère, le père et la sœur de Léa lui achètent, au hasard, l’une
de ces viennoiseries.
a) Quelle est la probabilité que Léa ait deux brioches et un
croissant ?
66
Quelle est la probabilité qu’en lançant trois dés tétraédriques, le joueur obtienne au moins un quatre ?
b) Elle décide de manger n chocolats pour être « sûre »
d’avoir au moins un de ses préférés, avec une probabilité
supérieure à 0,95 .
Combien doit-elle manger au minimum de chocolats enrobés
de cacao ?
Une machine remplit des paquets dont le poids prévu
est de 250 g .
La répartition du poids réel des paquets est donnée par le
diagramme en boîte ci-dessous :
Un CD compilation des anciens succès d’un chanteur
contient 5 chansons inédites parmi les 15 proposées.
La fonction RANDOM du lecteur de CD choisit, au hasard,
quatre chansons.
a) Quelle est la probabilité d’obtenir deux chansons
inédites ?
b) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une chanson
inédite ?
68
poids
pi
poids
pi
[220 ; 230]
]230 ; 245]
]245 ; 248]
]260 ; 272]
]272 ; 280]
0,1
[248 ; 260]
0,15
2° On prélève trois paquets au hasard.
a) Quelle est la probabilité pour que les trois paquets aient
un poids supérieur à 245 g ?
b) Quelle est la probabilité pour que les deux premiers
paquets aient un poids inférieur ou égal à 230 g et le dernier
un poids supérieur à la médiane ?
3° Tous les paquets sont contrôlés avant leur fermeture.
On admet que la probabilité que le paquet soit signalé non
conforme au contrôle est :
1 si son poids est inférieur ou égal à 230 g ;
0,9 si le poids est entre 230 g et 245 g (245 compris) ;
0,8 si le poids est entre 245 g et 248 g ;
sinon, le paquet est déclaré conforme.
Le coût de mise en conformité du paquet est de 0,6 € .
Soit E = { 0,6 ; 0 } l’ensemble des coûts possibles.
a) À l’aide d’un arbre pondéré, déterminer la probabilité pour
qu’un paquet soit déclaré non conforme.
b) En déduire la loi de probabilité sur l’ensemble E et calculer son espérance. En donner une interprétation concrète.
71
Les résultats seront donnés en fractions irréductibles.
Un club de tennis comporte 500 adhérents : 300 hommes
et 200 femmes.
Le tennis, en compétition, est pratiqué par 30 % des hommes
et 20 % des femmes.
Les autres adhérents pratiquent ce sport uniquement pour le
loisir.
On choisit, au hasard, un adhérent.
On note :
F : « l’adhérent est une femme »
et C : « l’adhérent pratique la compétition ».
1° a) Calculer les probabilités P (F ) et PF (C) .
Énoncer par une phrase cette dernière probabilité.
67
b) Quelle est la probabilité que Léa ait trois brioches à manger ?
c) Quelle est la probabilité que Léa puisse manger au moins
un croissant ?
a) Quelle est la probabilité pour que cet événement se
réalise ?
70
2. Applications directes
F. Reconnaître et appliquer la loi binomiale, p. 119
2° On prend quatre ganaches enrobées de cacao et on les
mange une à une. On admet qu’il y en a suffisamment dans
la boîte pour que la probabilité de prendre une ganache
amère reste toujours égale à 0,75 , même après avoir pris
10 ou 15 ganaches enrobées de cacao.
Déterminer la probabilité des événements suivants :
a) les quatre ganaches sont amères ;
b) au moins une ganache n’est pas amère ;
c) on mange trois ganaches amères, puis une non amère ;
d) on mange exactement une ganache non amère parmi les
quatre.
3° Madé préfère les ganaches non amères enrobées de
poudre de cacao. Elle prend et mange 10 ganaches enrobées de poudre de cacao… et se plaint : toutes les ganaches
sont amères !
suit la loi :
0
1° a) Dresser un arbre pondéré qui traduise les données.
En déduire la probabilité qu’une ganache soit enrobée de
poudre de cacao.
b) On note p la probabilité pour qu’une ganache soit amère,
3
sachant qu’elle est enrobée de cacao. Montrer que p = .
4
3° Pour une loi binomiale de paramètre (n ; p) , le nombre
n est :
5° Une loi de probabilité associée à une expérience aléatoire
suit une loi binomiale de paramètre (3 ; 0,4) . La probabilité
d’obtenir un succès est alors 0,4 × 0,6 2 .
64
0
issue
S
Dans une boîte de ganaches (chocolats à très forte
teneur en cacao), il y a 60 % de ganaches amères, dont le
quart est enrobé de poudre de cacao, et 12,5 % des ganaches non amères sont aussi enrobées de poudre de cacao.
x min D1
Q1
Me
Q3
D9 x max
b) Décrire l’événement C F et calculer sa probabilité.
220
245
248
260
272
c) Calculer P(C) .
On mettra en valeur le raisonnement employé.
230
280
On rappelle que, par lecture, 230 est le premier décile, 272
est le décile 9 et 248 est la médiane.
On prélève un paquet au hasard. On admet que son poids
suit la loi de probabilité donnée par les fréquences obtenues
à partir du diagramme en boîte.
1° On lance 4 dés à 6 faces bien équilibrés.
Quelle est la probabilité d’obtenir un seul six ?
1° a) Calculer la probabilité que le paquet ait un poids inférieur ou égal à 245 g .
2° On lance un dé à 6 faces quatre fois de suite.
Quelle est la probabilité d’obtenir une seule fois un 4 ?
b) Établir la loi de probabilité du poids du paquet par lecture
du diagramme.
2° L’adhérent choisit la compétition.
Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
3° Le secrétaire de ce club doit contacter un certain nombre
d’adhérents. Il les choisit parfaitement au hasard, sans se
préoccuper s’il les a déjà choisis ou non.
a) S’il choisit 4 adhérents, quelle est la probabilité qu’il
contacte exactement une femme qui pratique la compétition ?
b) Combien d’adhérents au minimum doit-il choisir pour
contacter au moins une femme qui pratique la compétition,
avec une probabilité supérieure à 0,99 ?
132
133
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
EXERCICES
EXERCICES
72
Parmi les stands de jeux d’une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d’acier lorsque le joueur actionne un bouton.
Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire
évidée en son centre.
Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle
reste sur la cible.
Lorsque la bille n’atteint pas la cible, elle revient à son point
de départ.
Dans la suite de l’exercice, on note :
C : l’événement « la cible est atteinte » ;
B : l’événement « la bille est avalée ».
Une étude préliminaire a démontré que :
– la probabilité d’atteindre la cible lors d’un lancer est égale
à 0,3 ;
– lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la bille soit
avalée est égale à 0,2 .
1° Traduire la situation aléatoire ci-dessus par un arbre de
probabilité.
2° On actionne le bouton.
a) Calculer la probabilité P1 que la bille soit avalée.
b) Calculer la probabilité P2 qu’elle reste sur la cible.
3° Une partie se déroule selon la règle ci-dessous.
Pour jouer, on paie 0,50 € et on actionne le bouton qui
lance la bille :
• si la bille est avalée, on gagne un lot d’une valeur de g
euros ;
• si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;
• si la bille rate la cible, on perd la mise.
Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d’un
joueur. On recopiera et on complétera le tableau ci-dessous.
– 0,50
gain
0
g – 0,50
probabilité
4° a) Montrer que l’espérance de gain d’un joueur en fonction
de g est :
E = 0,06 g – 0,38 .
type BAC
b) On prévoit qu’un grand nombre de parties seront jouées.
Pour quelles valeurs de g les organisateurs peuvent-ils
espérer un bénéfice ?
73
Espérance et fonction
Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des
jetons rouges.
10 % des jetons sont bleus, et il y a trois fois plus de jetons
blancs que de bleus.
Un joueur tire un jeton au hasard :
• s’il est rouge, il remporte le gain de base ;
• s’il est blanc, il remporte le carré du gain de base ;
• s’il est bleu, il perd le cube du gain de base.
1° On suppose que le gain de base est de 2 € .
a) Déterminer la loi de probabilité sur l’ensemble des résultats possibles.
b) Calculer le gain moyen que l’on peut espérer réaliser sur
un grand nombre de tirages.
2° Le salaire moyen est :
2° On cherche à déterminer la valeur g0 du gain de base,
telle que l’espérance de gain soit maximale.
Le résultat sera arrondi au centime d’euro.
Soit x le gain de base en euros.
a) Montrer que le problème revient à étudier les éventuels
extremums de la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par :
f (x) = – 0,1 x 3 + 0,3 x 2 + 0,6 x .
b) Étudier le sens de variation de f sur [0 ; + ∞[. Conclure
sur le problème posé.
74
Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses et si possible les justifier.
Un sac contient 50 % de billes, 30 % de jetons et 20 % de
pièces de monnaie.
Les objets de couleur rouge représentent 20 % des billes et
50 % des jetons.
1° Une machine prélève un objet au hasard.
On pourra s’aider d’un arbre.
a) la probabilité d’obtenir un objet rouge est :
0,7
0,25
0,45
b) la probabilité d’obtenir une pièce de monnaie, sachant que
ce n’est pas une bille est :
0,4
0,2
0,1
c) la probabilité d’obtenir une bille sachant que c’est un objet
rouge est :
0,4
0,5
0,1
2° Dans ce sac, on prélève un objet, on note sa nature (bille,
jeton ou pièce) et sa couleur, puis on le remet dans le sac.
On prend ainsi 4 objets.
a) La probabilité d’obtenir 4 pièces est :
0,8
0,032
0,0016
c) La probabilité de n’obtenir aucun jeton est :
0,7
0,9919
0,2401
75
Q.C.M. Statistique et loi Binomiale
Le diagramme en boîte ci-dessous donne la répartition des
salariés d’un secteur de l’industrie en France, suivant leur
salaire mensuel.
Le décile 1 est D1 = 900 et le décile 9 est D9 = 3 000 .
On admet que le nombre de salariés étant très grand, on
peut dire que 10 % des salariés ont un salaire inférieur à
900 € et 90 % ont un salaire supérieur à 900 € .
On peut faire des lectures analogues pour les autres paramètres du diagramme en boîte.
900 1100
D9
1400
1900
3000
Trouver la seule bonne réponse.
1° Le salaire médian est :
le salaire de la moitié des salariés
le milieu entre 800 € et 4 500 €
1 400 €
b) Résoudre avec soin l’inéquation 1 – 0,55 n 0,9999 .
En déduire le nombre de pièces à choisir pour que cette
probabilité Pn dépasse 0,9999 .
supérieur au salaire médian
on ne peut pas conclure
3° 10 % des salariés ont :
77
un salaire inférieur à 1 100 €
4500
Probabilités et fonction
Un boulanger a fabriqué 20 petits pains : 10 pains au pavot
et 10 pains aux noix.
Il place x pains au pavot et 10 – x pains aux noix dans un
panier rouge.
Il place 10 – x pains au pavot et x pains aux noix dans un
panier bleu.
un salaire supérieur à 3 000 €
un salaire entre 1 100 € et 1 400 €
4° Le pourcentage de salariés ayant un salaire entre 900 €
et 1 100 € est de :
25 %
15 %
10 %
Son petit fils, Nicolas, prend un pain dans le panier rouge et
le met dans le panier bleu. Surpris par son grand père, il
replace dans le panier rouge un pain pris dans le panier bleu.
5° On choisit, au hasard, trois salariés de l’entreprise.
La probabilité (*) que les trois salariés aient un salaire supérieur à 3 000 € est :
1 3
1 3
1
3×
4
10
10
On désigne par A l’événement : « chacun des paniers
contient les mêmes parts de pains au pavot et aux noix avant
et après la manipulation de Nicolas. »
6° On choisit, au hasard, trois salariés.
La probabilité (*) qu’aucun des salariés n’ait un salaire inférieur à 900 € est :
1 3
0,729
0,001
1– 10
a) Construire un arbre pondéré pour traduire la situation
lorsque x = 4 . Calculer P(A ) .
b) Montrer que, pour tout x de 0 à 10, on a :
7° On choisit n salariés au hasard.
La probabilité (*) qu’au moins un salarié ait un salaire entre
1 100 € et 1 900 € est :
nettement supérieure à 0,5 lorsque n est supérieur ou
égal à 3
supérieure à 0,999 lorsque n est supérieur ou égal à 10
inférieur à 0,5 lorsque n est supérieur à 2
* Le nombre de salariés est assez grand pour que l’on assimile ce
tirage à un tirage avec remise.
76
b) La probabilité d’obtenir un seul jeton est :
0,4116
0,3
0,1029
800 D1
3° a) Déterminer en fonction de n la probabilité Pn pour
que, parmi n pièces, au moins une pièce soit soldée.
inférieur au salaire médian
Probabilité conditionnelle, loi Binomiale et exponentielle
Un grand magasin offre des réductions importantes sur une
partie de son stock, stock formé de trois collections Arli, Bila
et Cali.
La collection Arli représente le quart de son stock en valeur,
la collection Bila en représente le tiers et la collection Cali le
reste.
40 % de la collection Arli est soldée, 75 % de la collection
Bila est soldée et 24 % de la collection Cali est soldée.
Un client se présente et prend totalement au hasard une
pièce du stock.
On note :
S : « la pièce est soldée » ;
A : « la pièce est de la collection Arli » ;
de même pour B et C .
1° a) À l’aide d’un arbre de probabilité, démontrer que la
probabilité pour qu’une pièce soit soldée est p = 0,45 .
– 2x 2 + 20x + 10
P(A) = .
110
—
c) Résoudre l’inéquation P(A ) P ( A ) .
Pour quelle valeur de x, Nicolas a-t-il le plus de chance que
son grand père ne se soit pas rendu compte de sa manipulation ?
d) Pour quelle valeur de x , P (A ) est-elle maximale ?
type BAC
type BAC
6. EXERCICES DE SYNTHÈSE
78
Répartition, indépendance et probabilités conditionnelles
Dans un lycée qui ne reçoit pas d’interne, la répartition des
895 élèves se fait de la façon suivante :
niveau
Seconde
externes
50
demi-pensionnaires
285
Première Terminale Total
85
195
220
total
280
1° Recopier et compléter le tableau ci-dessus.
2° On rencontre un élève du lycée au hasard. On note :
E l’événement : « l’élève rencontré est externe »,
S l’événement : « l’élève rencontré est en Seconde »,
et T l’événement : « l’élève rencontré est en Terminale ».
En supposant que tous les élèves ont la même probabilité
d’être rencontrés, calculer les probabilités suivantes
arrondies à 10 – 2 :
—
a) P(E S) ;
b) P ( E T ) .
b) En déduire la probabilité qu’une pièce soit de la collection
Bila, sachant qu’elle est soldée.
3° a) Les événements E et T sont-ils indépendants ?
Justifier la réponse.
2° On prend 3 pièces au hasard, de façon indépendante les
unes des autres.
Déterminer la probabilité qu’une seule pièce soit soldée.
On utilisera un arbre.
b) Citer deux événements incompatibles.
4° Calculer les probabilités conditionnelles suivantes :
—
b) PE (T ) .
a) PS ( E ) ;
134
135
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
PREPA BAC
PREPA BAC
1. POUR ÊTRE AU POINT LE JOUR DU BAC
Question
2. POUR S’EXERCER
Comment faire ou rédiger ?
Avec un tableau à double
entrée donné, calculer :
P (A B)
Q.C.M. ET VRAI-FAUX ?
Dans le cas où on choisit un individu au hasard , on demande de calculer la probabilité que
l’individu présente les deux caractères A et B
On regarde à l’intersection de la ligne A et de la colonne B du tableau
En utilisant les données
de l’énoncé :
trouver P(A) et PA (B) .
Calculer P (A B)
« Trouver » indique une lecture en terme de probabilité de l’énoncé :
PA (B) signifie « probabilité de B sachant que A est réalisé (si on a A) »
Vu les données
P(A B) = P(A) × PA (B)
L’énoncé présente souvent une répartition en parties A1 , A2 , A3, ..., et, pour chacune
de ces parties, donne la fréquence d’un caractère B
On dresse alors un arbre pondéré
Voir cours, p. 114
On calcule P(B) par la formule des probabilités totales
Traduire l’énoncé à l’aide
d’un arbre de probabilité et
calculer P(B)
On choisit, au hasard, un
individu réalisant B .
Calculer la probabilité qu’il
réalise A1 sachant B réalisé
Cette question est posée quand on a déjà calculé la probabilité de B . On demande ici de
calculer la probabilité conditionnelle de A1 sachant que B est réalisé :
P (A1 ) × PA1 (B)
P (A1 B)
= PB (A1 ) = P(B)
P (B )
Établir une loi de probabilité sur E et calculer son
espérance
On établit la probabilité pi de chaque élément xi de E
Voir Faire le point pour l’interprétation, p. 122
L’espérance est m = Σ (pi × xi )
On choisit n individus au
hasard et de façon indépendante.
On s’intéresse au nombre X
de fois où on obtient B
Donner la loi de probabilité
de X
E = {x1 ; x 2 ; …; xn } est alors un ensemble de nombres : gains, coûts…
On trouve aussi : on admet que l’expérience est assimilée à un tirage avec remise
Cela signifie que l’on a une répétition de n épreuves de BERNOULLI, identiques et indépendantes ; le « succès » étant « obtenir B » de probabilité p
X suit alors une loi binomiale de paramètres (n ; p)
La probabilité d’obtenir une liste composée de k succès est p k × q n – k , obtenue en appliquant le principe multiplicatif
On dresse un arbre à n niveaux pour déterminer le nombre de listes présentant k succès
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VRAI ou FAUX. Corriger si la réponse est fausse
Dans un groupe de 20 personnes, 15 sont parties en vacances, dont 8 au bord de la mer, 12 habitent la région parisienne, parmi celles-ci 9 sont parties en vacances.
a) La probabilité qu’une personne ne soit pas partie en
1
vacances est de .
4
b) La probabilité qu’une personne soit partie en vacances
sachant qu’elle habite la région parisienne est de 0,75.
type BAC
ANALYSE DE L’ÉNONCÉ
Un magasin de jardinage fait une promotion sur une
table de jardin et son lot de 4 chaises.
Après une semaine de promotion, on a pu établir que 10 %
des personnes entrant dans le magasin achètent une table.
Parmi les personnes qui achètent une table, 80 % achètent
les chaises.
Parmi les personnes qui n’achètent pas de table, 10 %
achètent les chaises.
Une personne entre dans le magasin. On note :
T : « la personne achète une table » ;
C : « la personne achète le lot de 4 chaises ».
Lire au moins jusqu’à la première question pour savoir de quoi on
parle et connaître les lettres employées pour les événements.
Ne pas anticiper sur les questions et les suivre avec soin.
Si un pourcentage est donné dans l’énoncé, toujours se
poser la question « quel est l’ensemble de référence sur
lequel porte ce % ? ».
« Parmi les personnes… » signifie que l’on a une fréquence
conditionnelle.
2° a) Calculer la probabilité que la personne achète un lot de
chaises.
b) Calculer la probabilité que la personne n’achète pas de
table, sachant qu’elle a acheté les chaises.
3° Quatre personnes entre dans le magasin. Calculer la
probabilité qu’au moins une personne achète l’ensemble
table-chaises.
–1
0
1
2
pi
0,4
0,3
0,2
0,1
a) l’espérance est 0,5 ;
b) le jeu est équitable ;
c) l’écart type est 1 ;
d) V = 2 .
82
Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses.
1° On répète deux fois une expérience de BERNOULLI dont la
probabilité de succès est 0,3 .
La probabilité d’obtenir un seul succès est 0,5
d) La probabilité pour qu’une personne soit de la région parisienne sachant qu’elle est partie en vacances est de 0,6 .
e) Au moins une personne de la région parisienne est partie
en vacances au bord de la mer.
81
La probabilité d’obtenir deux succès est 0,6
2° Un artisan fabrique 60 % de bagues en perles (B ) , les
autres sont en argent (A).
Chaque type de bague est proposé en deux tailles 0 ou 1 .
Parmi les bagues en perles, 30 % des bagues sont de taille
1 et 50 % des bagues en argent sont de taille 0 .
Les événements O : « être de taille 0 » et A : « être en
argent » sont indépendants
P(A O) = 0,5 et P(B O) = 0,7
VRAI ou FAUX.
1° A et B sont deux événements indépendants .
1
1
7
P(A) = et P(B) = , donc P(A B) = .
5
10
25
On choisit une bague au hasard, la probabilité d’obtenir
une bague de taille 1 est 0,38
On choisit une bague de taille 1 , la probabilité qu’elle soit
en argent est 0,2
Voir application F, p. 119
ÉNONCÉ
1° Traduire par un arbre pondéré la situation. Donner PT (C) .
xi
La probabilité d’obtenir au moins un succès est 0,51
c) La probabilité qu’une personne du groupe soit partie en
8
vacances au bord de la mer est de .
15
2
2° Montrer que la probabilité de E est .
3
EXERCICES type BAC
79
2° La loi de probabilité
des gains d’un jeu est
définie par :
1° L’étude statistique permet d’établir les probabilités.
La première phrase donne P(T ) = 0,1 .
PT (C) est la probabilité que la personne achète les chaises,
sachant qu’elle a acheté la table.
—
2° a) P (C) = P (C T ) + P (C T ) .
Voir —
b) On demande PC (T ) .
Voir 3° On peut penser que les personnes entrent de façon indépendante les unes des autres. On a alors répétition de 4
épreuves de BERNOULLI de paramètre p = 0,08 = P(T C).
On utilise l’événement contraire « aucune personne
n’achète l’ensemble table-chaises » .
La probabilité cherchée est 1 – (1 – 0,08) 4 .
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Une boîte de jeu est constituée de questions portant sur
les deux thèmes Cinéma ou Musique.
Cette boîte contient un tiers de questions portant sur le
thème Cinéma, les autres portant sur le thème musique.
Le candidat s’appelle Pierre.
Partie A.
On pose à Pierre une question choisie, au hasard, dans la
boîte et on sait que :
• la probabilité que Pierre réponde correctement à une ques1
tion « Cinéma » est ;
2
• la probabilité que Pierre réponde correctement à une ques3
tion « Musique » est .
4
On note :
C : « la question porte sur le Cinéma » ;
M : « la question porte sur la Musique » ;
E : « Pierre répond correctement à la question posée ».
1° Déterminer la probabilité de l’événement :
« la question posée porte sur le thème « Musique » et Pierre
y a répondu correctement ».
3° On suppose que Pierre n’a pas répondu correctement à la
question posée.
Quelle est la probabilité pour que la question posée ait porté
sur le thème « Cinéma » ?
Partie B.
En fait, le jeu se déroule de la façon suivante :
on pose à Pierre une première question (selon les modalités
vues en A.) et il marque 5 points s’il répond correctement et
le jeu s’arrête.
Sinon, on lui pose une deuxième question, choisie indépendamment de la première, et il marque 2 points s’il répond
correctement et le jeu s’arrête.
Sinon, on lui pose une troisième question et il marque 1 point
s’il répond correctement.
Sinon, le jeu s’arrête et il ne marque aucun point.
À chaque fois qu’une question est tirée, on remet dans la
boîte une question portant sur le même thème.
1° Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
2° Définir la loi de probabilité du nombre de points marqués
par Pierre.
3° Calculer l’espérance mathématique du nombre de points
marqués par Pierre.
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CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
CHAPITRE 5 - LOI DE PROBABILITÉ. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
TRAVAUX
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Deux
modélisations
différentes pour
la probabilité
du même
événement
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Paradoxe
Un parc d’attraction propose une promenade en
barque. Trois barques B1 , B2 et B3 , de deux
places sont proposées aux visiteurs.
2° On numérote maintenant les six places disponibles dans les trois barques :
B11 , B12 , B21 , B22 , B31 et B32 .
1° Deux personnes entrent dans ce parc et choisissent, au hasard, un numéro de barque.
Chaque personne choisit le numéro de sa place
parmi les six numéros proposés.
a) Construire un arbre traduisant la situation.
a) Construire un arbre traduisant la situation.
b) Quelle est la probabilité que les deux personnes
soient dans la même barque.
b) Quelle est la probabilité que les deux personnes
soient assises dans la même barque ?
Le test de dépistage
Un test de dépistage d’une maladie réagit positivement pour 99 % des individus malades et 1 % des
individus non malades. On note :
M : « l’individu est malade »
et T : « l’individu réagit positivement au test ».
Note :
on appuiera le
raisonnement
sur un arbre
pondéré
1° On suppose que, à un instant, la probabilité pour
qu’un individu soit atteint de cette maladie est 0,05 .
—
a) Calculer les probabilités P(M T ) et P ( M T ) .
En déduire P(T ) .
b) Déterminer la probabilité qu’un individu soit non
malade, sachant que le test est positif.
2° On suppose que la probabilité qu’un individu soit
atteint de cette maladie est p .
où p est la probabilité qu’un individu soit atteint par
cette maladie.
b) Étudier le sens de variation de cette fonction.
La représenter dans un repère orthonormal, d’unité
10 cm , pour p [0 ; 0,5] .
86
La chaîne de supermarché BAPRI lui
propose de fabriquer des pizzas sous
la marque BAPRI , vendues dans
perte de
toutes leurs surfaces de vente, avec
– 10 % – 15 % – 20 %
marché
une marge bénéficiaire de 0,3 € , tout
GEL
en conservant sa propre marque.
gain de
La société GEL sait que l’apparition
marché
+ 30 % + 45 % + 60 %
de cette nouvelle marque lui fait perdre
BAPRI
une partie de son marché. Mais le
nouveau marché est estimé au triple
probabilité
0,3
0,5
0,2
de ce que perd la société GEL .
Si la société GEL accepte, elle sait qu’elle perd 10 % de
son marché, avec une probabilité de 0,3 , ou 15 % de
son marché, avec une probabilité de 0,5 , ou 20 % de
son marché, avec une probabilité de 0,2 .
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C2
C3
b) Étudier le sens de variation de cette fonction.
La représenter dans le repère précédent.
c) On estime un test convenable si cette probabilité
est inférieure à 5 % .
Pour quelles valeurs de p ce test est-il convenable ?
Commenter.
Aide à la décision
Une société GEL produit des plats surgelés,
entre autres une pizza qu’elle fabrique à
500 000 exemplaires par an.
Sa marge de bénéfice sur cette pizza est de 1 € .
C1
3° Pour une autre maladie, un test de dépistage
réagit positivement à 100 % sur les individus
malades et 5 % sur les non malades.
a) Démontrer que la probabilité que l’individu ne soit
pas atteint par cette maladie sachant que le test est
positif est donnée par :
1–p
f (p) = ;
19p + 1
99p
a) Montrer que PT (M) = .
98p + 1
cas
c) Déterminer pour quelles valeurs de p , on a :
PT (M) 0,9 .
Interpréter concrètement par une phrase le résultat.
Les pertes et gains de marché
donnés dans le tableau.
sont
1° a) Dans le cas C1 , calculer le nombre de
pizzas GEL et le nombre de pizzas BAPRI
prévues, et en déduire le bénéfice B1 .
b) Procéder de même pour le bénéfice B2 et le bénéfice B3 , pour les cas C2 et C3 .
c) Calculer l’espérance de bénéfice si la société GEL
accepte de produire des pizzas BAPRI , et comparer au
bénéfice obtenu en gardant les 500 000 habituelles.
2° La société GEL , ayant appris qu’un concurrent risque
d’accepter le marché, cherche à négocier avec BAPRI un
prix de 0,35 € de marge par pizza.
a) Calculer la nouvelle espérance de bénéfice.
b) Quelle est alors la perte de bénéfice pour BAPRI
par rapport à la proposition précédente ?