2 - Monsieur CHAPON

2e
Équation est issu du latin aequus, « égal » : c'est une égalité contenant des lettres qui représentent des nombres
inconnus. Et ce qui est extraordinaire dans la résolution de certains problèmes, c’est l’efficacité que peut donner le
simple remplacement d’un nombre inconnu par une lettre…
ÉQUATION
VOCABULAIRE
Une équation pose une question. Par exemple, l'équation 12 x 236 x =186 x pose la question suivante : "Pour quelles valeurs de
x a-ton égalité entre 12 x 236 x et 186 x ?". Ces valeurs de x sont appelées les solutions de l'équation.
Par exemple, vérifions si 5 est solution de cette équation . Calculons pour cela séparément les deux membres et vérifions s'ils sont
égaux ou pas. Le membre de gauche est égal à 12×5 236×5=480 et le membre de droite est égal à 186×5=48 :
5 n'est donc pas solution de cette équation.
Vérifions maintenant si 0,5 est solution : 12×0,5 236×0,5=21 et 186×0,5=21 . Donc 0,5 est une solution.
Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions. Par exemple, 0,5 est une solution de l'équation
12 x 236 x =186 x mais ce n'est peut être pas la seule... Cette équation n'est donc peut être pas encore résolue !
RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ
Deux équations sont dites équivalentes lorqu'elles ont les mêmes solutions.
Pour résoudre une équation, il suffit de respecter les deux propriétés suivantes :
➢ Si on additionne ou ou soustrait un même nombre aux deux membres d'une égalité, alors l'égalité est conservée :
A=B ⇔ AC = BC ⇔ A=B ⇔ A – C= B – C .
➢ Si on multiplie ou on divise les deux membres d'une égalité par un même nombre non nul, alors l'égalité est conservée :
A B
= .
Si C≠ 0, alors A=B ⇔ AC =BC ⇔ A=B ⇔
C C
Pour résoudre une équation du premier degré, il faut isoler les termes en x dans un des membres et les termes sans partie littérale dans
l'autre membre.
Exemple : résolvons l'équation :
6 x3 5 – 3 x
=
:
4
5
4 5 – 3 x 
;
5
on multiplie les deux membres par 5 afin d'enlever le dénominateur 5 : 56 x3=45 – 3 x  ;
on développe les deux membres : 30 x15=20 – 12 x ;
on ajoute 12 x aux deux membres afin de ne plus avoir de terme en x à droite : 42 x15=20 ;
on soustrait 15 aux deux membres afin d'isoler le terme en x à gauche : 42 x=5 ;
5
on divise les deux membres par 42 afin de déterminer x : x =
.
42
on multiplie les deux membres par 4 afin d'enlever le dénominateur 4 : 6 x 3=
{ }
5
.
42
Remarque : certaines équations n'apparaissent pas du premier coup d'oeil comme une équation du premier degré mais peuvent
s'y ramener. Par exemple, dans l'équation 4 x1 2 =516 x 2 , les termles en x 2 s'annulent :
4 x12 =516 x 2 ⇔ 16 x 2 8 x1=516 x 2 ⇔ 8 x1=5 .
L'ensemble S des solutions est donc : S =
RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU TYPE A2 =b
AVEC
b∈ℝ
Trois cas sont possibles selon la valeur de b :
2
➢ si b est strictement négatif, alors l'équation n'a pas de solution puisqu'un carré est toujours positif : A 0 est impossible.
2
➢ si b est nul alors A=0 puisque le seul nombre dont le carré est nul est 0 : A =0 ⇔ A=0 .
➢ Si b est strictement positif alors A peut prendre deux valeurs :
b
et –  b : A 2=b ⇔
{
A=  b
ou
.
A=–  b
Exemple : résolvons l'équation 3 x – 22=25 . Ici b est égal à 25 et nous sommes donc dans le cas où b est strictement
positif. On a donc 3 x – 22=25 ⇔
Lycée Victor Hugo
{
7
x=
3 x= 7
3 x – 2=  25=5
7
3
ou
⇔ ou
⇔
. On a donc : S = – 1;
.
3
ou
3
x=–
3
3 x – 2=–  25=– 5
x=– 1
{
{
{ }
M. CHAPON
Remarque : certaines équations ne sont pas sous la forme A2 =b mais peuvent facilement s'y ramener. Par exemple :
5
2
7 3 – 5 x 25=0 ⇔ 7 3 – 5 x 2=−5 ⇔ 3 – 5 x =− . On est ici dans le cas b<0 et donc S =∅ .
7
RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU TYPE A2 = B2
➢ Deux nombres qui ont le même carré sont soit égaux soit opposés :
{
{
A= B
.
A2 =B 2 ⇔ ou
A=– B
Exemple : résolvons l'équation 3 x – 22=5 x 22 :
{
{
{
{
3 x – 2= 5 x2
3 x – 2= 5 x2
– 2=2 x2
– 4=2 x
x=– 2
⇔ ou
⇔ ou
⇔ ou
⇔ ou
3 x – 22=5 x 22 ⇔ ou
3 x – 2=– 5 x 2
3 x – 2=– 5 x – 2
8 x – 2= – 2
8 x= 0
x= 0
On a donc : S ={−2; 0} .
RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION PRODUIT NUL
Une équation produit nul est une équation du type A×B=0 .
➢ Un produit étant nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, on a :
A×B=0 ⇔
{
A=0
ou .
B=0
Exemple : résolvons l'équation 5 x –2710x =0 :
{
{
{
5 x – 2=0
5 x= 2
x= 0,4
5 x – 2710 x=0 ⇔ ou
⇔ ou
⇔ ou
. On a donc S ={ – 0,7;0,4 } .
710 x=0
10 x=– 7
x=– 0,7
Remarque 1 : la méthode de résolution est exactement la même si l'équation produit nul contient plus de deux facteurs.
Remarque 2 : certaines équations ne sont pas sous la forme A×B=0 mais peuvent s'y ramener en rendant nul l'un des
membres et en factorisant l'autre. Par exemple : 3 x 2 x – 4=4 x 2 – 16 ⇔ 3 x 2 x – 4=2 x – 4 2 x 4  ⇔
3 x 2 x – 4 – 2 x – 42 x 4=0
2 x – 4 [ 3 x – 2 x4 ]=0
2 x – 4 [ 3 x – 2 x−4 ]=0
⇔
⇔
⇔
2 x – 4  x – 4=0 .
RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION QUOTIENT NUL
Une équation quotient nul est une équation du type
A
=0 .
B
➢ Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul mais n'oublions pas que le dénominateur ne peut quant à lui pas être
nul (ceci interdit à x de prendre certaines valeurs appelées valeurs interdites). On a donc :
{
A
A=0
=0 ⇔
.
B
B ≠0
3 –5 x
=0 .
7 4 x
Le dénominateur doit être non nul : 74 x ≠0 ⇔ 4 x≠– 7 ⇔ x ≠– 1,75 .
Le numérateur doit être nul : 3 – 5 x =0 ⇔ 3=5 x ⇔ x =0,6 .
0,6 n'étant pas une valeur interdite, l'ensemble S des solutions est S ={0,6 } .
Exemple : résolvons l'équation
A
=0 mais peuvent s'y ramener en rendant nul l'un des membres
B
3
7
=
=0 .
et en transformant l'autre membre en un quotient : résolvons par exemple l'équation
2x–2 9x –9
2 x – 2≠0
Il faut que les deux dénominateurs soient non nuls :
⇔ x≠1 . Dans ce cas, on a :
9 x – 9≠0
39 x – 9
7 2 x – 2
3
7
3
7
–
=0
=
−
=0 ⇔
⇔
2x–2 9x –9
2x–2 9x –9
 2 x – 2 9 x – 9 2 x – 2 9 x – 9
27 x – 27 – 14 x – 14
13 x – 13
=0 ⇔
=0 ⇔ 13 x – 13=0 ⇔ 13 x=13 ⇔ x =1 .
⇔
2
x
– 2 9 x – 9
2 x – 29 x – 9
Remarque : certaines équations ne sont pas sous la forme
{
Comme 1 est une valeur interdite, on a donc S =∅ .
Lycée Victor Hugo
M. CHAPON