Cours de M2R d`Introduction à la Géométrie

Georges COMTE
G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE

Georges COMTE
Laboratoire de Math´ematiques de l’Universit´e de Savoie, UMR CNRS 5127,
Bˆatiment Chablais, Campus scientifique, 73376 Le Bourget-du-Lac cedex, France.
E-mail : [email protected]
Url : http://gc83.perso.sfr.fr/
25 janvier 2016

G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE
Georges COMTE

TABLE DES MATI` ERES
1. Introduction .......................................................... 7
1.1. Introduction g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Ensembles ordonn´es .................................................. 7
1.3. Anneaux .............................................................. 8
1.4. Corps ................................................................ 13
1.5. Topologie ............................................................ 14
2. Vari´et´es alg´ebriques .................................................. 17
2.1. Les ensembles alg´ebriques affines et la topologie de Zariski . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Id´eal d’un ensemble alg´ebrique affine et Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Composantes irr´eductibles d’un ensemble alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Fonctions r´eguli`eres d’un ensemble alg´ebrique affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5. Espaces annel´es et morphismes d’espaces annel´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6. Vari´et´es alg´ebriques affines et vari´et´es alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Le langage de la th´eorie des mod`eles .............................. 55
3.1. Structures et Langages ................................................ 55
3.2. Interpr´etation des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. La th´eorie des corps r´eels clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4. La th´eorie des corps alg´ebriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4. Dimension .............................................................. 83
5. Sch´emas ................................................................ 85
5.1. Le spectre SpecRd’un anneau R...................................... 85
5.2. L’espace topologique SpecR.......................................... 87
5.3. L’espace localement annel´e SpecR.................................... 92
6. Cohomologie des faisceaux .......................................... 97
Bibliographie .............................................................. 99