Chapitre 1 Trigonométrie

Chapitre 1
Trigonométrie
1.1. Quelle est la mesure en degrés d’un angle de
tour complet cet angle correspond-il ?
Correction. 18°,
1
ème
20
π
10
radians ? À quelle fraction d’un
de tour
1.2. Soit ABC un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm, et B̂ =
Représenter la situation, et déterminer les longueurs AC et BC.
Correction. AC =
√
5 3
3
; BC =
π
rad.
6
√
10 3
3
1.3. Si ABC est rectangle en A, que AB vaut 5 unités, BC vaut 6 unités, que vaut AC
? Quelle est la mesure de l’angle Ĉ ?
Correction. arcsin( 65 ) = 0,985... rad ou 56,44°
1.4. On donne un trapèze ABCD, où AB est de longueur 3, AD est de longueur 5 et
CD de longueur 6. Notons O l’intersection entre les diagonales BD et AC. Sachant que
les côtés AB et AD d’une part, et AD et DC d’autres part sont perpendiculaires, quelle
[ ?
est la mesure de l’angle BOA
Correction.
π
2
− arctan
5
3
+ arctan
6
5
= 1, 416... rad ou 81,16°
1.5. Soit ABC un triangle ; on donne BC = 25, AC = 36 et B̂ = 72°.
• Déterminer le troisième côté et les deux autres angles en degrés.
• Déterminer la mesure de B̂ en radians (sans calculatrice !)
Correction. AB=34,77 ; Â = 0,72 rad ; Ĉ = 1,16 rad ; B̂ =
2π
5
rad
\ = 42°, Â = 105°, B̂ = 36° et AB = 300 m.
1.6. Sur la figure, on donne les angles CAH
On demande de déterminer la longueur CH sachant que l’angle dessiné en H est droit.
1
2
CHAPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE
Correction. On a les relations suivantes (le point d’interrogation dénote une quantitée
non donnée dans l’énoncé) :
\ = CH?/CA?
sin(CAH)
sin(B)/CA? = sin(C?)/AB
C? = 180 − A − B
(sinus dans un triangle rectangle)
(loi des sinus)
(somme des angles d’un triangle)
Dès lors :
\ sin(B)AB/ sin(180° − A − B)
CH? = sin(CAH)
= sin(42°) sin(36°)300 m/ sin(39°)
= 187.49 m
1.7. Des naufragés abordent les côtes d’une île de l’Atlantique Sud, balayées par le vent.
La plage est bien dégagée et recouverte de galets, mais une falaise barre le chemin vers
l’intérieur de l’île où ils espèrent trouver du secours. Avant de se préparer pour l’escalade
de cette falaise, un membre de l’équipage se propose d’en mesurer la hauteur. Pour cela,
il plante une perche bien droite de 3 m de longueur, à une distance de 150 m de l’aplomb
de la falaise. Ainsi fait, après avoir vérifié que la perche est bien perpendiculaire au plan
de l’horizon, il recule de 5m, distance juste nécessaire pour que, couché sur le sol, le rayon
visuel parti de son oeil effleure à la fois l’extrémité de la perche et le sommet de la falaise.
Dessiner une figure, puis calculer la valeur trouvée pour la hauteur de la falaise.
Correction. 93 m
1.8. Deux édifices à toit plat sont distants de 60 m. Du toit du plus petit édifice, qui a
40 m de hauteur, l’angle d’élévation de l’arête du toît du plus grand édifice est de 40°.
Calculer la hauteur du plus grand édifice.
111111111111
000000
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
x
000000
111111
000000
111111
0000111111
1111
000000
000000 h
111111
40 ˚
0000
1111
000000
111111
0000
1111
000000
111111
0000
1111
40 m
000000
1111111111111111111
0000000000000000000
000000000
1111
11111 111111
000000
111111
60 m
Correction. 90.35 m
1.9. À l’aide du cercle trigonométrique, déterminer les nombres suivants (valeur exacte)
en utilisant les symétries adéquates.
3
CHAPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE
5π
6
d. sin
−π
4
e. cos
f. sin
a. cos
b. sin
c. cos
3π
4
Correction.
b. −
c.
√
−π
2
a. −
√
3
2
2
2
√
− 22
7π
3
g. cos
h. cos
−4π
3
i. sin
d. −1
g. −
e.
h.
f.
1
2
√
i.
3
2
5π
4
−7π
6
8π
3
√
2
2
√
− 23
√
3
2
1.10. Déterminer les valeurs exactes des expressions suivantes : arccos(
arctan(1).
√
3
),
2
arcsin(
√
3
),
2
Correction. π/6, π/3, π/4.
1.11. Simplifier l’expression cos(arcsin(x)).
Correction. arcsin prend ses valeurs dans [−π/2, π/2]. Le cosinus y est toujours positif,
dès lors
q
√
cos(arcsin(x)) = 1 − sin2 (arcsin(x)) = 1 − x2
pour x ∈ [−1, 1]
1.12. Trouver les valeurs exactes possibles de cos θ et tan θ sachant que sin θ =
reporter les arcs correspondants sur un cercle.
7
,
16
puis
√
√
Correction. cos θ = ± 3 1623 ; tan θ = ± 7 6923
1.13. Pour calculer la distance OA entre deux points situés sur les rives opposées d’un
fleuve, on définit le long d’une des rives un segment BC de 300 m, passant par O avec OA
perpendiculaire à BC. En mesurant les angles B̂ et Ĉ, on trouve respectivement 67°200
et 53°400 :
A
67°200
B
53°400
O
C
Calculer la valeur des distances AB et AC. En déduire ensuite celle de la distance OA.
Correction. AB = 281, 95 mètres ; AC = 322,96 mètres ; AO = 260,17 mètres
4
CHAPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE
1.14. Démontrer les relations suivantes :
sin4 (a) − cos4 (a) = sin2 (a) − cos2 (a)
= 2 sin2 (a) − 1
1
1
tan2 (a) − tan2 (b) =
−
2
cos (a) cos2 (b)
sin2 (θ) − cos2 (φ)
= 1 − cot2 (θ) cot2 (φ)
sin2 (θ) sin2 (φ)
Correction.
a. sin4 (a) − cos4 (a) = (sin2 (a) − cos2 (a)).(sin2 (a) + cos2 (a)) = (sin2 (a) −
2
cos (a)).1 = sin2 (a) − cos2 (a) = sin2 (a) − (1 − sin2 (a)) = 2 sin2 (a) − 1
b. tan2 (a) − tan2 (b) =
1
− cos12 (b)
cos2 (a)
sin2 (a)
cos2 (a)
2
sin (b)
− cos
2 (b) =
2
1−cos2 (a)
cos2 (a)
2
(b)
− 1−cos
=
cos2 (b)
1
cos2 (a)
sin2 (θ) sin2 (φ)−cos2 (θ) cos2 (φ)
sin2 (θ) sin2 (φ)
sin2 (θ)−cos2 (φ)
sin2 (θ)−sin2 (θ) cos2 (φ)−cos2 (φ)+sin2 (θ) cos2 (φ)
= sin2 (θ) sin2 (φ)
sin2 (θ) sin2 (φ)
2
(θ) cos (φ)
=
c. 1−cot2 (θ) cot2 (φ) = 1− cos
sin2 (θ) sin2 (φ)
h
=
− 1 − cos12 (b) + 1 =
sin2 (θ)(1−cos2 (φ))−(1−sin2 (θ)) cos2 (φ)
sin2 (θ) sin2 (φ)
i
1.15. Soit x ∈ − π2 , π2 .
a. Si sin x = − 15 , que vaut la tangente de x ?
b. Si cos x = 31 , quelles sont les valeurs possibles de la tangente de x ?
√
Correction.
√
b. ±2 2
a. − 126
1.16. Représenter les graphes des fonctions l et f définies par l(t) = sin(2t + π) et
f (t) = sin(2t) + π.
Correction.
=