Exercises in Algebra

M1 MATHS
TD ALGÈBRE II
CHRISTOPHE RITZENTHALER
1. Algèbre linéaire
Exercice 1. Soit A∈M3(R)la matrice 
0 1 1
1 0 1
0 0 1
.Calculer le polynôme minimal de
A. En déduire A−1, A3et A5.
Exercice 2. Soient Eun espace vectoriel de dimension n≥2et fun endomorphisme
de Ede rang 1. Montrer que le polynôme minimal de fest de la forme X(X−λ).
Exercice 3. Soit uun endomorphisme d’un k-espace vectoriel de dimension finie.
(1) Montrer que λest une racine de χusi et seulement si λest une valeur propre de
u.
(2) En déduire que χuet µuont les mêmes racines.
(3) Montrer alors que uest bijective si et seulement si µu(0) 6= 0.
Exercice 4. Soient (P, Q)∈k[X]2unitaires. Montrer que si P|Qet Pet Qont même
ensemble de racines alors il existe une matrice à coefficients dans kayant Pcomme
polynôme minimal et Qcomme polynôme caractéristique. On pourra commencer par
décomposer Pet Qen polynômes irréductibles sur k.
Exercice 5. Montrer que les endomorphismes uet tuont mêmes polynômes caractéris-
tiques et polynômes minimaux.
Exercice 6. Soit u, v deux endomorphismes d’un k-espace vectoriel Ede dimension finie
qui commutent.
(1) Montrer que ker vet Im vsont stables par u.
Soit maintenant Q∈k[X]. On souhaite montrer que pgcd(Q, µu) = µu,ker(Q(u)).
(2) Montrer que pgcd(Q, µu)est divisible par µu,ker(Q(u)).
Soit alors D= pgcd(Q, µu),Rtel que D=Rµu,ker(Q(u)) et Stel que µu=SD. On
souhaite montrer que R= 1.
(3) Montrer que ker Q(u) = ker D(u).
(4) Montrer que ker D(u)⊂ker µu,ker(Q(u))(u).
(5) Montrer que µu(u) = 0 implique Im S(u)⊂ker D(u).
(6) En déduire que µu,ker(Q(u)) ·Sannule uet conclure.
Exercice 7. Soit uun endomorphisme linéaire. Que peuvent valoir µuet χuquand
(1) u2= 1;
(2) u2=u;
(3) uest nilpotent;
(4) uest un bloc de Jordan ?
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2. Algèbre linéaire (suite)
Exercice 8. Soit Eun espace vectoriel réel de dimension 4. Soit:
U=
1 0 0 0
−1 4 1 −2
2 1 2 −1
1 2 1 0
la matrice d’un endomorphisme ude Edans la base canonique de E.
(1) Calculer le polynôme caractéristique de u. Déterminer les sous-espaces propres
E1et E2. Pourquoi uest-il non diagonalisable? Est-il triangularisable ?
(2) Déterminer les sous-espaces caractéristiques F1et F2. Pour k= 1,2, donner
l’ordre βkdu nilpotent (u−λk.idE)|Fk(λ1= 1,λ2= 2).
(3) Si v∈F2et v /∈ker(u−2.idE)β2−1, montrer que f1= (u−2.idE)β2−1(v),f2=
(u−2.idE)β2−2(v), ..., fβ2=vforment une base de F2.
(4) On note f={f1, . . . , f4}la complétée de la base précédente par une base de F1.
Vérifier que T= [u]f
fest de Jordan.
(5) Décomposer Tsous la forme D+N, où Dest diagonale, Nest nilpotente, et
DN =ND. Calculer T5.
Exercice 9. Réduire sous la forme de Jordan les matrices suivantes :
−110
1 1 2
1−1 0
,
4 0 0 0
0 0 1 0
0 1 2 2
0 1 −1 1
,
3−1 1 −7
9−3−7−1
0 0 4 −8
0 0 2 −4
.
Exercice 10. Soit uun endomorphisme d’invariants de similitude
P1= (X−1), P2= (X−1)2(X−2)2, P3= (X−1)2(X−2)4(X−3)
donner sa forme de Jordan.
Inversement étant donné la forme de Jordan
J2(1), J1(1), J3(2), J3(2), J1(2)
donner ses invariants de similitude.
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3. Modules
Exercice 11. Soit Mun A-module. Montrer que 0.m = 0 puis que (−1).m =−m.
Exercice 12. Soit Mun A-module et Nun sous-module. Montrer que l’ensemble des
a∈Atel que am ∈Npour tout mest un idéal de A.
Exercice 13. La réunion de deux sous-modules n’est en général pas un sous-module.
Donner un contre-exemple dans le cadre des espaces-vectoriels.
Soit V1, V2, V3les sous-ensembles de (x, y)∈Z2tels que xest pair, resp. x+yest pair,
resp. yest pair. Montrer que ce sont des sous-Z-modules de Z2, distincts de Z2et que
Z2=V1∪V2∪V3.
Exercice 14. Soit Mun A-module et m∈Mun élément dont l’annulateur est réduit à
(0). Montrer l’équivalence de
(1) mA possède un supplémentaire dans M
(2) il existe une forme A-linéaire fsur Mtelle que f(m) = 1.
Montrer qu’alors M=mA ⊕ker f.
Exercice 15. Soit f:M→Nun morphisme de A-modules. Montrer que s’il existe
g:N→Mtel que g◦f=id alors fest injective et Im fadmet un supplémentaire dans
N.
Exercice 16. Soit Aun anneau et Mun A-module. Si m∈M, à quelle condition sur
ann(m)la famille {m}est-elle libre ?
Exercice 17. Soit Aun anneau intègre et Kson corps des fractions. On suppose K6=A.
Montrer que Kn’est pas un A-module libre.
Exercice 18. Donner des exemples
(1) de famille libre à néléments de Anqui ne soit pas une base;
(2) de module sans torsion qui ne soit pas libre;
(3) d’une partie génératrice minimale qui ne soit pas une base;
(4) de sous-module n’ayant pas de supplémentaire;
(5) de module libre ayant un sous-module qui ne l’est pas.
Exercice 19. Montrer qu’un idéal non nul Id’un anneau Aest un sous-module libre de
Asi et seulement si Iest principal et engendré par un élément non diviseur de zéro de
A.
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4. Modules et algèbre linéaire
Soit uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel de dimension finie E. Soit la loi
externe .de K[x]sur Edéfinie par P.x 7→ P(u)(x)pour tout x∈E.
(1) Montrer que (E, +, .)est un K[x]-module. On le note Eudans la suite.
(2) Montrer que les sous-espaces vectoriels de Estables par usont les sous-modules
de E.
(3) Soit u0un autre endomorphisme de E. Montrer que uet u0sont semblables (i.e
u0=fuf−1pour fun automorphisme de E) si et seulement si Euet Eu0sont
isomorphes en tant que module sur K[x].
Étudier les endomorphismes d’espaces vectoriels à similitude près revient donc à étudier
certains modules sur K[x]à isomorphisme près. Commençons par regarder deux exem-
ples.
Soit Pun polynôme unitaire de degré net considérons le K[x]-module K[x]/(P). Ce
module est en particulier un K-espace vectoriel Edont une base est 1, x, . . . , xn−1. Con-
sidérons l’endomorphisme uP:Q7→ x.Q.
(4) Montrer que la matrice de uPdans la base choisie est CP.
Soit uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel E.
(5) Montrer l’équivalence des conditions suivantes :
(a) Le module Euest cyclique (i.e. il existe un idéal I∈K[x]tel que Eu'
K[x]/I);
(b) Le module Euest isomorphe à K[x]/(P)où Pest le polynôme minimal de u;
(c) Il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest la matrice compagnon
du polynôme minimal;
(d) Il existe un vecteur x0∈Etel que hx0iu=E.
On dit alors que uest cyclique. Reprenons l’exemple précédent lorsque P= (x−a)net
choisissons pour base de K[x]/(P)la famille (x−a)n−1,...,(x−a),1.
(6) Montrer que la matrice de uPdans cette base est la matrice Jn(a).
(7) Conclure sur la similitude entre la matrice compagnon de (X−a)net le bloc de
Jordan Jn(a).
On va bien sûr tirer avantage du fait que K[x]est euclidien.
(8) Montrer que uet u0sont semblables si et seulement si Euet Eu0ont même facteurs
invariants.
(9) Notons P1, . . . , Psles facteurs invariants de Eu. Montrer qu’il existe des sous-
espaces stables E1, . . . , Estels que Eu=E1⊕ ··· ⊕ Eset pour tout i,u|Eiest
cyclique de polynôme minimal Pi.
(10) Inversement supposons que usoit une matrice en blocs de matrices compagnons
CPi. Montrer qu’alors les Pisont les facteurs invariants de Euet conclure à
l’unicité des invariants de similitude.
(11) Soit M∈Mn(K). Les invariants de similitude de Msont les facteurs invariants
de la matrice xid −M∈Mn(K[x]).
Regardons des exemples.
(12) Chercher toutes les classes de similitude de matrices de M5(R)dont le polynôme
caractéristique est (X2−2)(X−1)3.
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Soit M1et M2les deux matrices suivantes
M1=
i1 0 0
0i0 0
0 0 −i0
0 0 0 −i
, M2=
i1 0 0
0i0 0
0 0 −i1
0 0 0 −i
.
(13) Trouver les invariants de similitude de M1et M2. Montrer que M2est semblable
à une matrice réelle.
5. Groupes abéliens
Exercice 20. Soit Mle Z-module Z3et soit Nle sous-module engendré par v1=
(2,6,−8) et v2= (−4,4,12). Trouver une base adaptée pour N.
Exercice 21. Soit d≡2,3 (mod 4) un entier relatif, et donc dn’est pas un carré dans
Z. On pose A={m+n√d;m, n ∈Z},un sous-anneau unitaire de C. Si Q≥1et
P∈Zsont deux entiers relatifs tels que Qdivise d−P2, on pose I=QZ+ (P+√d)Z=
{mQ +n(P+√d); m, n ∈Z}.
(1) Montrer que Aest un Z-module libre de rang 2de Z-base {α1= 1, α2=P+√d},
et que Iest un Z-module libre de rang 2de Z-base {β1=Q, β2=P+√d}.
(2) Montrer que Iest un idéal de A(expliquer d’abord pourquoi il suffit de voir que
les quatre produits αiβjsont dans I).
(3) En utilisant les bases précédentes, montrer que le quotient A/Iest fini et donner
son cardinal.
(4) Soi 06=α=m+n√d∈A. Donner une Z-base {γ1, γ2}de l’idéal principal
αA={αβ;β∈A}, écrire la matrice de passage de la Z-base {1,√d}de Aà la
Z-base {γ1, γ2}de αA, et en déduire que A/αAest de cardinal N(α) = |m2−dn2|
(la norme de α).
(5) Montrer que si Iest principal alors il existe α∈Atel que N(α) = Q.
(6) Montrer que si d < −2et d≡2 (mod 4), alors I= 2Z+√−dZest un idéal non
principal de A. (Et d’après l’exercice 19, Iest donc un A-module de type fini qui
n’est pas libre).
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