1 Vocabulaire 2 Opérations élémentaires - lycée Sainte

Lycée Sainte Geneviève
BCPST 1
Chapitre 8 : Systèmes linéaires et matrices.
Première partie : Systèmes linéaires
1 Vocabulaire
Dans tout le chapitre K=Rou C.
Définition 1. Un système linéaire est un système d’équations de la forme :
a1,1x1+a1,2x2+. . . +a1,pxp=b1
a2,1x1+a2,2x2+. . . +a2,pxp=b2
.
.
..
.
..
.
..
.
.
an,1x1+an,2x2+. . . +an,pxp=bn
•Les nombres a1,1, . . . , an,p appartenant à Ksont appelés les coefficients du système.
•Les x1, . . . , xpsont les inconnues. Elles appartiennent aussi à K.
•On dit que le système est homogène lorsque les seconds membres b1, . . . , bnsont tous nuls.
•Une solution du système est un p-uplet (x1, . . . , xp)vérifiant toutes les équations du système.
•Résoudre le système, c’est déterminer toutes ses solutions.
Pour tout i∈J1, nK, la i-ième ligne est notée Li.
Remarques
1. Pour p= 2, chacune des lignes peut-être vue comme l’équation d’une droite dans R2. Résoudre le
système s’interprète alors comme étudier l’intersection de ndroites dans le plan.
2. Pour p= 3, chacune des lignes peut-être vue comme l’équation d’un plan dans R3. Résoudre le
système s’interprète alors comme étudier l’intersection de nplans dans l’espace.
Définition 2. Deux systèmes sont dits équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions.
2 Opérations élémentaires
Définition 3. On définit trois types d’opération sur un système linéaire, qu’on appellera opérations
élémentaires :
•Échange des lignes Liet Lj. On note cette opération : Li↔Lj.
•Multiplication de la ligne Lipar un nombre αnon nul. On note : Li←αLi.
•Ajout de la ligne Ljà la ligne Li. On note : Li←Li+Lj
1

Théorème 1. Les opérations élémentaires transforment un système linéaire en un système équivalent.
Attention Les opérations élémentaires doivent être faites les unes après les autres et pas simultané-
ment sous peine de ne plus obtenir un système équivalent.
3 La méthode du pivot de Gauss
Remarque Pour les systèmes linéaires on préfèrera la méthode suivante appelée « méthode du pivot de
Gauss » plutôt que des substitutions (qui restent utiles pour des systèmes non linéaires).
Définition 4. On dit qu’un système linéaire est échelonné si le nombre de coefficients nuls qui commencent
chaque ligne augmente strictement d’une ligne à la suivante.
L’idée principale de la méthode du pivot de Gauss est de transformer le système linéaire en un système
échelonné équivalent avec des opérations élémentaires, ce dernier système étant plus simple à résoudre.
On peut présenter la méthode sous forme d’un algorithme. On considère un système de néquations (L1, . . . , Ln)
àpinconnues (x1, . . . , xp) :
Pour kallant de 1àmin(n, p)Faire
Si il existe une ligne i≥koù le coefficient de xkest non nul Alors
Lk↔Li
a←coefficient de xksur la ligne Lk(aest donc non nul)
Pour jvariant de k+ 1 ànFaire
b←coefficient de xksur la ligne Lj
Lj←Lj−b
aLk
Fin Pour
Fin Si
Fin Pour
Définition 5. Dans l’algorithme précédent le coefficient non nul achoisi devant la k-ième variable est appelé
pivot.
Remarque Afin de faciliter les calculs on choisira un pivot entier naturel si possible et de plus petite
valeur absolue. Par exemple 1et −1sont d’excellents pivots.
2

4 Description des solutions
Définition 6. On admet que le nombre de pivots nécessaires pour échelonner un système linéaire est
indépendant de la façon de choisir ces pivots.
On appelle rang du système ce nombre de pivots.
Remarque Avec nle nombre de lignes et ple nombre d’inconnues. Le rang du système est toujours
inférieur ou égal au min(n, p).
Une fois notre système échelonné avec la méthode du pivot de Gauss on connaît son rang qu’on note r. On
a alors plusieurs cas :
1. Si r < n et r < p. Alors les n−rdernières équations du système échelonné ne font plus intervenir
les inconnues et sont de la forme 0 = bi. On les appelle conditions de compatibilité. Le système
admet des solutions si et seulement si ces n−rconditions sont satisfaites. Dans ce cas, on dit que le
système est compatible.
Si le système est compatible, on utilise les rpremières équations qu’on « remonte » par substitutions
pour exprimer x1, . . . , xren fonction de xr+1, . . . , xp.
Le système admet alors une infinité de solutions paramétrées par les variables xr+1, . . . , xp.
2. Si n<pet r=n. Le système est alors toujours compatible. Il admet une infinité de solutions qu’on
obtient en remontant le système échelonné par substitutions et qui sont paramétrées par xn+1, . . . , xp.
3. Si p<net r=p. Les n−pdernières lignes du système échelonné sont des conditions de compatibilité.
Si le système est compatible, on détermine x1, . . . , xpen remontant les ppremières lignes par substi-
tution.
Le système admet alors une unique solution.
4. Si r=n=p. Dans ce cas le système est dit système de Cramer. Il est toujours compatible et admet
une unique solution obtenue par remontée.
Proposition 1. Un système linéaire admet 0,1ou une infinité de solutions.
Remarque Dans le cas où le système linéaire admet des solutions on remarquera que l’ensemble de ces
solutions peut toujours être décrit comme une solution particulière du système complet qu’on additionne
avec l’ensemble des solutions du système homogène associé.
3

Deuxième partie : Matrices
5 Définition et opérations
Définition 7.
•On appelle matrice de taille n×pà coefficients dans Ktoute famille de np éléments de K
présentée sous forme d’un tableau A=
a11 a12 . . . a1p
a21 a22 . . . a2p
.
.
..
.
..
.
.
an1an2. . . anp
, noté aussi (aij )1≤i≤n
1≤j≤p
, où aij ∈K
pour tout (i, j)∈J1, nK×J1, pK.
Pour tout (i, j)∈J1, nK×J1, pK, le réel ou complexe aij est appelé coefficient de Ade position
(i, j), la matrice 
a1j
.
.
.
anj
est appelée la j-ième colonne de Aet la matrice (ai1. . . aip)est appelée sa
i-ième ligne.
•L’ensemble des matrices de taille n×pà coefficients dans Kest noté Mnp(K).
•Pour n=pon parle de matrices carrées de tailles net on note plutôt Mn(K)au lieu de Mnn(K).
La famille (a11, a22, . . . , ann)est alors appelée la diagonale de A.
•Pour p= 1, on parle de matrices colonnes de taille net pour n= 1 de matrices lignes de taille p.
•La matrice de taille n×pdont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle et notée 0
(ou encore 0np s’il y a ambiguïté).
Remarque Dans tous les énoncés, les coefficients d’une matrice notée A(en majuscule) seront notés aij
(en minuscule).
Définition 8. Pour toutes matrices (A, B)∈ Mnp(K)2on définit la somme :
A+B=
a11 +b11 . . . a1p+b1p
.
.
..
.
.
an1+bn1. . . ann +bnn
∈ Mnp(K)
Cette addition est une loi associative, commutative. Son élément neutre est la matrice nulle. Toute matrice
A= (aij )admet une opposée −A= (−aij ).
Définition 9. Pour toute matrice A∈ Mnp(K)et tout λ∈Kon définit le produit de Apar le scalaire
λpar :
λA =
λa11 . . . λa1p
.
.
..
.
.
λan1. . . λann
∈ Mnp(K)
Cette multiplication est dite externe. Elle est associative et commutative. Son élément neutre est le scalaire
1K.
4

Définition 10.
Soient A∈ Mpq(K)et B∈ Mqr(K). Le nombre de colonnes de Aest alors égal au nombre de lignes de B.
Dans ce cas on peut définir le produit des deux matrices A×Bcomme étant la matrice appartenant à
Mpr(K)dont les coefficients sont :
∀i∈J1, pK,∀j∈J1, rK,(AB)ij =
q
X
k=1
aikbkj
Attention Contrairement à l’addition et à la multiplication par un scalaire, le produit de 2 matrices
n’est pas toujours défini.
Proposition 2. Propriétés du produit matriciel
•Associativité :
∀A∈ Mnm(K),∀B∈ Mmq(K),∀C∈ Mqr(K),(AB)C=A(BC)
•Bilinéarité :
∀A∈ Mnm(K),∀(B, C)∈ Mmq (K)2,∀(λ, µ)∈K2, A(λB +µC) = λAB +µAC
∀(A, B)∈ Mnm(K)2,∀C∈ Mmq (K),∀(λ, µ)∈K2,(λA +µB)C=λAC +µBC
•Élément neutre : on appelle matrice identité de taille nla matrice carrée de Mn(K)définie par
In=
1 (0)
...
(0) 1
. On a
∀A∈ Mnm(K), InA=AIm=A
Attention
1. Le produit de matrices n’est pas commutatif i.e. :
•quand le produit AB existe, le produit BA peut ne pas exister,
•même si les deux produits AB et BA existent, ils ne sont pas égaux a priori. Ils peuvent même ne
pas être de même taille !
•Si par hasard AB et BA existent et sont égaux, on dit alors que les matrices Aet Bcommutent.
2. Le produit de matrices n’est pas intègre i.e. on peut très bien avoir AB = 0 sans avoir A= 0 ni
B= 0. Cela signifie, par exemple, que AC =BC, n’implique pas du tout A=Bmême si Cn’est pas
nulle.
5