G1. ALGÈBRE COMMUTATIVE. Anneaux, idéaux - IMJ-PRG

Licence STS — mention mathématiques Année 2005/2006
G1. ALGÈBRE COMMUTATIVE.
Anneaux, idéaux
A. CHAMBERT-LOIR, A. DUCROS, D. FERRAND
A. PREMIÈRES DÉFINITIONS
EXERCICE 1
Soit Aun anneau.
1Démontrer que pour tout a∈A, 0a=0 (on dit que 0
est absorbant pour la multiplication).
2Si e∈Aest un élément tel que pour tout a∈A,
ea =ae =a, alors e=1 (unicité de l’élément neutre
pour la multiplication).
3Pour tout a∈A, on a (−1)a=a(−1)= −a.
4Si 1 =0 dans A, alors A= {0}. On dit que Aest
l’anneau nul.
5Pour tout a∈Aet pour tous entiers m,n≥0, on a
am+n=aman.
EXERCICE 2
Dans tout anneau commutatif, la formule du binôme
est valide. Plus généralement, soit Aun anneau et soit
aet b∈Ades éléments tels que ab =ba (on dit que
aet b commutent). Alors, pour tout entier n≥0, on
a
(a+b)n=
n
X
k=0n
kakbn−k.
EXERCICE 3
1Soit Aun anneau. Notons Aole groupe abélien A
muni de la multiplication définie par a•b=ba.
Alors, Aoest un anneau, appelé anneau opposé àA.
2Soit Al’anneau des matrices n×nà coefficients
dans C. Montrer que l’application qui à une matrice
associe sa transposée est un isomorphisme de l’an-
neau Asur l’anneau opposé.
EXERCICE 4
Soit Kun corps commutatif et soit Vun K-espace
vectoriel de dimension finie. Montrer que le centre
de l’anneau EndK(V)est formé des homothéties
x7→ ax, pour a∈K.
EXERCICE 5
Soit Aun anneau et soit Sune partie de A.
1Montrer que l’ensemble des éléments de Aqui com-
mutent à tout élément de Sest un sous-anneau de A.
2Montrer que l’ensemble des éléments a∈Atels que
aS =Sa est un sous-anneau de A.
3Déterminer ces sous-anneaux lorsque Aest l’anneau
des endomorphismes d’un K-espace vectoriel de di-
mension finie et que Sest formé d’un endomor-
phisme diagonalisable.
EXERCICE 6
Soit αun nombre complexe racine d’un po-
lynôme unitaire à coefficients entiers P=
Xd+ad−1Xd−1+ ··· + a0. Montrer que
l’ensemble des éléments de Cde la forme
c0+c1α+ ··· + cd−1αd−1, pour c0,...,cd−1∈Z,
est un sous-anneau de C.
EXERCICE 7
Soient Z[√2] et Z[√3] les sous-anneaux de Cengen-
drés par Z, et respectivement par √2 et √3.
1Montrer que Z[√2] = {a+b√2;a,b∈Z}et que
Z[√3] = {a+b√3;a,b∈Z}.
2Montrer que les seuls automorphismes de Z[√2] sont
l’identité et l’application qui applique a+b√2 sur
a−b√2.
3Montrer qu’il n’existe pas d’homomorphisme d’an-
neaux de Z[√2] dans Z[√3].
4Quels sont les automorphismes de Z[i] ? de Z[3
√2] ?
EXERCICE 8
1Soit Aun anneau et soit (Bi)une famille de sous-
anneaux de A. Montrer que l’intersection des Biest
un sous-anneau de A.
2Soit Aun anneau, soit Bun sous-anneau de Aet Iun
idéal bilatère de A. Soit Rl’ensemble des sommes
a+b, pour a∈Bet b∈I. Montrer que Rest un
sous-anneau de A.
1

EXERCICE 9
Soit Aun anneau et soit Gun groupe. Soit Zle centre
de l’anneau A.
1Si g∈G, on note δgla fonction de Gdans Aqui vaut
1 en get 0 ailleurs. Calculer le produit δg∗δg0dans
l’anneau de groupe A(G).
2Montrer que le centre de l’anneau A(G)est formé
des fonctions f:G→Zde support fini qui sont
constantes sur chaque classe de conjugaison de G.
EXERCICE 10
Un opérateur différentiel sur C[X] est une application
C-linéaire de C[X] dans lui-même de la forme
P7→
n
X
i=0
pi(X)di
d XiP,
où les pisont des polynômes. Montrer que l’en-
semble des opérateurs différentiels, muni de l’addi-
tion et de la composition, sur C[X] est un anneau.
EXERCICE 11
Soit Vun espace vectoriel sur un corps commutatif k.
1Soit (Vi)une famille de sous-espace vectoriels de V
telle que V=LVi. Pour x=Pxi, avec xi∈Vi, on
pose pj(x)=xj. Montrer que pour tout j,pjest un
projecteur de Vd’image Vjet de noyau L
i6=j
Vi. Mon-
trer que pj◦pi=0 si i=6= jet que idV=Ppi.
2Inversement, soit (pi)une famille de projecteurs de V
telle que pi◦pj=0 pour i6= jet idV=Ppi. Soit
Vil’image de pi. Montrer que Vest somme directe
des Viet que piest le projecteur sur Vide noyau la
somme des Vjpour j6= i.
EXERCICE 12. — Automorphismes de Mn(C)
Soit Al’anneau des matrices n×nà coefficients com-
plexes et soit ϕun automorphisme de A. Soit Zle
centre de A; c’est l’ensemble des matrices scalaires.
1Montrer que ϕinduit par restriction un automor-
phisme de Z.
On supposera dans la suite que ϕ|Z=idZ. Notons
Ei,jles matrices élémentaires (pour 1 ≤i,j≤n) et
posons Bi,j=ϕ(Ei,j).
2Montrer que Bi,iest la matrice d’un projecteur pi
de Cn, que pi◦pj=0 si i6= jet que idCn=Ppi.
3En utilisant l’exercice 11, montrer qu’il existe une
base (f1,..., fn)de Cntelle que pisoit le projec-
teur sur Cfiparallèlement au sous-espace vectoriel
P
j6=i
Cfj.
4Montrer qu’il existe des éléments λi∈C∗tels que,
posant ei=λifi, on ait Bi j (ek)=0 si k6= jet
Bi j (ej)=ei. En déduire qu’il existe une matrice
B∈GLn(C)telle que ϕ(M)=BM B−1pour toute
matrice Mde Mn(C).
5Qu’en est-il si l’on ne suppose pas que ϕest l’identité
sur Z?
EXERCICE 13
Soit f:A→Bun homomorphisme d’anneaux.
1Soit Rl’ensemble des couples (a,b)∈A×Atels
que f(a)=f(b). Montrer que R, muni de l’addition
et de la multiplication terme à terme, est un anneau.
2On dit que fest un monomorphisme si pour tout
anneau Cet tout couple (g,g0)d’homomorphismes
d’anneaux de Cdans Atel que f◦g=f◦g0, on a
g=g0.
Montrer qu’un homomorphisme est un monomor-
phisme si et seulement s’il est injectif.
3On dit que fest un épimorphisme si pour tout an-
neau Cet tout couple (g,g0)d’homomorphismes
d’anneaux de Bdans Ctel que g◦f=g0◦f, on a
g=g0.
Montrer qu’un homomorphisme surjectif est un épi-
morphisme. Montrer que l’homomorphisme d’inclu-
sion de Zdans Qest un épimorphisme.
B. ÉLÉMENTS INVERSIBLES, ETC.
2

EXERCICE 14
1Dans un anneau, le produit de deux éléments inver-
sibles à gauche est inversible à gauche. De même à
droite.
2Soit Kun corps commutatif et Al’anneau des en-
domorphismes d’un K-espace vectoriel V. Les élé-
ments de Ainversibles à gauche sont les endomor-
phismes injectifs, les éléments inversibles à droite
sont les endomorphismes surjectifs.
3Donner un exemple d’anneau (non commutatif) et
d’élément qui possède une infinité d’inverses à droite.
EXERCICE 15
Soit Aun anneau fini intègre. Alors, Aest un anneau
à division.
EXERCICE 16
Soit Kun corps commutatif et soit Aune K -algèbre
finie, c’est-à-dire un K-espace vectoriel de dimension
finie muni d’une multiplication qui est K-bilinéaire
qui en fait un anneau. Si Aest intègre, montrer que
c’est un anneau à division. (On dit plutôt algèbre à
division dans ce contexte.)
EXERCICE 17
Soit Aun anneau.
1Soit a∈Aun élément nilpotent. Si n≥0 est tel que
an+1=0, calculer (1+a)(1−a+a2−···+(−1)nan).
En déduire que 1 +aest inversible dans A.
2Soit x∈Aun élément inversible et y∈Aun élé-
ment nilpotent tel que xy =yx ; montrer que x+y
est inversible.
3Si xet ysont deux éléments nilpotents de Aqui
commutent, montrer que x+yest nilpotent. (Si n
et msont deux entiers tels que xn+1=ym+1=0,
on utilisera la formule du binôme pour calculer
(x+y)n+m+1.)
EXERCICE 18
Soit Aet Bdeux anneaux et soit f:A→Bun ho-
momorphisme d’anneaux.
Si a∈Aest inversible, montrer que f(a)est inver-
sible dans B. En déduire que la restriction de fàA×
définit un homomorphisme de groupes (noté encore
f)A×→B×.
EXERCICE 19
1Quels sont les éléments inversibles de Z/nZ, pour
n∈Z?
2Soit net mdes entiers non nuls. Montrer que l’appli-
cation canonique de Z/nmZdans Z/nZest un homo-
morphisme d’anneaux. Montrer qu’il induit une sur-
jection de (Z/mnZ)×sur (Z/nZ)×.
3Exhiber un homomorphisme d’anneaux f:A→B
qui soit surjectif mais tel que l’homomorphisme de
groupes f:A×→B×ne le soit pas.
EXERCICE 20. — Anneau produit
Soit Aet Bdeux anneaux. On munit le groupe abé-
lien A×Bd’une loi interne en définissant pour aet
a0∈A,bet b0∈B,(a,b)·(a0,b0)=(aa0,bb0).
1Montrer que cette loi confère à A×Bune structure
d’anneau. Quel est l’élément neutre pour la multipli-
cation ?
2L’anneau A×Best-il intègre ? Quels sont ses élé-
ments nilpotents ?
3Montrer que les éléments e=(1,0)et f=(0,1)de
A×Bvérifient e2=eet f2=f. On dit que ce sont
des idempotents.
EXERCICE 21
Soit Aun anneau et e∈Aun idempotent.
1Montrer que 1 −eest un idempotent de A.
2Montrer que eAe = {eae ;a∈A}est un sous-
groupe abélien de Aet que la multiplication de Ale
munit d’une structure d’anneau.
3Expliciter le cas particulier où A=Mn(k),kétant un
corps commutatif, et eune matrice de rang r, disons
avec des 1 en début de diagonale et des 0 sinon.
EXERCICE 22
Soit n≥2 un entier. Déterminer les éléments nilpo-
tents et les éléments inversibles de Z/nZ.
EXERCICE 23
Soit Aun anneau, soit aet bdes éléments de Atels
que 1 −ab soit inversible dans A.
1Montrer que 1 −ba est inversible dans Aet calcu-
ler son inverse. (Commencer par le cas où ab est nil-
potent.)
2Si A=Mn(k), où kest un corps commutatif, mon-
trer que ce résultat équivaut au fait que ab et ba ont
même polynôme caractéristique.
3

EXERCICE 24
Soit Aun anneau. Soit aun élément de Aqui possède
un unique inverse à droite. Montrer que aest simpli-
fiable puis que aest inversible.
EXERCICE 25
Soient Kun corps et Aun anneau non nul. Montrer
que tout homomorphisme d’anneaux de Kdans Aest
injectif.
EXERCICE 26
Soit Aun anneau commutatif et f=
a0+a1X+ ··· + anXn∈A[X].
1Montrer que fest nilpotent si et seulement si tous les
aisont nilpotents.
2Montrer que fest inversible dans A[X] si et seule-
ment a0est inversible dans Aet a1,...,ansont nil-
potents. (Si g =f−1=b0+b1X+ ··· + bmXm,
montrer par récurrence sur k que ak+1
nbm−k=0.)
3Montrer que fest diviseur de zéro si et seulement si
il existe a∈A,a6= 0 tel que a f =0. (Si f g =0
avec g de degré minimal, montrer que pour tout k,
akg=0.)
C. IDÉAUX
EXERCICE 27
Soit Kun corps commutatif, soit Vun K-espace vec-
toriel et soit Al’anneau des endomorphismes de V.
1Pour tout sous-espace vectoriel Wde K, l’en-
semble NWdes endomorphismes dont le noyau
contient West un idéal à gauche de A, l’en-
semble IWdes endomorphismes dont l’image est
contenue dans West un idéal à droite de W.
2Si Vest de dimension finie, les idéaux à droite (resp.à
gauche) sont tous de cette forme.
3Si Vest de dimension finie, les seuls idéaux bilatères
de Asont (0)et A.
4L’ensemble des endomorphismes de rang fini de V
(c’est-à-dire dont l’image est de dimension finie) est
un idéal bilatère de A. Il est distinct de Asi Vest de
dimension infinie.
EXERCICE 28
Quel est le radical de l’idéal (12)dans Z?
EXERCICE 29
Soit Aun anneau commutatif et soit a,bdeux élé-
ments de A. S’ils sont associés, c’et-à-dire s’il existe
un élément inversible ude Atel que a=bu, montrer
que les idéaux (a)=a A et (b)=bA sont égaux. Ré-
ciproquement, si Aest intègre et si (a)=(b), mon-
trer que aet bsont associés.
EXERCICE 30
Soit Aun anneau et soit Iun idéal à droite de A.
1Montrer que l’idéal à gauche engendré par Idans A
est un idéal bilatère.
2Montrer que l’ensemble Jdes éléments a∈Atels
que xa =0 pour tout x∈I(l’annulateur à droite
de I) est un idéal bilatère de A.
EXERCICE 31
1Un anneau dans lequel tout élément non nul est inver-
sible à gauche est un anneau à division.
2Montrer qu’un anneau intègre possédant un nombre
fini d’idéaux à gauche est un anneau à division.
(Montrer que tout élément non nul x est inversible à
gauche en introduisant les idéaux à gauche Axnpour
n≥1.)
EXERCICE 32
Soit Aun anneau commutatif et soit I,Jet Ldes
idéaux de A. Démontrer les assertions suivantes :
1I·Jest contenu dans I∩J;
2on a (I·J)+(I·L)=I·(J+L);
3(I∩J)+(I∩L)est contenu dans I∩(J+L);
4si Jest contenu dans I, on a J+(I∩L)=I∩(J+L);
5soit Kun corps. Supposons que l’on ait A=
K[X,Y]. Posons I=(X),J=(Y)et L=(X+Y).
Déterminer (I∩J)+(I∩L)et I∩(J+L), puis les
comparer.
EXERCICE 33
Soit A,Bdes anneaux commutatifs et soit f:A→
Bun homomorphisme d’anneaux. Pour tout idéal I
4

de A, on note f∗(I)l’idéal de Bengendré par f(I)
et on l’appelle extension de Idans B. Pour tout idéal
Jde B, on appelle contraction de Jl’idéal f−1(J).
Étant donné un idéal Ide Aet un idéal Jde B, mon-
trer les assertions suivantes :
1Iest contenu dans f−1(f∗(I)) et Jcontient
f∗(f−1(J)) ;
2on a f−1(J)=f−1f∗(f−1(J)et f∗(I)=
f∗f−1(f∗(I).
Soit Cl’ensemble des idéaux de Aqui sont des
contractions d’idéaux de Bet El’ensemble des
idéaux de Bqui sont des extensions d’idéaux de A.
3on a C= {I;I=f−1f∗(I)}et E= {J;J=
f∗f−1(I)};
4l’application f∗définit une bijection de Csur E; quel
est son inverse ?
Soient I1et I2deux idéaux de A, et J1et J2deux
idéaux de B. Montrer les assertions suivantes :
5on a f∗(I1+I2)=f∗(I1)+f∗(I2)et f−1(J1+J2)
contient f−1(J1)+f−1(J2);
6f∗(I1∩I2)est contenu dans f∗(I1)∩f∗(I2)et l’on a
f−1(J1∩J2)=f−1(J1)∩f−1(J2);
7on a f∗(I1·I2)=f∗(I1)·f∗(I2)et f−1(J1·J2)
contient f−1(J1)·f−1(J2);
8f∗(√I)est contenu dans √f∗(I)et l’on a
f−1(√J)=pf−1(J).
EXERCICE 34
Soient Iet Jdeux idéaux d’un anneau commutatif A.
On suppose que I+J=A. Montrer que pour tout
entier n,In+Jn=A.
EXERCICE 35
Soit Aun anneau.
1Montrer par un contre-exemple que l’ensemble des
éléments nilpotents de Ane forme pas un sous-
groupe abélien. (On pourra choisir A=M2(C).)
2Soit Nl’ensemble des éléments a∈Atels que ax
soit nilpotent pour tout x∈A. Montrer que Nest un
idéal bilatère de Adont tout élément est nilpotent.
3Soit Iun idéal bilatère de Adont tout élément est
nilpotent. Montrer que I⊂N.
D. ALGÈBRES ; POLYNÔMES
EXERCICE 36
Utiliser la propriété universelle des anneaux de po-
lynômes pour démontrer qu’il existe un unique mor-
phisme de k-algèbres ϕ:k[X,Y]→k[X][Y] tel
que ϕ(X)=Xet ϕ(Y)=Yet que c’est un isomor-
phisme.
EXERCICE 37
Soit Mun monoïde, c’est-à-dire un ensemble
muni d’une loi associative et possédant un élément
neutre 1. Soit Aun anneau. Si m∈M, on note em
l’élément de AMdont toutes les coordonnées sont
nulles sauf celle d’indice mqui vaut 1.
1Montrer que le groupe abélien A(M)possède une
unique structure d’anneau telle que (aem)(a0em0)=
(aa0)emm0pour met m0dans M,aet a0dans A.
2Lorsque Mest un groupe, on retrouve l’anneau du
groupe. Lorsque Mest le monoïde N, pour l’addition,
on retrouve l’anneau des polynômes en une indéter-
minée.
3Lorsque Mest le groupe Z/nZ, construire un iso-
morphisme d’anneaux de A(M)sur l’anneau quotient
A[T]/(Tn−1).
EXERCICE 38
On dit qu’un anneau Apossède une division
euclidienne à droite s’il existe une application
ϕ:A\ {0} → Nde sorte que pour tout couple (a,b)
d’éléments de A,b6= 0, il existe un couple (q,r)
d’élémens de Atels que a=qb +ravec r=0 ou
ϕ(r) < ϕ(b).
Si Apossède une division euclidienne à droite, tout
idéal à gauche de Aest de la forme Aa. (Soit Iun
idéal à gauche de A; si I6= 0, soit aun élément
non nul de Itel que ϕ(a)soit minimal. Montrer que
I=Aa.) C’est en particulier le cas des anneaux de
polynômes K[X], lorsque Kest un anneau à division.
5