m1 - Cercle Bio Namur!

! Savoir démontrer !
1 ) Cinématique – MRUA :
v (m/s) 1ere formule :
a = cst a.t équation de la droite :
vf = v v = v0 + a.t
v0 = vi
v0 = vi t(s)
ti = 0 tf = t
2e formule :
Pour estimer le déplacement (Δx) : c'est la surface en dessous de la courbe :
–Surface du rectangle : Vi . Δt
–Surface du triangle : ½ (Vf – Vi).Δt
x = Vi.Δt + ½ (Vf – Vi).Δt + x0
= ½ (Vf – Vi + 2 Vi) .Δt + x0
= ½ (Vf + Vi).Δt + x0
---> x = x0 + ½ (v+v0). Δt
3e formule : on la trouve en remplaçant le v de la formule 2 par l'équation 1 :
x = x0 + ½ (v+v0). t Δ
= x0 + ½ (v0+v0+a t). ΔΔt
= x0 + v0.Δt + a. Δ t²
2

4e formule : on élimine le temps de l'équation 3 :
(1) v = v0 + a.t
(2) x = x0 + ½ (v+v0). t t = v-v 0
a
x = x0 + ½ (v+v0).(v-v 0 )
a
--> x = x0 + v²-v 0 ²
2a
--> x-x0 = v² – v 0 ²
2a 2a
--> 2a (x-x0) = v²-v0²
--> v² = v0² + 2a (x-x0) On obtient donc une formule sans le facteur temps.

2) Cinématique 2D – Balistique :
R : portée
h max : hauteur maximale
un projectile est lancé vers le
haut (à partir du sol) avec une
vitesse initiale v0 selon un angle ϴ
par rapport à l'horizontale.
1) y = f(x) ?
2) durée de la trajectoire ?
3) Portée horizontale ?
4) H max ?
Vx0 = V0.cos ϴ0
Vyo = V0.sin ϴ0
1)
X --> MRU : x = x0 + vo.t
Y --> MRUA : y = y0 + v0t + at²
2
x = (V0 Cos ϴ0) .t + x0 --> (=0)
y = (V0.sin ϴ0) .t – gt² + y0 --> (=0)
2
t = x
( V0 Cos ϴ0)
==> trajectoire : y = f(x)
y = ( V0 Cos ϴ0).t – gt²
2 2
x
= (V 0 sin ϴ 0 ) . x – g v 0 V0 Cos ϴ 0 => y = (tan ϴ0).x – g .x²
(V0 Cos ϴ0) 2 2(V0 Cos ϴ0)²

2) durée ?
y = (V0.sin ϴ0) .t – gt² ==> y = ax² + bx
2
--> - ½ gt² + (V0.sin ϴ0).t
Δ = b²-4ac = (v0sin ϴ0)² + 0
x = -b ± ѴΔ = - (v 0 sin ϴ 0 ) ±Ѵ(v 0 sin ϴ 0 )² = -(v 0 sin ϴ 0 )±(v 0 sin ϴ 0 )
2a 2.(- ½ g) -g
0 (t point de départ)
=
t 2 ( v 0 sin ϴ 0 ) (t point à l'arrivée)
g
3) Portée horizontale ? R
y = - g . x² + (tg ϴ0) .x
2( V0 Cos ϴ0)²
--> y = ax² + bx
= x (ax+b)
--> y = 0 x = 0
x = -b
a
a = -g et b = tg ϴ0
2( V0 Cos ϴ0)²
--> -b = - tg ϴ 0 = tg ϴ 0 . 2V 0 ² cos² ϴ 0
a - g g
2( V0 Cos ϴ0)²
= sin ϴ 0 . 2 V 0 ². Cos ϴ 0
g
= v 0 ² . Sin2ϴ 0
g

4) hauteur maximale ?
a = -g
2V0² cos² ϴ0
b = tg ϴ0
h max = -b²
4a
--> h max = - tg²ϴ 0
-g
4 2V0² cos² ϴ0
= tg²ϴ 0 . V 0 ². Cos²ϴ 0
2g
= v 0 ².sin²ϴ 0
2g