Correction du DM n°10

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1 Espérance mathématiques d’une variable aléatoire
Exercice 1. Une urne contient 5boules rouges, 3boules vertes et 2boules blanches. Un
joueur tire au hasard une boule dans l’urne. Il gagne 1 e s’il tire une boule rouge, 2 e s’il
tire une boule verte et 4 e s’il tire une boule blanche. On appelle X la variable aléatoire qui
donne le nombre d’euros gagnés par le joueur.
1) Calculer l’espérance E(X)mathématiques de la variable aléatoire X.
a) Dans la 1
ère ligne, vous devez simplement remplir les valeurs xique peut
prendre la variable aléatoire X(nombre d’euros gagnés par le joueur).
b) Ensuite, dans 2
eligne, vous devez remplir les probabilités que Xsoit égale aux
xien utilisant la formule : nombre de cas favorables
nombre de cas au total
c) À la manière d’une pondérée, dans la 3
eligne, vous devez calculer les pro-
duits xi×P(X=xi). Les notes sont ici les valeurs xiet les coefficients sont les
probabilités P(X=xi).
xi124
P(X=xi)5
10 =0,53 10 =0,32 10 =0,2
xi×P(X=xi)0,5 0,6 0,8
E(X)=0,5+0,6+0,8=1,9e
2) Est-ce intéressant de jouer à ce jeu sachant qu’une partie coûte 1,5e?
Si vous jouez à ce jeu, vous allez en moyenne gagner 1 , 9 − 1 , 5 = 0 , 4 epar
partie. Même si ce n’est pas grand chose, il est intéressant d’y jouer.
2 Répétition d’expériences identiques et indépendantes
Exercice 2.
1) Représenter cette expérience aléatoire par
un arbre pondéré.
2) À l’aide de l’arbre, calculer la probabilité
des événements suivants :
PA=PP P =0,25
PB=PMS+PSM=0,08
PC=PMM =0,01
PD=PPS+PSP=0,32
M
S
P
0,1
0,4
0,5
M
S
P
0,1
0,4
0,5
M
S
P
0,1
0,4
0,5
M
S
P
0,1
0,4
0,5
Issues Proba.
MM 0,01
MS0,04
MP0,05
SM0,04
SP0,16
SP0,20
PM0,05
PS0,20
P P 0,25
3 Exercice de synthèse
Exercice 3. Romain propose le jeu suivant à Abdel. Un sac contient n boules noires (N) et
une boule blanche (B) avec n⩾ 1. Abdel tire une boule au hasard, note sa couleur, la remet
dans le sac, puis tire un nouvelle boule.
●Si les deux boules tirées sont noires, Romain donne 1eà Abdel.
●Si elles sont blanches, Romain donne 10 eà Abdel.
●Si elles sont de couleurs différentes, Abdel donne 3,50 eà Romain.
Soit Gla variable aléatoire qui associe le gain d’Abdel (compté négativement si Abdel perd).
1) Recopier sur votre copie l’arbre
ci-contre et compléter-le avec les
issues et les probabilités.
2) Recopier sur votre copie le tableau ci-
contre. Compléter les différents gains
gid’Abdel et les probabilités P(G=gi).
N
B
N
B
N
B
Issues Proba.
BB
1
(n+1)2
BN
n
(n+1)2
NB
n
(n+1)2
NN n2
(n+1)2
n
n+1
n
n+1
1
n+1
1
n+1
n
n+1
1
n+1
gi1 10 −3,5
PG=gin2
n+12
1
n+12
2n
n+12
gi×PG=gin2
n+12
10
n+12
−7n
n+12
E(G)=n2−7n+10
n+12
4a) Pour quelles valeurs de n, le jeu est-il équitable ?
Le jeu est équitable ⇐⇒ E(G)=0
⇐⇒ n2−7n+10
n+12=0
⇐⇒ n2−7n+10 =0
Le jeu est équitable ⇐⇒ n=2ou n=5
4b) Pour quelles valeurs de n, le jeu est-il favorable à Romain ?
Le jeu est favorable à Romain ⇐⇒ E(G)<0
⇐⇒ n∈]2 ; 5 [
Le jeu est favorable à Romain ⇐⇒ n=3ou n=4
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