Corrections - XMaths

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Exercice 16
En utilisant le crible d'Erathosthène pour les nombres de 1 à 100, on peut trouver :
•une suite de 2 entiers consécutifs non premiers : 8 , 9
•une suite de 3 entiers consécutifs non premiers : 8 , 9 , 10
•une suite de 4 entiers consécutifs non premiers : 24 , 25 , 26 , 27
•une suite de 5 entiers consécutifs non premiers : 24 , 25 , 26 , 27 , 28
•une suite de 6 entiers consécutifs non premiers : 90 , 91 , 92 , 93 , 94 , 95
•une suite de 7 entiers consécutifs non premiers : 90 , 91 , 92 , 93 , 94 , 95 , 96
Soit un entier naturel non nul. On note ! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et .
! 1 x 2 x 3 x ... x
On peut remarquer que :
! 2 est divisible par 2 (car ! est divisible par 2) donc ! 2 n'est pas premier
! 3 est divisible par 3 (car ! est divisible par 3) donc ! 3 n'est pas premier
! 4 est divisible par 4 (car ! est divisible par 4) donc ! 4 n'est pas premier
.........
! est divisible par (car ! est divisible par ) donc ! n'est pas premier
On a ainsi obtenu 1 nombres entiers consécutifs non premiers.
N étant un entier naturel supérieur à 2, on peut donc trouver une suite de N entiers naturels consécutifs non
premiers.
Il suffit de prendre par exemple la suite :
(N 1)! 2 ; (N 1)! 3 ; (N 1)! 4 ; ... ; (N 1)! N 1
En utilisant cette méthode pour trouver une suite de 12 entiers consécutifs non premiers, on calcule :
13 ! = 6 227 020 800
Alors les entiers 6 227 020 802 ; 6 227 020 803 ; ... ; 6 227 020 813
sont 12 entiers consécutifs non premiers.
(Bien entendu, il est certainement possible de trouver une telle suite pour des entiers moins grands)