Probabilités, L2424, 2015 Contrôle continu

Probabilités, L2424, 2015
Contrôle continu
Exercice 1. (Questions de cours).
1. On considère un ensemble E et A et B deux parties finies. Montrer que
card (A ∪ B) = card (A) + card (B) − card (A ∩ B).
2. On considère un espace probabilisé (Ω, A , P) et deux événements A et B. Que signifie A et B sont indépendants ? que
signifie A et B sont incompatibles, que signifie P(A | B) ? Donner un exemple dans chaque cas.
Solution. Voir le cours !
Exercice 2. (Dénombrement).
1. Les initiales de Alexandre Kolmogorov sont AK. En ne considérant pas les noms et prénoms composés, combien y
a t’il d’initiales possibles ? A partir de combien d’étudiants dans une université est on certain que deux personnes
auront les mêmes initiales ?
2. Dans un jeu de 32 cartes, on remplace l’as de pique par un deuxième as de coeur. Une personne tire au hasard trois
cartes, quelle est la probabilité qu’elle s’aperçoive de la supercherie ? Même question si elle tire k cartes.
3. On consière n1 boules blanches, n2 boules rouges, n3 boules bleues, n4 boules jaunes et n5 boules vertes. Les boules de
même couleur sont indiscernables. On choisit de ranger les boules en les alignant. Combien d’alignements différents
peut on obtenir ? Plus généralement, quel est le nombre de permutations possibles d’un ensemble à n éléments
regroupés en r paquets ayant respectivement n1 ,...,nr éléments indiscernables entre eux ?
Solution. (Dénombrement).
1. Il y a 26 lettres dans l’alphabet. Les initiales sont formées de deux lettres. Il y a donc 262 initiales possibles. Si une
université a 262 + 1 étudiants alors, deux d’entre eux ont les mêmes initiales.
2. Dans un jeu de 32 cartes, on remplace l’as de pique par un deuxième as de coeur. Une personne tire au hasard trois
cartes. La personne s’aperçoit de la supercherie si parmis les trois cartes elle observe deux as de coeur. La probabilité
est donc
C1
30
p = 30
=
3
C32 4960
Si k = 1, la probabilité est nulle. Si k 6= 1, alors la probabilité est
k−2
C30
k(k − 1)
=
.
k
(32 − k + 2)(32 − k + 1) × 32 × 31
C32
En effet, le tirage de k cartes se fait de manière équiprobable et l’on se rend compte de la supercherie dés que l’on a
choisi les deux As de coeur et k − 2 cartes parmi les 30 restantes.
3. Quel est le nombre de permutations possibles d’un ensemble à n éléments parmi lesquels il y a r paquets ayant
respectivement n1 ,...,nr éléments indiscernables entre eux ? Il y a n! manières de disposer des éléments devant soi.
Pour chaque paquet de ni éléments il y a ni ! manières de les permuter, les éléments étant indiscernables cela ne
n!
change rien à l’alignement. Par conséquent il y a n1 !...n
arrangements possibles.
r!
1
Exercice 3. (Probabilités).
1. On considère un espace probabilisé (Ω, A , P). On considère n événements A1 , ..., An disjoints deux à deux et de
probabilité non nulle. On suppose que
Ω=
n
G
Ai .
i=1
Soit B un événement avec P(B) 6= 0, montrer que
(a)
n
P(B) = ∑ P(B ∩ Ai )
i=1
(b) pour tout i ∈ {1, ...n},
P(Ai | B) =
P(Ai ∩ B)
.
| Ai )P(Ai )
∑ni=1 P(B
2. Deux urnes contiennent chacune initialement 2 boules noires et 3 boules blanches. On tire au hasard une boule de la
première urne, on note sa couleur et on la remet dans la seconde urne. On tire alors au hasard une boule de la seconde
urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois une boule noire ?
3. Une population possède une proportion p ∈]0, 1[ de tricheurs. Lorsqu’on fait tirer une carte d’un jeu de 52 cartes à
un tricheur, il retourne un As. Exprimer la probabilité P qu’un individu choisi au hasard dans la population retourne
un As.
4. On prend un dé au hasard parmi un lot de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour un dé pipé la probabilité d’obtenir 6 et 21 .
On lance le dé choisi et on obtient 6.
(a) Quelle est la probabilité que le dé soit pipé ?
(b) On relance le dé et obtient encore 6, quelle est la probabilité que le dé soit pipé ?
(c) Généralisation : on lance n fois le dé et à chaque fois on obtient 6. Quelle est la probabilité pn que ce dé soit
pipé ? Quelle est sa limite quand n tend vers l’infini ?
Solution.
1. Voir le cours !
2. Deux urnes contiennent chacune initialement 2 boules noires et 3 boules blanches. On tire au hasard une boule de la
première urne, on note sa couleur et on la remet dans la seconde urne. On tire alors au hasard une boule de la seconde
urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois une boule noire ?
(→) On note N1 et N2 les événements : “ Tirage d’une boule noire au premier tirage” et “Tirage d’une boule noire au
deuxième tirage". On cherche la probabilité P(N1 ∩ N2 ). Nous avons
p = P(N1 ∩ N2 ) = P(N2 | N1 )P(N1 ).
Dans l’urne initiale, il y a deux noires et trois blanches donc P(N1 ) = 2/5. Sachant que l’on a pioché une boule noire
au premier tirage, la seconde urne avant le second tirage a 3 boules noires et 3 boules blanches, donc P(N2 | N1 ) = 1/2
et p = 1/5.
3. Une population possède une proportion p ∈]0, 1[ de tricheurs. Lorsqu’on fait tirer une carte d’un jeu de 52 cartes à
un tricheur, il retourne un As. Exprimer la probabilité P qu’un individu choisi au hasard dans la population retourne
un As.
(→) On note T l’évènement “l’individu choisi et un tricheur”, H l’évènement, “l’individu choisi est honnête", et A
l’évènement “la carte retournée est un As”. On s’intéresse alors à la probabilité P(As). On utilise la partition :
A = (A ∩ T ) t (A ∩ H)
P(A) = P(A ∩ T ) + P(A ∩ H) = P(A | T )P(T ) + P(A | H)P(H)
or P(A | T ) = 1 et P(A | H) =
4
52 ,
donc
P(A) = p +
2
4
(1 − p).
52
4. On prend un dé au hasard parmi un lot de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour un dé pipé la probabilité d’obtenir 6 et 21 .
On lance le dé choisi et on obtient 6.
(a) Quelle est la probabilité que le dé soit pipé ?
(b) On relance le dé et obtient encore 6, quelle est la probabilité que le dé soit pipé ?
(c) Généralisation : on lance n fois le dé et à chaque fois on obtient 6. Quelle est la probabilité pn que ce dé soit
pipé ? Quelle est sa limite quand n tend vers l’infini ?
(→) On note P l’événement “dé pipé”, NP l’événement “dé non pipé”, 6 l’événement “ on obtient un 6”. D’après
l’énoncé :
25
1
3
1
1
P(P) =
= , P(NP) = , P(6 | P) = , P(6 | NP) =
100 4
4
2
6
De plus P(P ∩ 6) = P(6 | P)P(P) =
11
24
et P(NP ∩ 6) = P(6 | NP)P(NP) =
13
6 4.
(a) On choisit un dé et on obtient un 6, quelle est la probabilité pour que le dé soit pipé ? C’est la probabibilité
conditionnelle P(P | 6). Remarquons que les événements P et NP forment un système complet d’événements,
par conséquent
6 = (6 ∩ P) t (6 ∩ NP).
On a
P(P ∩ 6)
P(6 | P)P(P)
P(P | 6) =
=
=
P(6)
P(P ∩ 6) + P(NP ∩ 6)
1
8
1
8
+
1
8
1
= .
4
(b) On note (6, 6) l’événement “on obtient deux fois le chiffre 6”. Les lancés de dés étant indépendants nous déduisons donc que
11
P ((6, 6) ∩ P) = P((6, 6) | P)P(P) = P(6 | P)2 P(P) =
44
et
1 3
P ((6, 6) ∩ NP) = P((6, 6) | NP)P(NP) = P(6 | NP)2 P(NP) =
.
36 4
La probabilité que le dé soit pipé sachant que l’on a obtenu deux 6 est donc
P (P | (6, 6)) =
donc
P ((6, 6) ∩ P)
P ((6, 6) ∩ P)
=
P(6, 6)
P ((6, 6) ∩ P) + P ((6, 6) ∩ NP)
3
P (P | (6, 6)) = .
4
(c) De la même manière en notant 6(n) l’événement “on obtient n-fois le chiffre 6”.
Les lancés de dés étant indépendants nous déduisons donc que
1 1
P 6(n) ∩ P = (P((6(n) ) | P))P(P) = (P(6 | P))n P(P) = n
2 4
et
1 3
P 6(n) ∩ NP = (P((6(n) ) | NP))P(NP) = (P(6 | NP))n P(NP) = n .
6 4
La probabilité que le dé soit pipé sachant que l’on a obtenu n fois 6 est donc
P 6(n) ∩ P
P 6(n) ∩ P
(n)
P P|6
=
=
P(6(n) )
P 6(n) ∩ P + P 6(n) ∩ NP
donc
(n)
P P|6
=
1 1
2n 4
1 1
2n 4
3
+
1 3
6n 4
=
1
→ 1.
1 n→∞
1 + 3n−1