Ensembles et applications

Chapitre
1
Partie Algèbre
Ensembles et applications
vv Objectifs vv
Ce chapitre a pour but de présenter les différents points de vocabulaire et
notations nécessaires à l’étude des ensembles et les applications :
û Connaître le vocabulaire relatif à la théorie des ensembles.
û Montrer qu’une application est injective / surjective ou bijective.
û Étudier les propriétés des fonctions caractéristiques et les relations binaires.
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017
1 - Ensembles et parties.
1.1 - Eléments d’un ensemble.
Définition 1.1. Eléments d’un ensemble
◦
◦
◦
◦
Un ensemble E est une "collection" d’objets appelés éléments de E.
L’ensemble vide , noté ∅, est l’ensemble qui ne contient aucun élément.
Si x est un élément de E , on écrit x ∈ E.
Deux ensembles E et F sont égaux s’ils ont les mêmes éléments, et on note E = F. On a :
E = F ⇐⇒ (∀ x : x ∈ E ⇐⇒ x ∈ F ).
Définition 1.2. Parties d’un ensemble
◦ Pour A et E deux ensembles. On dit que A est inclus dans E (ou A est une partie de E ou encore A est un
sous-ensemble de E) si tout élément de A est un élément de E.
◦ L’ensemble des parties d’un ensemble E est noté P ( E).
Exercice .1.
Donner l’ensemble des parties de l’ensemble E dans les cas suivants :
E = ∅, E = { A, 1}, E = {1, a, 2, B, x, 4, π }
Exercice .2.
Soit x un élément d’un ensemble non vide E. Décrire en extension P ({ x}) et P (P ({ x})).
Proposition 1.1.
Pour A et B deux parties d’un ensemble E, on a les propriétés suivantes :
→ A ⊆ B ⇐⇒ ∀ x ∈ E : x ∈ A =⇒ x ∈ B.
→ A = B ⇐⇒ ∀ x ∈ E : x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B.
→ A = B ⇐⇒ A ⊆ B et B ⊆ A.
Exercice .3.
Soit E = { x, y, z} un ensemble. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
x ∈ E, { x} ∈ E, { x} ⊆ E, ∅ ∈ E, ∅ ⊆ E.
Exercice .4.
Montrer que :
1. {n ∈ Z / (−1)n = 1} = 2Z où 2Z est l’ensemble des entiers paires.
2. { x ∈ R / x2 = 4x − 2} ⊆ R+ .
3. {(ln(t), t − 1) / t > 0} ⊆ {( x, y) ∈ R2 / x 6 y}.
4. { z ∈ C / | z − 1| = | z + 1|} = iR.
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1.2 - Opérations sur les parties d’un ensemble.
Définition 1.3.
Soient A et B deux parties d’un ensemble E.
◦ L’intersection de A et B , noté A ∩ B, est la partie de E définie par :
x ∈ A ∩ B ⇐⇒ ( x ∈ A et x ∈ B).
◦ La réunion (ou l’union) de A et B , noté A ∪ B, est la partie de E définie par :
x ∈ A ∪ B ⇐⇒ ( x ∈ A ou x ∈ B).
◦ La différence de A et B, dans cet ordre , noté A\ B, est la partie de E définie par :
x ∈ A\ B ⇐⇒ ( x ∈ A et x 6∈ B).
◦ La différence symétrique de A et B, noté A∆B, est la partie de E définie par :
x ∈ A∆B ⇐⇒ ( x ∈ A\ B ou x ∈ B\ A).
◦ Le complémentaire de A dans E, noté A ou CEA , est la partie de E définie par :
x ∈ A ⇐⇒ ( x ∈ E et x 6∈ A).
? ? ??
A
B
A
Inclusion
B
A
Différence
Diagrammes de Van ? ? ??
B
A
B
Intersection
Union
A
A
B
Différence symétrique
E
Complémentaire
Remarque : Soient A et B deux parties d’un ensemble E.
1. Si A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont disjointes et que A ∪ B est une réunion disjointe.
2. A\ B = A ∩ B et A = E\ A.
3. A∆B = ( A\ B) ∪ ( B\ A) = ( A ∪ B)\( A ∩ B).
Exercice .5.
Soient A, B et C trois parties d’un ensemble non vide E. Montrer que :
1. A = B ⇐⇒ A ∩ B = A ∪ B.
2. ( A \ C ) ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B) \ C.
3. ( A \ C ) ∪ ( B \ C ) = ( A ∪ B) \ C.
Exercice .6.
Soient A, B et C trois parties d’un ensemble non vide E. Montrer que :
1. A ∩ B = A ∩ C ⇐⇒ A ∩ B = A ∩ C.
2. A ∪ B = A ∩ C ⇐⇒ B ⊆ A ⊆ C.
A∩B = A∩C
3.
⇐⇒ B = C.
A∪B = A∪C
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Exercice .7.
Soient A, B et C trois parties d’un ensemble non vide E. Montrer que :
1. A \ B = A ⇐⇒ B \ A = B.
2. A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C ).
3. A∆B = A ∩ B ⇐⇒ A = B = ∅.
4. A∆B = A∆C ⇐⇒ B = C.
Exercice .8.
Soient A et B deux parties d’un ensemble non vide E. Déterminer les parties X de E telle que : A ∩ X = B.
(Ind : Si B ⊆ A vérifier que X = B ∪ C avec C ⊆ A)
Propriétés
Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E.
+ Complémentaire :
+
+
+
+
→ A = A, E = ∅, A ∪ A = E, A ∩ A = ∅.
→ A ⊆ B ⇐⇒ B ⊆ A.
Intersection :
→ A ∩ A = A, A ∩ E = A, A ∩ ∅ = ∅.
→ A ∩ B = B ∩ A et ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ).
→ A ∩ B = ∅ ⇐⇒ A ⊆ B et A ∩ B = A ⇐⇒ A ⊆ B.
→ A ⊆ B =⇒ ( A ∩ C ) ⊆ ( B ∩ C ).
Réunion :
→ A ∪ A = A, A ∪ E = E, A ∪ ∅ = A.
→ A ∪ B = B ∪ A et ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
→ A ∪ B = E ⇐⇒ A ⊆ B et A ∪ B = B ⇐⇒ A ⊆ B.
→ A ⊆ B =⇒ ( A ∪ C ) ⊆ ( B ∪ C ).
Réunion et intersection :
→ A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) et A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
→ A ∩ B = A ∪ B et A ∪ B = A ∩ B
→ A ⊆ ( B ∩ C ) =⇒ A ⊆ B et A ⊆ C et ( A ∪ B) ⊆ C =⇒ A ⊆ C et B ⊆ C
→ ( A ∩ B) ⊆ B et A ⊆ ( A ∪ B)
Différence symétrique :
→ A∆A = A, A∆∅ = A, A∆E = A.
→ A ∩ ( B∆C ) = ( A ∩ B)∆( A ∩ C ).
→ A∆B = B∆A, A∆( B∆C ) = ( A∆B)∆C.
1.3 - Produit cartésien.
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Définition 1.4.
Soient E1 , E2 , . . . et En n-ensembles non vides. (n ∈ N et n > 2)
◦ Pour k ∈ {1, 2, . . . , n}, soit xk ∈ Ek . L’élément ( x1 , x2 , . . . , xn ) est appelé un n−uplet de composantes
x1 , x2 , . . . et xn .
◦ Si n = 2 on parle d’un couple et si n = 3 on parle d’un triplet .....
◦ On appelle produit cartésien de E1 , E2 , . . . et En , noté E1 × E2 × . . . × En , l’ensemble des n−uplets
( x1 , x2 , . . . , xn ). On a alors : E1 × E2 × . . . × En = {( x1 , x2 , . . . , xn )/ xk ∈ Ek , k ∈ {1, 2, . . . , n}}.
Remarques : 1. Si E1 = E2 = . . . = En = E alors E1 × E2 × . . . × En est noté En .
2. E × F 6= F × E en général.
3. ∆( E) = {( x, x)/ x ∈ E} est une partie de E2 dite la diagonale de E.
2 - Relations binaires.
2.1 - Généralités.
Définition 2.1.
Soient E et F deux ensembles non vides.
◦ On appelle relation R de E vers F toute partie G du produit cartésien E × F. G est dite le graphe de la
relation R.
◦ Un élément x de E est en relation avec un élément y de F si ( x, y) ∈ G
◦ Si E = F on dit que la relation R est binaire.
Remarque : On appelle relation binaire R sur E toute propriété vraie pour certains couples ( x, y) d’éléments
de E et fausse pour les autres.
Lorsqu’un couple ( x, y) vérifie la relation R , on écrit xR y et on dit que x est relation avec y
(modulo la relation R) .
Exemples : 1. Pour A et B de P ( E) on pose : AR B ⇐⇒ A ⊆ B.
2. Pour m et n de Z on pose : mRn ⇐⇒ m divise n.
3. Pour m et n de Z on pose : mRn ⇐⇒ 2012 divise m − n.
Définition 2.2.
Soit R une relation binaire sur un ensemble E. On dit que R est :
◦ reflexive si pour tout x ∈ E on a : xR x.
◦ symétrique si pour tous x, y ∈ E on a : xR y ⇐⇒ yR x.
◦ antisymétrique si pour tous x, y ∈ E on a : ( xR y et yR x) =⇒ x = y.
◦ transitive si pour tous x, y, z ∈ E on a : ( xR y et yR z) =⇒ xR z.
2.2 - Relation d’équivalence.
Définition 2.3.
Soit R une relation binaire sur un ensemble E.
◦ On dit que R est une relation d’équivalence si elle à la fois reflexive, symétrique et transitive.
◦ Pour x ∈ E, on appelle classe d’équivalence de x , notée C( x) ou x, la partie de E définie par :
y ∈ C( x) ⇐⇒ yR x
◦ Un élément z de C( x) est appelé un représentant de la classe C( x).
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Exercice .9.
On définit sur R la relation : x R y ⇐⇒ x3 − y3 = 3( x − y).
1. Montrer que R est une relation d’équivalence sur R.
2. Déterminer la classe d’équivalence pour un élément x de R.
Proposition 2.1.
Soient R une relation d’équivalence sur E et x, y ∈ E.
→ Si xR y alors C( x) = C( y) et inversement.
→ Sinon C( x) ∩ C( y) = ∅.
→ Deux éléments ont la même classe d’équivalence si et seulement s’ils sont en relation.
Définition 2.4.
Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E. L’ensemble des classes d’équivalence est noté E/R
et appelé l’ensemble quotient de E modulo R.
Exemple : Soit n ∈ N avec n > 2. Pour x, y ∈ Z on pose : xR y ⇐⇒ n divise x − y.
1. R est une relation d’équivalence sur Z dite relation de congruence modulo n. Cette relation
est notée :
xR y ⇐⇒ x ≡ y[n].
2. Pour x ∈ Z on a : x = x + nZ où nZ est l’ensemble des multiples de n.
3. Z/R = 0, 1, . . . , n − 1 noté Z/nZ.
Exercice .10. Congruence
Définition : Soient a, b et m trois réels. On dit que a et b sont congrus modulo m s’il existe k ∈ Z tel que
a = b + km. On note alors a ≡ b[m].
Remarque : En pratique, on a souvent m = rπ avec r ∈ Q.
3π
1. Donner un exemple de deux réels a et b qui sont congrus modulo
.
5
2. Pour m fixé, montrer que la relation aRb ⇐⇒ a ≡ b[m] est une relation d’équivalence dans R.
3. Somme : Soit ( a, b, c, d, m) ∈ R5 . Montrer que si a ≡ b[m] et c ≡ d[m] alors a + c ≡ b + d[m].
4. Multiplication et division : Soient ( a, b, m) ∈ R3 et k ∈ R∗ .
Montrer que : a ≡ b[m] ⇐⇒ ka ≡ kb[km].
5. Projection : Soient ( a, b, m) ∈ R3 et k ∈ N∗ . Montrer que si a ≡ b[km] alors a ≡ b[m].
6. Si a ≡ b[m] et c ≡ d[m] ,a-t-on ac ≡ bd[m] ?
2.3 - Relation d’ordre.
Définition 2.5.
Soit R une relation binaire sur un ensemble E.
◦ On dit que R est une relation d’ordre si elle à la fois reflexive, antisymétrique et transitive. Dans ce cas
on dit que ( E, R) est un ensemble ordonné.
◦ Deux éléments x, y ∈ E sont dits comparables si xR y ou yR x .
◦ R est dite totale si deux éléments quelconques sont toujours comparables. Sinon elle est dite partielle.
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Remarques : 1. ( E, R) est un ensemble ordonné. Pour x, y ∈ E on pose : xS y ⇐⇒ yR x. S est une relation
d’ordre sur E dite l’ordre inverse de R.
2. ( E, R) est un ensemble ordonné. Pour x, y ∈ E on pose : xS y ⇐⇒ ( xR y et x 6= y). S n’est
pas une relation d’ordre sur E dite l’ordre strict sur E ( de R).
Exemples : 1. L’inclusion est une relation d’ordre partielle dans P ( E).
2. Pour ( x, y), ( x0 , y0 ) ∈ R2 on pose : ( x, y)R( x0 , y0 ) ⇐⇒ ( x 6 x0 et y 6 y0 ).
R est une relation d’ordre partielle sur R2 .
3. Pour ( x, y), ( x0 , y0 ) ∈ R2 on pose : ( x, y)R( x0 , y0 ) ⇐⇒ ( x < x0 ou ( x = x0 et y 6 y0 )).
R est une relation d’ordre totale sur R2 .
Exercice .11.
On définit une relation binaire 4 sur R+? par :
x 4 y ⇔ ∃ n ∈ N, y = x n
Montrer que 4 est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total ?
Exercice .12.
On définit une relation binaire 4 sur { z ∈ C/Im( z) > 0} par :
z 4 z0 ⇔ | z| < z0 ou ( | z| = z0 et Re( z) 6 Re( z0 ))
Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre total.
Définition 2.6.
Soit ( E, R) est un ensemble ordonné, A une partie de E et m, M ∈ E.
◦ A est dite majorée par M si : ∀ x ∈ A on a : xR M. (On dit aussi que M est un majorant de A)
Si de plus M ∈ A , on dit que M est le plus grand élément de A ( ou maximum de A) noté max( A).
◦ A est dite minorée par m si : ∀ x ∈ A on a : mR x (On dit aussi que m est un minorant de A).
Si de plus m ∈ A , on dit que m est le plus petit élément de A ( ou minimum de A) noté min( A).
◦ Le plus petit des majorants de A - lorsqu’il existe - est appelé la borne supérieure de A notée sup( A).
◦ Le plus grand des minorants de A - lorsqu’il existe - est appelé la borne inférieure de A notée inf( A).
3 - Notions sur les applications.
3.1 - Généralités.
Définition 3.1.
Soient E et F deux ensembles non vides.
◦ Une application f de E vers F est une relation de E vers F vérifiant la propriété suivante :
Tout élément x de E est en relation avec un et un seul élément y de F.
◦ y est dit l’image de x par f , on note y = f ( x), et x est dit l’antécédant de y par f .
◦ E est appelé l’ensemble de départ, F est appelé l’ensemble d’arrivée.
◦ Gr( f ) = {( x, f ( x))/ x ∈ E} est appelé le graphe de f . ( C’est le graphe de la relation)
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Remarques : 1. L’application f est souvent noté : f : E −→ F
.
x 7−→ y = f ( x)
2. L’ensemble des applications de E vers F est noté F ( E, F ) ou F E .
3. Deux applications f et g sont égales si elles ont le même ensemble de départ , le même ensemble d’arrivée et le même graphe (i.e les mêmes images).
Exemples : 1. L’application f : E −→ E
dite application identité de E notée IdE .
x 7−→ f ( x) = x
2. L’application f : E −→ F
(avec c ∈ F) dite application constante.
x 7−→ f ( x) = c
E −→ {0, 1} 1, si x ∈ A
x 7−→ f ( x) =
0, si x 6∈ A
caractéristique de A notée ϕ A ou χ A .
3. L’application f :
(avec A ∈ P ( E)) dite application
Définition 3.2. Prolongement et restriction
Soient f ∈ F ( E, F ), G ∈ P ( E) et H un ensemble qui contient E.
◦ L’application g : G −→ F
est dite la restriction de f sur G notée f /G .
x 7−→ g( x) = f ( x)
◦ Toute application h ∈ F H telle que h/E = f est dite un prolongement de f à H.
◦ On suppose que E = F. Une partie A de E est dite stable par f si : ∀ x ∈ A, f ( x) ∈ A.
L’application A −→ A
est dite l’application induite par f sur A.
x 7−→ f ( x)
Définition 3.3. Image d’une application
Soit f ∈ F ( E, F ). On appelle image de f l’ensemble { f ( x) / x ∈ E}. On la note par f ( E) ou Im( f ).
Définition 3.4. Composition des applications
Soit f ∈ F ( E, F ) et g ∈ F ( H, G ) telle que Im( f ) ⊆ H. La composée de f par g, notée go f , est l’application
de E vers G définie par : ∀ x ∈ E : go f ( x) = g( f ( x)).
f
g
go f
E −→ Im( f ) −→ G
=⇒ E −→ G
x 7−→ f ( x)
7−→ g( f ( x))
x 7−→ go f ( x) = g( f ( x))
Proposition 3.1.
→ Soit f ∈ F ( E, F ). On a : IdF o f = f oIdE = f .
→ Pour des applications f , g et h , lorsque cela à un sens, on a :
( f og)oh = f o( goh)(= f ogoh) et go f 6= f og en général.
Remarques : 1. Dans EE , la composition des applications est une loi de composition interne associative ,
admettant un élément neutre ( Id E ) et n’est pas commutative.
2. Soit f ∈ F ( E, E) = E E . On pose : f 0 = IdE , f 1 = f , f 2 = f o f et f n = f n−1 o f pour n > 3.
L’application f n est appelée l’itérée d’ordre n de f ou l’itérée nième de f .
3. On note par B( E) l’ensemble des bijections sur E (c-à-d les bijections de E vers E, appelées
aussi les permutations de E) . ( B( E), o) est un groupe non commutatif.
3.2 - Image directe ou réciproque d’une partie.
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Définition 3.5. Image directe d’une partie
Soient f ∈ F ( E, F ) et A ⊆ E. On appelle image (directe) de A par f la partie de F , notée f ( A), définie
par : f ( A) = { f ( x), x ∈ A} .
Remarque : Soient f ∈ F ( E, F ) et A ⊆ E.
– f ( A) ⊆ F, f (∅) = ∅ et f ( A) = ∅ ⇐⇒ A = ∅.
– f ({ x1 , . . . , xn }) = { f ( x1 ), . . . , f ( xn )} pour x1 , . . . , xn ∈ E.
– Soit y ∈ F. On a : y ∈ f ( A) ⇐⇒ ∃ x ∈ A : y = f ( x).
Proposition 3.2.
Soient f ∈ F ( E, F ) et A, B ∈ P ( E). On a les résultats suivants :
A ⊆ B =⇒ f ( A) ⊆ f ( B) et f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B) et f ( A ∩ B) ⊆ f ( A) ∩ f ( B).
Définition 3.6. Image réciproque d’une partie
Soient f ∈ F ( E, F ) et A ⊆ F. On appelle image réciproque de A par f la partie de E , notée f −1 ( A),
définie par : f −1 ( A) = { x ∈ E / f ( x) ∈ A} .
Remarque : Soient f ∈ F ( E, F ) et A ⊆ F.
– f −1 ( A) ⊆ E, f −1 (∅) = ∅ et f −1 ( A) = ∅ < A = ∅.
– Soit x ∈ E. On a : x ∈ f −1 ( A) ⇐⇒ f ( x) ∈ A.
Proposition 3.3.
Soient f ∈ F ( E, F ) et A, B ∈ P ( F ).
→ A ⊆ B =⇒ f −1 ( A) ⊆ f −1 ( B) et
→ f −1 ( A ∩ B ) = f −1 ( A ) ∩ f −1 ( B )
f −1 ( A ∪ B ) = f −1 ( A ) ∪ f −1 ( B )
et f −1 A = f −1 ( A).
Exercice .13.
1. Décrire l’image directe de R par l’application exponentielle .
2. Déterminer l’image réciproque de [−1, 4] par x 7→ x2 .
3. Soient f : R → R et g : R → R telles que f ( x) = 3x + 1 et g( x) = x2 − 1. A-t-on f ◦ g = g ◦ f ?
Exercice .14.
Soit l’application de R dans R, f : x 7→ x2 .
1. Déterminer les ensembles suivants :
f ([−3, −1]), f ([−2, 1]), f ([−3, −1] ∪ [−2, 1]) et f ([−3, −1] ∩ [−2, 1]).
2. Mêmes questions avec les ensembles :
f −1 (]−∞, 2] ∪ [1, +∞[) et f −1 (]−∞, 2] ∩ [1, +∞[).
3.3 - Application injective,surjective et bijective.
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Définition 3.7.
Soit f ∈ F ( E, F ). On dit que f est une application :
◦ injective si pour tous x, y de E on a : f ( x) = f ( y) =⇒ x = y.
◦ surjective si pour tout y de F il existe x de E tel que f ( x) = y.
◦ bijective si elle à la fois injective et surjective.
Remarque :
+ f est injective ⇐⇒ ∀ x, y ∈ E : x 6= y =⇒ f ( x) 6= f ( y).
+ f est surjective ⇐⇒ Im( f ) = F
+ f est bijective ⇐⇒ ∀ y ∈ F ∃!x ∈ E : y = f ( x).
Exercice .15.
Donner des exemples d’applications de R dans R (puis de R2 dans R) injective et non surjective, puis
surjective et non injective.
Exercice .16.
Soit f : R −→ R définie par f ( x) = x3 − x. f est-elle injective ? surjective ? Déterminer f −1 ([−1, 1]) et
f (R+ ).
Exercice .17.
Soit f : R −→ R définie par f ( x) =
2x
.
1 + x2
1. f est-elle injective ? surjective ?
2. Montrer que f (R) = [−1, 1].
3. Montrer que la restriction g : [−1, 1] −→
[−1, 1]
est une bijection.
x
7−→ g( x) = f ( x)
4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de f .
Exercice .18.
On considère l’application f : C \ {0} −→
.
1
z
7−→ z +
z
1. f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
2. Donner l’image par f du cercle de centre 0 et de rayon 1.
3. Donner l’image réciproque par f de la droite iR.
C
Proposition 3.4. Bijection réciproque
Soit f ∈ F ( E, F ) une bijection. La relation de F vers E liant chaque y de F par x de E tel que y = f ( x) est
une application de F vers E , notée f −1 , vérifiant :
→ ∀ x ∈ E, ∀ y ∈ F : x = f −1 ( y) ⇐⇒ f ( x) = y.
→ f −1 o f = IdE , f o f −1 = IdF .
→ f −1 est une bijection, appelée la bijection réciproque de f .
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Proposition 3.5.
Une application f ∈ F ( E, F ) est une bijection si et seulement s’il existe g ∈ F ( F, E) telle que :
f og = IdF et go f = IdE .
Proposition 3.6.
Soient f ∈ F ( E, F ) et g ∈ F ( F, G ).
→ Si f et g sont injectives (resp. surjectives) alors go f est injective (resp. surjective).
→ Si f et g sont bijectives alors go f est bijective et on a : ( go f )−1 = f −1 og−1 .
Définition 3.8.
Une application f ∈ F ( E, E) est dite involutive si f o f = IdE . (C’est une bijection de E).
Exercice .19. Décomposition d’une application
Soit f ∈ F ( E, F ) et R une relation d’équivalence sur E par : xR y ⇐⇒ f ( x) = f ( y). Il existe des applications I : f ( E) −→ F
injective et S : E −→ E/R surjective et f : E/R −→ f ( E) bijective
x 7−→ f ( x)
f ( x) 7−→ f ( x)
x 7−→ x
telles que : f = Io f oS (Tracer un diagramme).
3.4 - Applications caractéristiques et ensembles.
Proposition 3.7.
Soient A et B deux parties d’un ensemble E. On a :
→ ϕ A = ϕ B ⇐⇒ A = B.
→ ϕ A = 1 − ϕ A , ϕ A∩ B = ϕ A × ϕ B , ϕ A∪ B = ϕ A + ϕ B − ϕ A × ϕ B .
→ ϕ A\ B = ϕ A (1 − ϕ B ), ϕ A∆B = ϕ A + ϕ B − 2ϕ A × ϕ B .
Exercice .20.
Soit A une partie de E, on appelle fonction caractéristique de A l’application f de E dans l’ensemble à
deux éléments {0, 1}, telle que :
(
0 si x ∈
/A
f ( x) =
1 si x ∈ A
Soit A et B deux parties de E, f et g leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes
sont les fonctions caractéristiques d’ensembles que l’on déterminera :
1 − f , f g, f + g − f g.
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Exercice .21.
Soit un ensemble E et deux parties A et B de E. On désigne par A∆B l’ensemble ( A ∪ B) \ ( A ∩ B). Dans
les questions ci-aprés il pourra être commode d’utiliser la notion de fonction caractéristique.
1. Démontrer que A∆B = ( A \ B) ∪ ( B \ A).
2. Démontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a : ( A∆B)∆C = A∆( B∆C ).
3. Démontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a : A∆( B ∩ C ) = ( A∆B) ∩ ( A∆C ).
4. Démontrer qu’il existe une unique partie X de E telle que pour toute partie A de E :
A∆X = X∆A = A.
5. Démontrer que pour toute partie A de E, il existe une partie A0 de E et une seule telle que :
A∆A0 = A0 ∆A = X.
3.5 - Familles d’éléments, familles de parties.
Définition 3.9.
Soient I et E deux ensembles (I sera appelé ensemble des indices).
◦ Toute application x : I −→ E
est appelée une famille d’éléments de E. L’élément x(i ) se note xi et
i 7−→ x(i )
on écrit ( xi )i∈ I .
◦ Toute application A : I −→ P ( E) est appelée une famille de parties de E. L’élément A(i) se note Ai
i 7−→ A(i )
et on écrit ( Ai )i∈ I .
Remarques :
→ Si I est une partie de N , on parle d’une suite au lieu d’une famille.
→ Si I est fini on parle d’une famille finie.
→ Soit ( Ai )i∈ I une\
famille de parties d’un ensemble E et
x ∈ E.
[
x∈
Ai ⇐⇒ ∀i ∈ I : x ∈ Ai et x ∈
Ai ⇐⇒ ∃i ∈ I : x ∈ Ai .
i∈ I
i∈ I
Définition 3.10. Partition d’un ensemble
On dit qu’une famille ( Ai )i∈ I de parties
d’un ensemble E est une partition de E si :
[
E=
Ai et ∀i 6= j : Ai ∩ A j = ∅.
i∈ I
Exemple : Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E et P la partie de E formé en choisissant de
chaque classe d’équivalence un et un seul représentant. Alors E/R = { x/ x ∈ P } et ( x) x∈P est
une partition de E.
Exercice .22.
Soit f : E −→ E, on pose : S =
n
o
X ⊆ E/ f −1 ( f ( X )) = X .
1. Soit A une partie de E . Montrer que : f −1 ( f ( A)) ∈ S.
2. Montrer que S est stable par intersection et réunion.
Cours-s- Mr. Faress , Lok
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Exercice .23.
Soient f : E −→ E une application et A une partie de E.
[
Pour n ∈ N∗ on note f n = f o f o...o f , f 0 = id E , An = f n ( A) et B =
An
| {z }
n ∈N
n− f ois
1. Montrer que : f ( B) ⊆ B.
2. Montrer que B est la petite partie de E stable par f et contenant A.
F ii n
n