Ensembles et applications

Chapitre 1
Partie Algèbre
Ensembles et applications
vv Objectifs vv
Ce chapitre a pour but de présenter les différents points de vocabulaire et
notations nécessaires à l’étude des ensembles et les applications :
ûConnaître le vocabulaire relatif à la théorie des ensembles.
ûMontrer qu’une application est injective / surjective ou bijective.
ûÉtudier les propriétés des fonctions caractéristiques et les relations bi-
naires.
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017

1 - Ensembles et parties.
1.1 - Eléments d’un ensemble.
◦Un ensemble Eest une "collection" d’objets appelés éléments de E.
◦L’ensemble vide , noté ∅, est l’ensemble qui ne contient aucun élément.
◦Si xest un élément de E, on écrit x∈E.
◦Deux ensembles Eet Fsont égaux s’ils ont les mêmes éléments, et on note E=F.Ona:
E=F⇐⇒ (∀x:x∈E⇐⇒ x∈F).
Définition 1.1. Eléments d’un ensemble
◦Pour Aet Edeux ensembles. On dit que Aest inclus dans E(ou Aest une partie de Eou encore Aest un
sous-ensemble de E) si tout élément de Aest un élément de E.
◦L’ensemble des parties d’un ensemble Eest noté P(E).
Définition 1.2. Parties d’un ensemble
Donner l’ensemble des parties de l’ensemble Edans les cas suivants :
E=∅,E={A, 1},E={1, a, 2, B,x, 4, π}
Exercice .1.
Soit xun élément d’un ensemble non vide E. Décrire en extension P({x})et P(P({x})).
Exercice .2.
Pour Aet Bdeux parties d’un ensemble E, on a les propriétés suivantes :
→A⊆B⇐⇒ ∀x∈E:x∈A=⇒x∈B.
→A=B⇐⇒ ∀x∈E:x∈A⇐⇒ x∈B.
→A=B⇐⇒ A⊆Bet B⊆A.
Proposition 1.1.
Soit E={x,y,z}un ensemble. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
x∈E,{x} ∈ E,{x} ⊆ E,∅ ∈ E,∅ ⊆ E.
Exercice .3.
Montrer que :
1. {n∈Z/(−1)n=1}=2Zoù 2Zest l’ensemble des entiers paires.
2. {x∈R/x2=4x−2} ⊆ R+.
3. {(ln(t),t−1)/t>0} ⊆ {(x,y)∈R2/x6y}.
4. {z∈C/|z−1|=|z+1|} =iR.
Exercice .4.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 2 MPSI 2016-2017

1.2 - Opérations sur les parties d’un ensemble.
Soient Aet Bdeux parties d’un ensemble E.
◦L’intersection de Aet B, noté A∩B, est la partie de Edéfinie par :
x∈A∩B⇐⇒ (x∈Aet x∈B).
◦La réunion (ou l’union) de Aet B, noté A∪B, est la partie de Edéfinie par :
x∈A∪B⇐⇒ (x∈Aou x∈B).
◦La différence de Aet B, dans cet ordre , noté A\B, est la partie de Edéfinie par :
x∈A\B⇐⇒ (x∈Aet x6∈ B).
◦La différence symétrique de Aet B, noté A∆B, est la partie de Edéfinie par :
x∈A∆B⇐⇒ (x∈A\Bou x∈B\A).
◦Le complémentaire de Adans E, noté Aou CA
E, est la partie de Edéfinie par :
x∈A⇐⇒ (x∈Eet x6∈ A).
Définition 1.3.
? ? ?? Diagrammes de Van ? ? ??
ABA B A B
Inclusion Intersection Union
B A A B A E
Différence Différence symétrique Complémentaire
Remarque : Soient Aet Bdeux parties d’un ensemble E.
1. Si A∩B=∅, on dit que Aet Bsont disjointes et que A∪Best une réunion disjointe.
2. A\B=A∩Bet A=E\A.
3. A∆B= (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B).
Soient A,Bet Ctrois parties d’un ensemble non vide E. Montrer que :
1. A=B⇐⇒ A∩B=A∪B.
2. (A\C)∩(B\C) = (A∩B)\C.
3. (A\C)∪(B\C) = (A∪B)\C.
Exercice .5.
Soient A,Bet Ctrois parties d’un ensemble non vide E. Montrer que :
1. A∩B=A∩C⇐⇒ A∩B=A∩C.
2. A∪B=A∩C⇐⇒ B⊆A⊆C.
3. A∩B=A∩C
A∪B=A∪C⇐⇒ B=C.
Exercice .6.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 3 MPSI 2016-2017

Soient A,Bet Ctrois parties d’un ensemble non vide E. Montrer que :
1. A\B=A⇐⇒ B\A=B.
2. A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C).
3. A∆B=A∩B⇐⇒ A=B=∅.
4. A∆B=A∆C⇐⇒ B=C.
Exercice .7.
Soient Aet Bdeux parties d’un ensemble non vide E. Déterminer les parties Xde Etelle que : A∩X=B.
(Ind : Si B⊆Avérifier que X=B∪Cavec C⊆A)
Exercice .8.
Soient A,Bet Ctrois parties d’un ensemble E.
+Complémentaire :
→A=A,E=∅,A∪A=E,A∩A=∅.
→A⊆B⇐⇒ B⊆A.
+Intersection :
→A∩A=A,A∩E=A,A∩ ∅ =∅.
→A∩B=B∩Aet (A∩B)∩C=A∩(B∩C).
→A∩B=∅ ⇐⇒ A⊆Bet A∩B=A⇐⇒ A⊆B.
→A⊆B=⇒(A∩C)⊆(B∩C).
+Réunion :
→A∪A=A,A∪E=E,A∪ ∅ =A.
→A∪B=B∪Aet (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
→A∪B=E⇐⇒ A⊆Bet A∪B=B⇐⇒ A⊆B.
→A⊆B=⇒(A∪C)⊆(B∪C).
+Réunion et intersection :
→A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)et A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
→A∩B=A∪Bet A∪B=A∩B
→A⊆(B∩C) =⇒A⊆Bet A⊆Cet (A∪B)⊆C=⇒A⊆Cet B⊆C
→(A∩B)⊆Bet A⊆(A∪B)
+Différence symétrique :
→A∆A=A,A∆∅=A,A∆E=A.
→A∩(B∆C) = (A∩B)∆(A∩C).
→A∆B=B∆A,A∆(B∆C) = (A∆B)∆C.
Propriétés
1.3 - Produit cartésien.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 4 MPSI 2016-2017

Soient E1,E2, . . . et Enn-ensembles non vides. (n∈Net n>2)
◦Pour k∈ {1, 2, . . . , n}, soit xk∈Ek. L’élément (x1,x2,...,xn)est appelé un n−uplet de composantes
x1,x2, . . . et xn.
◦Si n=2 on parle d’un couple et si n=3 on parle d’un triplet .....
◦On appelle produit cartésien de E1,E2, . . . et En, noté E1×E2×. . . ×En, l’ensemble des n−uplets
(x1,x2,...,xn). On a alors : E1×E2×. . . ×En={(x1,x2,...,xn)/xk∈Ek,k∈ {1, 2, . . . , n}}.
Définition 1.4.
Remarques : 1. Si E1=E2=. . . =En=Ealors E1×E2×. . . ×Enest noté En.
2. E×F6=F×Een général.
3. ∆(E) = {(x,x)/x∈E}est une partie de E2dite la diagonale de E.
2 - Relations binaires.
2.1 - Généralités.
Soient Eet Fdeux ensembles non vides.
◦On appelle relation Rde Evers Ftoute partie Gdu produit cartésien E×F.Gest dite le graphe de la
relation R.
◦Un élément xde Eest en relation avec un élément yde Fsi (x,y)∈G
◦Si E=Fon dit que la relation Rest binaire.
Définition 2.1.
Remarque : On appelle relation binaire Rsur Etoute propriété vraie pour certains couples (x,y)d’éléments
de Eet fausse pour les autres.
Lorsqu’un couple (x,y)vérifie la relation R, on écrit xRyet on dit que xest relation avec y
(modulo la relation R) .
Exemples : 1. Pour Aet Bde P(E)on pose : ARB⇐⇒ A⊆B.
2. Pour met nde Zon pose : mRn⇐⇒ mdivise n.
3. Pour met nde Zon pose : mRn⇐⇒ 2012 divise m−n.
Soit Rune relation binaire sur un ensemble E. On dit que Rest :
◦reflexive si pour tout x∈Eon a : xRx.
◦symétrique si pour tous x,y∈Eon a : xRy⇐⇒ yRx.
◦antisymétrique si pour tous x,y∈Eon a : (xRyet yRx) =⇒x=y.
◦transitive si pour tous x,y,z∈Eon a : (xRyet yRz) =⇒xRz.
Définition 2.2.
2.2 - Relation d’équivalence.
Soit Rune relation binaire sur un ensemble E.
◦On dit que Rest une relation d’équivalence si elle à la fois reflexive, symétrique et transitive.
◦Pour x∈E, on appelle classe d’équivalence de x, notée C(x)ou x, la partie de Edéfinie par :
y∈ C(x)⇐⇒ yRx
◦Un élément zde C(x)est appelé un représentant de la classe C(x).
Définition 2.3.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 5 MPSI 2016-2017