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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Synthèse de cours sur l’analyse réelle
Dans tout le chapitre, Idésigne un intervalle non réduit à un point. On note Il’intervalle I
auquel on a ajouté ses bornes réelles (on dit que c’est l’adhérence de I). Par exemple ]2,3] = [2,3]
et ]2,+∞[ = [2,+∞[.
1 Généralités sur les fonctions réelles
1.1 Opérations sur les fonctions
On note RIl’ensemble des applications de Idans R. Soit fet gdans RIet λun réel. On
définit :
• la fonction f+gde RIpar : ∀x∈I, (f+g)(x) = f(x) + g(x).
• la fonction λ.f de RIpar : ∀x∈I, (λ.f)(x) = λf(x).
• la fonction f×gde RIpar : ∀x∈I, (f×g)(x) = f(x)g(x).
• si gne s’annule pas sur I, la fonction f
gde RIpar : ∀x∈I, f g(x) = f(x) g(x).
L’ensemble (RI,+, .) sera un R-espace vectoriel de référence et l’ensemble (RI,+,×) un anneau
commutatif.
1.2 Relation d’ordre
Définition 1 Soit fune fonction de Idans R. On dit que fest :
• majorée s’il existe un réel Mtel que pour tout x∈I, f(x)6M. Dans ce cas on pose
sup f= sup{f(x)|x∈I}.
• minorée s’il existe un réel mtel que pour tout x∈I, f(x)>m. Dans ce cas on pose
inf f= inf{f(x)|x∈I}.
• bornée s’il existe un réel Mtel que pour tout x∈I, |f(x)|6M, c’est à dire si fest
minorée et majorée. On note alors kfk∞= sup |f|(norme infinie).
Exemple : la fonction fdéfinie sur ]0,+∞[ par f(x) = 1
xest minorée et inf f= 0 mais n’est
pas majorée car limx→01
x= +∞.
Définition 2 Soit fet gdeux fonctions de Idans R. On note
•|f|la fonction définie sur Ipar |f|(x) = |f(x)|.
•sup(f, g)la fonction définie sur Ipar sup(f, g)(x) = max(f(x), g(x)).
•inf(f, g)la fonction définie sur Ipar inf(f, g)(x) = min(f(x), g(x)).

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Remarque : il est utile de connaître les formules suivantes : pour tous réels aet b, on a
max(a, b) = a+b+|a−b|
2et min(a, b) = a+b− |a−b| 2.
Ces formules sont «naturelles» avec la vision suivante : «la borne supérieure du segment»
d’extrémités aet bc’est à dire max(a, b) est égale au «milieu de ce segment» a+b
2auquel on
ajoute la demi-longueur du segment, c’est à dire |a−b|
2.
1.3 Monotonie
Définition 3 Soit fune fonction de Idans R. On dit que fest :
• croissante sur Isi : ∀(x, y)∈I, x 6y⇒f(x)6f(y).
• décroissante sur Isi : ∀(x, y)∈I, x 6y⇒f(x)>f(y).
• strictement croissante sur Isi : ∀(x, y)∈I, x < y ⇒f(x)< f(y).
• strictement décroissante sur Isi : ∀(x, y)∈I, x < y ⇒f(x)> f (y).
Proposition 4 (Opérations sur la monotonie)
1. Une somme de fonctions croissantes (res. décroissantes) est une fonction croissante (resp.
décroissante).
2. La composée de deux applications monotones de même sens est croissante et la composée
de deux applications monotones de sens contraire est décroissante.
Preuve :
1. Supposons fet gcroissantes sur I. Soit x, y dans Iavec x6y. Alors (f+g)(y) =
f(y) + g(y)>f(x) + g(x) = (f+g)(x). Donc f+gcroissante.
2. Prenons par exemple f:I→Jcroissante et g:J→Kdécroissante et montrons que
g◦fest décroissante sur I. Soit xet ydans Iavec x6y. Comme fcroissante sur I,
f(x)6f(y) puis comme gest décroissante sur J,g(f(x)) >g(f(y)), d’où le résultat.
1.4 Symétrie
Définition 5 Soit une fonction de Idans Ret T > 0. On dit que fest T-périodique si :
∀x∈I, x +T∈Iet f(x+T) = f(x).
On appelle période de f, lorsqu’elle existe la borne inférieure de l’ensemble des reéls Ttels que
fest T-périodique.
Par exemple, pour tout réel ω > 0, la fonction t7→ cos(ωt) a pour période T=2π
ω.

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Définition 6 Soit une fonction de Idans R. On dit que fest paire (resp. impaire) si :
∀x∈I, −x∈Iet ∀x∈I, f(−x) = f(x) (resp. f(−x) = −f(x)).
On rappelle que toute fonction fde Idans Rs’écrit de façon unique comme somme d’une
fonction paire sur Iet d’une fonction impaire sur Ipuisque
∀x∈I, f(x) = f(x) + f(−x)
2+f(x)−f(−x) 2.
Définition 7 Soit une fonction de Idans R. On dit que la courbe de fadmet le point Ωde
coordonnées (a, b)pour centre de symétrie si
∀x∈R,(a+x∈I⇒a−x∈I)et f(a+x) + f(a−x)
2=b.
Explication : le point Ω(a, b) est le milieu des points M(a+x, f(a+x)) et N(a−x, f(a−x)
donc son ordonnée best la moyenne des ordonnées f(a+x) et f(a−x).
1.5 Notion de propriété locale
Définition 8 (Voisinage de a)Si aest un réel, on appelle voisinage de a, toute partie de
Rqui contient un intervalle ouvert centré en a, i.e. un intervalle du type ]a−r, a +r[avec
r > 0. Si aest infini, on appelle voisinage de +∞(resp. −∞) toute partie de Rqui contient
un intervalle de la forme ]c, +∞[(resp. ]− ∞, c[).
Soit f:I→Ret a∈I∪ {±∞}. Une propriété concernant la fonction fest dite vraie au
voisinage de asi elle est vraie sur l’intersection de Iet d’un voisinage de a.
2 Les limites
2.1 Neufs limites
Définition 9 (Neuf limites) Soit fune fonction de Idans R,a∈I∪{±∞} et l∈R∪{±∞}.
On dit que fadmet lpour limite en asi :
1. Cas où a∈Ret l∈R.
lim
af=l⇔ ∀ε > 0,∃α > 0| ∀x∈I, |x−a|6α⇒ |f(x)−l|6ε.
2. Cas où a∈Ret l= +∞.
lim
af= +∞ ⇔ ∀A > 0,∃α > 0| ∀x∈I, |x−a|6α⇒f(x)>A.
3. Cas où a∈Ret l=−∞.
lim
af=−∞ ⇔ ∀A < 0,∃α > 0| ∀x∈I, |x−a|6α⇒f(x)6A.

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4. Cas où a= +∞et l∈R.
lim
+∞f=l⇔ ∀ε > 0,∃B > 0| ∀x∈I, x >B⇒ |f(x)−l|6ε.
5. Cas où a= +∞et l= +∞.
lim
+∞f= +∞ ⇔ ∀A > 0,∃B > 0| ∀x∈I, x >B⇒f(x)>A.
6. Cas où a= +∞et l=−∞.
lim
+∞f=−∞ ⇔ ∀A < 0,∃B > 0| ∀x∈I, x >B⇒f(x)6A.
7. Cas où a=−∞ et l∈R.
lim
−∞ f=l⇔ ∀ε > 0,∃B < 0| ∀x∈I, x 6B⇒ |f(x)−l|6ε.
8. Cas où a=−∞ et l= +∞.
lim
−∞ f= +∞ ⇔ ∀A > 0,∃B < 0| ∀x∈I, x 6B⇒f(x)>A.
9. Cas où a=−∞ et l=−∞.
lim
−∞ f=−∞ ⇔ ∀A < 0,∃B < 0| ∀x∈I, x 6B⇒f(x)6A.
Remarque : il est possible d’unifier ces neuf définitions à l’aide du concept de voisinage :
Définition 10 Soit f:I→R,a∈Iet l∈R∪{±∞}. On dit alors que fadmet lpour limite
en asi pour tout voisinage Vlde l, il existe un voisinage Vade atel que : ∀x∈I∩Va, f(x)∈ Vl.
Proposition 11 (Unicité de la limite) Soit f:I→R.
1. Si fadmet une limite en a, celle-ci est unique.
2. Si fadmet une limite len aet a∈I, alors l=f(a).
Preuve :
1. similaire à celle pour les suites. En exercice.*
2. On a ∀ε > 0,∃α > 0| ∀x∈I, |x−a|6α⇒ |f(x)−l|6ε.
Comme a∈I, on a toujours a∈I∩]a−α, a +α[ et donc |f(a)−l|6ε. Ainsi pour tout
n∈N∗avec ε=1
n, on a
∀n∈N∗,|f(a)−l|61
n.
En faisant tendre nvers +∞, on obtient |f(a)−l|= 0 puis f(a) = l.

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2.2 Limites à gauche et à droite
Définition 12 Soit f:I→Ret a∈I. On dit que fadmet une limite là gauche (resp. à
droite) en asi la restriction de fàI∩]− ∞, a[(resp.I∩]a, +∞[admet une limite l. On note
alors
lim
x→a,x<a f(x) = l(resp. lim x→a,x>a f(x) = l).
Exemples :
• la fonction inverse en 0
• la fonction indicatrice f=1{2}admet 0 pour limites à gauche et à droite en 2 mais
n’admet pas de limite en 2. On comprend ainsi mieux l’intérêt de la proposition suivante :
Proposition 13 Soit f:I→Ret a∈Iet l∈R∪ {±∞}.
1. Si a∈I, on a lim
af=l⇔lim
x→a,x<a f(x) = lim x→a,x>a f(x) = let f(a) = l.
2. Si a /∈I, on a lim
af=l⇔lim
x→a,x<a f(x) = lim x→a,x>a f(x) = l.
2.3 Comportement local
Proposition 14 Si fadmet une limite finie len a, alors fest bornée au voisinage de a.
Preuve : On suppose que a∈R(le cas a∈ {±∞} se traite de la même façon). Pour ε= 1,
∃α > 0| ∀x∈I, |x−a|6α⇒ |f(x)−l|61.
D’où |f(x)|=|f(x)−l+l|6|f(x)−l|+|l|61 + |l|.Ainsi fest bornée sur I∩[a−α, a +α],
donc au voisinage de a.
Proposition 15 Si fadmet une limite finie l > 0en a, alors fest strictement positive au
voisinage de a.
Preuve : On suppose que a∈R(le cas a∈ {±∞} se traite de la même façon). Pour ε=l
2,
∃α > 0| ∀x∈I, |x−a|6α⇒ |f(x)−l|6l
2.
D’où f(x)>l−ε=l−l
2=l 2>0. Ainsi f > 0 sur I∩[a−α, a +α], donc au voisinage de a.