Mathematiques I - 2001 - Classe Prepa PC

J.5034
A2OOlMathPCl
ÉCOLENATIONALEDESPONTSETCHAUSSÉES.
ÉCOLESNATIONALESSUPÉRlEURESDEL'AÉRONAUTIQUEETDEL'ESPACE,
DETECHNIQUESAVANCÉE~,DESTÉLÉCOM~~ATION~,
DESMINESDEPARIS,DESMINESDESAINT-ÉTIENNE,DESMlNESDENANCY,
DESTÉLÉCOMMUNICA~~NSDEBRETA~E.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière SD).
CONCOURS D’ADMISSION 2001
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
Filière PC
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
(L’usage d’ordinateur ou de cakulette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EM-‘.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MAmMATIQUES 1 -Filière PC.
Cet énoncé comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
NOTATIONS
Soit Vun espace vectoriel réel ; l’espace vectoriel des endomorphismes de l’espace vectoriel Y
est désigné par L( y>. Soitfun endomorphisme de l’espace vectoriel V; l’endomorphisme notéfk,
où k est un entier naturel désigne l’endomorphisme unité Idv si l’entier k est nul, l’endomorphisme
obtenu en composantfk-fois avec lui-même si l’entier k est supérieur ou égal à 1 :
fO = Idv; fk+’ = fk of:
Soit E l’espace vectoriel des polynômes réels ; étant donné un entier naturel n, soit E, l’espace
vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n :
E = R[X] ; E, = Rn[XJ.
Soit D l’endomorphisme de l’espace vectoriel E = R[X] qui, au polynôme Q, fait correspondre
le polynôme dérivé Q’. De même, soit D, I’endomorphisme de l’espace vectoriel E, = RJXj qui,
au polynôme Q, fait correspondre le polynôme dérivé Q’.
L’objet du problème est de rechercher des réels A pour lesquels l’endomorphisme A IdE + D
est égal au composé d’un endomorphisme g de l’espace vectoriel E avec lui-même ; ainsi que des
réels A pour lesquels l’endomorphisme A IdE-, + D, est égal au composé d’un endomorphisme g de
l’espace vectoriel E, avec lui-même.
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Les troisième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des première et
deuxième parties ainsi que des préliminaires.
PRÉLnwNAIRES
Noyaux itérés :
Soient Vun espace vectoriel réel etfun endomorphisme de V.
a. Démontrer que la suite des noyaux des endomorphismesfk, k = 0, 1,2, ._. est une suite de
sous-espaces vectoriels de Vemboitée croissante :
kerfO c kerf’ c kerf* c . . . c kerfk c kerfk+’ c . . .
b. Démontrer que, s’il existe un entierp tel que les noyaux des endomorphismesfJ’ etf@
soient égaux (kerfp = kerJJ’+’ ) , pour tout entier q supérieur ou égal àp, les noyaux des
endomorphismesfq etf*’ sont égaux (kerfq = kerf‘r+” ) ; en déduire la propriété suivante :
pour tout entier k supérieur ou égal àp, kerfk = kerfP.
En déduire que, si l’espace vectoriel Vest de dimension finie n, la suite des dimensions des
noyaux des endomorphismesfk est constante à partir d’un rangp inférieur ou égal à la dimension n
@ 5 n). En particulier les noyaux kerf”, kerf”’ sont égaux.
c. Démontrer que, si l’endomorphisme u d’un espace vectoriel Yde dimension finie n, est tel
qu’il existe un entier q supérieur ou égal à 1 (q > 1 ), pour lequel l’endomorphisme ~4 est nul
(~4 = 0), l’endomorphisme U” est nul (u” = 0).
L’endomorphisme u est dit nilpotent.
PREMIÈRE PARTIE
Le but de cette partie est d’établir des propriétés des endomorphismes g recherchés et de
donner un exemple.
I-l.Une caractérisation des sous-espaces vectoriels stables par g :
Soit A un réel donné.
a. Étant donné un entier naturel n (n E N), soitp un entier naturel inférieur ou égal à l’entier n
(0 5 p 5 n). Démontrer que, s’il existe un endomorphisme g de l’espace vectoriel E, = R,[X],
tel que
g* = AI&” + Dn,
l’endomorphisme g commute avec D, :
goD,=D,og.
En remarquant que le sous-espace vectoriel EP = R,[X’j est égal à ker(D,)pl, démontrer que
EP est stable par l’endomorphisme g de E ,, ; soit g, la restriction de l’endomorphisme g à EP.
Démontrer la relation :
(SP)* = ;1 IdEp + DP.
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b. Démontrer que, s’il existe un endomorphisme g de l’espace vectoriel E = R[XJ, tel que
g2 = AIdE+D,
l’endomorphisme g commute avec D :
goD=Dog.
En déduire que, pour tout entier naturel n, le sous-espace vectoriel E, = Rn[XJ est stable par
l’endomorphisme g et que, si g, est la restriction de l’endomorphisme g à E,, il vient :
(gn)2 = AId, +D,.
c. Soit g un endomorphisme de l’espace des polynômes réels E = R[X’J tel que :
g2 = AIdE+D.
i/ Soit F un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel E de dimension n + 1 stable par
l’endomorphisme D. Démontrer que l’endomorphisme DF, restriction de D à F, est nilpotent.
En déduire que le sous-espace vectoriel F est égal à E, = R,JX]. Déterminer ensuite tous les
sous-espaces vectoriels G de E (de dimension finie ou non) stables par D.
ii/ Démontrer que, pour qu’un sous-espace vectoriel G de E soit stable par l’endomorphisme g,
il faut et il suffit qu’il soit stable par D.
I-2. Une application immédiate : le cas A < 0 :
a. À quelle condition nécessaire sur le réel A existe-t-il un endomorphisme g de l’espace
vectoriel EO = Ro[X] tel que
g2 = AId, +Do?
b. Soit A un réel strictement négatif (A < 0), déduire des résultats précédents les deux
propriétés :
. Il n’existe pas d’endomorphisme g de E tel que :
g2 = ;lIdE+D.
. Il n’existe pas d’endomorphisme g de E, tel que :
g2 = A IdE, +D,.
I-3. Une représentation matricielle simple de D, :
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 1, a un réel.
Matrice AA : soit Aa la matrice carrée d’ordre n + 1 définie par les relations suivantes : ses
coefficients uij, i = 0, 1, . . .n, j = 0, 1, . .., n, sont définis par les relations :
aii = A, aii+l = 1, aij=Osi j*iousi j*i+l.
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C’est-à-dire :
AÂ = 0 a 1 . . . 0
0 0 a . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . a
.
a. Soitfun endomorphisme d’un espace vectoriel Vde dimension fhie n + 1 tel que
l’endomorphismef”’ soit nul sans que l’endomorphismef” le soit :
y+’ = 0, f” # 0.
Démontrer qu’il existe un vecteur y de l’espace vectoriel Vtel que la famille
B = @(y), J”’ (y), . . . . y) soit libre. Quelle est la matrice associée à l’endomorphismefdans la
ba.seB?
b. En déduire qu’il existe une base B, de l’espace vectoriel E, = R,&YJ pour laquelle la
matrice associée à l’endomorphisme II, est la matrice A 0. Que vaut la matrice associée à
l’application A IdE,, + D, dans cette base B, ?
I-4. Un exemple :
Dans cette question l’entier n est égal à 2.
a. Démontrer que les seuls endomorphismes h de & qui commutent avec l’endomorphisme 02
sont les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 en Dz :
h = aIdE, +bD2 +C(D~)?
a, b, c sont trois réels.
b. En déduire qu’il existe des endomorphismes g de Ez qui vérifient la relation suivante :
g= = 1 Id, + D2.
Déterminer les matrices carrées G d’ordre 3 qui vérifient la relation suivante :
G= = Al.
DEUXIÈMEPARTIE
L’objet de cette partie est d’étudier le cas où le réel il est nul. Dans cette partie l’entier n est
supposé donné supérieur ou égal à 1.
II-l. Existence d’un endomorphisme g tel que g2 = D, :
a. Montrer que, s’il existe un endomorphisme g de l’espace vectoriel E, = Rn[$j tel que
g2 = D,, alors l’endomorphisme g est nilpotent et le noyau de l’endomorphisme g2 a une
dimension au moins égale à 2 (dim kerg2 L 2).
b. En déduire qu’il n’existe pas d’endomorphisme g de l’espace vectoriel E, = Rn[XJ tel que
g= = D,.
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c. En déduire qu’il n’existe pas d’endomorphisme g de l’espace vectoriel E = R[X’J tel que
g2 = D.
II-2. Existence d’un endomorphisme g tel que & = D” :
Soit m un entier supérieur ou égal à 1 (m z 1) et k un entier supérieur ou égal à 2 (k 1: 2). Soit
g un endomorphisme de l’espace vectoriel E = R[X] tel que la relation ci-dessous soit vérifiée :
gk = D”.
a. Démontrer que les deux endomorphismes D et g sont smjectis.
b. Démontrer que les sous-espaces vectoriels de E, kergq ont des dimensions finies lorsque
l’entier q est inférieur ou égal à l’entier k (0 5 q 5 k).
c. Soit p un entier supérieur ou égal à 2 et tiérieur ou égal à k (2 5 p 5 k). Soit @
l’application définie dans l’espace vectoriel kergp par la relation :
Démontrer que cette application @ est une application linéaire de kergp dans l’espace vectoriel
kergP-’ . Quel est le noyau de l’application @ ? Démontrer que l’application Q, est subjective
(Yho = Kergq.
En déduire une relation entre les dimensions des sous-espaces vectoriels kergp et kerg@ .
Quelle est la dimension de l’espace vectoriel kergp en fonction de la dimension de l’espace
vectoriel ker g ?
d. Déterminer une condition nécessaire et stisante sur les entiers k et m pour qu’il existe au
moins un endomorphisme g de l’espace vectoriel E tel que gk = D”. Retrouver le résultat de la
question II-1 .c.
TROI!3l&MEPARTIE
L’entier strictement positif n est supposé fixé. Dans cette partie, l’espace vectoriel E, = R,[X]
est muni de la base B, définie à la question 1-3.b. La matrice associée à l’application 1~~ est la
matrice 1,1 ; la matrice associée à l’endomorphisme D,, est désignée par le même symbole D,.
Étant donné un réel il supposé strictement positif (A > 0), soit L, l’application de R dans
l’espace des matrices carrées réelles d’ordre n + 1, A&+I (R) qui, au réel t associe la matrice L,
définie par la relation suivante :
L(t) = &)k-l$(Dn)k,
k=l
La matrice (D,)k est le produit k-fois avec elle-même de la matrice D,.
III-l. Dérivée de l’application t c-+ (L,(I))~ :
a Démontrer que, pour tout t réel, la matrice 1 ,,+l + t D, est inversible et que son inverse, noté
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