Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - CNED - 1M005

Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - CNED - 1M005 - Devoir n◦ 3
Ce devoir est censé servir comme test en prévision de l’examen. À faire en 2h.
Rédiger de façon claire et justifier rigoureusement les réponses.
On considère que ce devoir demande 2h de travail au maximum.
Exercice 1.
I. Les propositions suivantes sont vraies ou fausses ? on reportera juste sur la copie le numéro
de la question et la lettre "V" ou "F" a coté.
1) Il existe une matrice diagonalisable qui a déterminant nul et tous ses valeurs propres différents
de zéro.
2) Le noyaux K de l’application f représentée par une matrice carrée de determinant nul est
un espace vectoriel K = {~v | f (~v ) = ~0} non nul.
3) Le vecteur nul est un vector propre de valeur propre zéro.
4) Soit M une matrice 2 × 2 carrée. Soient ~v1 , ~v2 des vecteurs propres de M de valeurs propres
distincts. Alors, ~v1 et ~v2 ne sont pas colinéaires.
5) Une matrice diagonalisable ayant tous ses vecteurs propres égaux à 1 où à −1 satisfait
M n = M pour tout n impair.
6) Soit M une matrice carrée. Soient ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn des vecteurs propres de M de valeurs propres
λ1 , λ2 , . . . , λn , respectivement. Si λi 6= λj pour tout i 6= j (c.-à-d. les valeurs propres sont tous
distincts), alors ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn sont linéairement indépendants.
5
2
II. Soit A la matrice constituée de deux colonnes :
et
.
2
5
1) Montrer qu’elle a deux valeurs propres distincts.
2) Pour chaque valeur propre λ trouver un vecteur propre de valeur propre λ.
3) Les vecteurs propres trouvés à la question précédente sont ils indépendants ?
4) Écrire une matrice inversible P telle que P −1 M P soit diagonale.
Exercice 2.
On considère l’application de variable réelle et à valeurs réels définie par
f : x 7→ f (x) = ln(x2 + 1) cos(2x).
1)
2)
3)
4)
5)
Calculer la dérivée de f .
Calculer le développement limité de ln(x2 + 1) au voisinage de x = 0 à l’ordre 4.
Écrire la formule du développement limité de cos(x) au voisinage de x = 0 en tout ordre.
En déduire le développement limité de f (x) au voisinage de x = 0 à l’ordre 4.
Pour x qui tend vers 0, déterminer la limite de
ln(x2 + 1) cos(2x) − x2
.
x4
1
Exercice 3.
I. Soit f une fonction à valeurs dans R, de variable réelle, continue. Soit ϕ une function de
classe C 1 sur un intervalle [a, b] dont l’image est contenue dans le domaine de définition de f .
1) Rappeler la formule d’integration par changement de variables qui permet de calculer l’intégral
Z ϕ(b)
f (x)dx.
ϕ(a)
2) Énoncer la formule de l’integration par parties.
3) Calculer
Z π/2
cos2 tdt
0
(on peut par exemple utiliser la réponse au point 2 et 1 = cos2 x + sin2 x).
4) Calculer
Z 1√
1 − x2 dx.
0
(on peut par exemple utiliser la réponse au point 1).
5) Démontrer, à l’aide des calculs précédents, que l’air d’un disque de rayon 1 est égale à π.
II. Considérer l’équation différentielle
1
y 0 (t) + y(t) = e−t √
.
1 − t2
1)
2)
3)
4)
Écrire l’équation homogène associée et la résoudre.
Résoudre enfin l’équation initiale.
Trouver, si elle existe, une solution qui satisfait y(0) = −1.
Trouver, si elle existe, une solution qui satisfait limt→−∞ y(t) = +∞.
Exercice 4.
I. Probabilités conditionnelles. On a 10000 dés à six faces. Una moitié est constituée de dés
normaux ; c.-à-d. des dés où on a la même probabilité d’obtenir 1, ou bien 2, ou bien 3, ou bien
4, ou bien 5, ou bien 6. L’autre moitié est truquée et la probabilité d’obtenir 6 est égale à 50%.
On choisit un dé parmi les 500 dés donnés et on obtient 6. Quelle est la probaque le dé soit
truqué ?
II. On suppose maintenant que tous les dés soient normaux. On lance simultanément les 10000
dés et on compte un point pour un dé qui affiche un nombre pair et 0 points pour un dé
qui affiche un nombre impair. À l’aide du théorème central limite (T.C.L.) calculer une valeur
approchée de la probabilité d’obtenir plus que 4900 points.
2