Les espaces compacts

CHAPITRE 5
Les espaces compacts
Définition
Soit (E, d) un espace métrique. On dit qu’il est précompact si pour tout ε > 0 on peut recouvrir E par un nombre
fini de sous-ensembles de diamètre 6 ε.
Une partie F de E est dite précompacte si le sous-espace métrique (F, d) est précompact.
Remarque
Si (E, d) est précompact alors ses sous-ensembles le sont aussi.
Exemple
Dans R, tout intervalle [a, b] est précompact. En effet, pour tout ε > 0, soit n ∈ N tel que b−a
n < ε. On recouvre
b−a
b−a
b−a
[a, b] par [a, a + b−a
]
∪
[a
+
,
a
+
2
]
∪
·
·
·
∪
[a
,
b].
Donc
les
précompacts
de
R
sont
les bornés.
n
n
n
n
Propriétés
Soit (E, d) un espace métrique. On a les équivalences suivantes :
1. (E, d) est précompact
2. ∀ε > 0, ∃F ⊂ E fini tel que dist(x, F ) S
6 ε ∀x ∈ E
3. ∀ε > 0, ∃x1 , . . . , xn ∈ E tels que E = B(xi , ε)
i
Démonstration : (1) =⇒ (2) Supposons 1. alors ∃F1 , . . . , Fn avec diam(Fi ) 6 ε et E =
S
Fi . On choisit xi ∈ Fi et on pose
i
F = {x1 , . . . , x
n }. Donc ∀x ∈ E, ∃i tel que x ∈ Fi =⇒ d(x, xi ) 6 ε et donc dist(x, F ) 6 ε.
S
(2) ⇐⇒ (3) Exprimer que ∀x, ∃i tel que x ∈ B(x, ε), c’est-à-dire que E = B(xi , ε).
i
(3) =⇒ (1) Évident.
Remarque
La précompacité n’est pas une notion topologique. C’est par contre une notion uniforme.
Remarque
Soit (E, d) et F ⊂ E. F est précompact si ∀ε > 0, ∃E1 , . . . , En ⊂ E tels que diam(Ei ) 6 ε et F ⊂ Ei .
Propriétés
Soit (E, d) un espace métrique.
1. Toute réunion de parties précompactes est précompacte.
2. La fermeture d’une partie précompacte est précompacte.
3. Le produit d’espaces précompacts est précompact.
Démonstration
: 1. Évident
S
S d’après la remarque.
2. F ⊂ Ei alors Fs ubset Fi et diam(E1 ) = diam(Ei ) 6 n
N
Q
S j
j
3. E =
Ek où (Ek , dk ) est un espace métrique et d(x, y) = sup dk (xk , yk ). Ek = Ekk dk -diamètre (Ekk ) 6 ε et E =
k
k=1
N
Q
Ek =
k=1
S
j1 ,j2 ∈I
E1j1
×
E2j2
× ··· ×
jN
EN
.
Corollaire
Les précompacts de Rd sont les bornés.
Propriétés
Soit (E, d) est un espace métrique et F ⊂ E.
1. Si F est complet alors F est fermé dans E.
2. Si (E, d) est complet alors F est fermé dans E si (F, d) est complet.
–1–
jk
Définition
Soit (E, d) un espace métrique. On dit que (E, d) est compact s’il est précompact et complet.
Propriétés
1.
2.
3.
4.
Un produit d’espaces compacts est compact.
Si (E, d) et F ⊂ E. Si F est compact alors F est fermé et borné.
Si (E, d) est compact, alors (F, d) est compact si et seulementsi F est fermé dans E.
Soit (E, d) complet, alors F ⊂ E est compact si et seulement si F est précompact et fermé dans E.
Démonstration : 1. C’est clair.
2. F est fermé car (F, d) est complet.
3. F est précompact. Comme E est complet, F est complet si et seulement si F est fermé.
4. (E, d) étant complet, F est complet si et seulement si F est fermé dans E.
Corollaire
Les compacts de RN sont les fermés bornés.
Théorème
Soit (E, d) un espace métrique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. (E, d) est compact
2. De toute suite (xn ) ⊂ E on peut extraire une sous-suite convergente.
3. De tout recouvrement (Oi )i∈I de E par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement
Remarque
Bien que la précompacité et la complétude ne soient pas des notions topologiques (mais uniformes), la compacité
elle est une notion topologique.
Théorème
Soit (E1 , d1 ) un espace compact et (E2 , d2 ) un espace métrique et f : (E1 , d1 ) −→ (E2 , d2 ) continue. Alors f (E1 )
est un compact de E2 .
S
S −1
Oi . Alors E1 ⊂ f −1
Oi =
f (Oi ).
i∈I
i∈I
i∈I
S
S
f −1 (Oi ) est ouvert car f est continue. Or, E1 étant compact, ∃J ⊂ I finie tel que E1 ⊂
f −1 (Oi ) =⇒ f (E1 ) ⊂
Oi .
Démonstration : Soit (Oi )i∈I une famille d’ouverts de E2 telle que f (E1 ) ⊂
S
i∈I
i∈I
Théorème
Soit f : (E, d) −→ R continue. Si (E, d) est compact alors f est bornée et atteint ses bornes.
Démonstration : Soit M = sup f (x). Alors ∃(xn )n ⊂ E tel que f (xn ) −−−−−→ M . Alors il existe une sous-suite (xϕ(n) ) telle
n→+∞
x∈E
que xϕ(n) −−−−−→ x̄ ∈ E. Donc f (xϕ(n) ) −−−−−→ M et f (xϕ(n) ) −−−−−→ f (x̄) et donc M = f (x̄). Donc ∃x̄ ∈ E tel que
n→+∞
n→+∞
n→+∞
sup f (x) = f (x̄). Soit m = inf f (x). Alors ∃(yn ) ⊂ E tel que f (yn ) −−−−−→ m. Donc ∃(yϕ(n) ) ⊂ E telle que yϕ(n) −−−−−→ ȳ.
n→+∞
x∈E
x∈E
n→+∞
D’où f (yϕ(n) ) −−−−−→ m et f (yϕ(n) −−−−−→ ȳ et donc m = f (ȳ).
n→+∞
n→+∞
Théorème
Soit f : (E1 , d1 ) −→ (E2 , d2 ) une fonction continue et bijective. Si E1 est compact alors f est bicontinue (f −1 est
continue).
Démonstration : Montrons que (f −1 )−1 de tout fermé est un fermé. Donc, soit F un fermé de E1 . Comme E1 est compact,
alors F est compact et donc f (F ) est compact. D’où f (F ) est un fermé de E2 .
Proposition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Toutes les normes sur E sont équivalentes.
n
n
P
P
Démonstration : Soit (e1 , . . . , en ) une base de E. Alors tout x ∈ E s’écrit x =
xi ei où xi ∈ R. On pose ν0 (x) =
|xi |.
i=1
i=1
n
n
n
P
P
P
Alors, ν0 est une norme. Soit N : E −→ R8+ une norme. On a N (x) = N
xi ei 6
N (xi ei ) =
|xi |N (ei ) 6
i=1
–2–
i=1
i=1
n
P
max N (ei )
16i6n
|xi | = cν0 (x).
i=1
Rn
−→
E
 
x1
n
P
Soit Rn muni de la norme
|xi | et T :
. T est linéaire bijective. On a ν0 (T x) = kxk1 . Soit S1
 
x =  ...  7−→ X =
xi ei

i=1


i=1

xn
la sphère unité de Rn . Elle est fermé et bornée, donc compacte. Donc la sphère unité de E est compacte. Alors N (x) 6 cν0 (x) ∀x
implique que N (x − y) 6 cν0 (x − y). D’où |N (x) − N (y)| 6 N (x − y). On en déduit que |N (x) − N (y)| 6 cν0 (x − y). Donc
N : (E, ν0 ) −→ R+ est continue. Soit Sb1 la sphère unité de (E, ν0 ). Donc N : Sb1 −→ R+ est continue et Sb1 est compacte. Donc,
b
∃x̄∈ Sb1 tel que N (x) > N (x̄)
∀x ∈ S1 . (On a N (x̄) 6= 0 car x̄ 6= 0.) Donc si ν0 (x) = 1 =⇒ N (x) > c = N (x̄) ∀x ∈ E,





n
P
ν0
x
ν0 (x)
= 1 =⇒ N
x
ν0 (x)
> c =⇒ N (x) > N (x) > cν0 ∀x 6= 0.
Remarque
Ce résultat est faux en dimension infinie.
Exempe
Soit E = C([0, 1]) avec kf k1 =
R1
0
|f (x)| dx et kf k∞ = sup |f (x)|.
x∈[0,1]
On a kf k1 6 kf k∞ . Mais kf k∞ 6 ckf k1 ∀f est impossible car pourfn (x) = xn , kfn k∞ = 1 et kfn k1 =
1
n+1 .
Théorème
Soit f : (E1 , d1 ) −→ (E2 , d2 ) continue. Si (E1 , d1 ) est compact, alors f est uniformément continue.
Démonstration : Il faut montrer que ∀ε > 0, ∃α > 0 tel que d1 (x, y) 6 α =⇒ d2 (f (x), f (x)) 6 ε. Par l’absurde, partons de
de ∃ε > 0 tel que ∀α > 0, ∃xα , yα ∈ E1 tels que d1 (xα , yα ) 6 α mais d2 (f (xα ), f (yα )) > ε. On prend α = n1 , ∃xn , yn ∈ E1
tels que d1 (xn , yn ) = n1 et d2 (f (xn j), f (yn )) > ε. (E1 , d1 ) étant compact, ∃(xϕ(n) )n convergente vers x̄ alors d(xϕ(n) , yϕ(n) 6
1
−−−−−→ 0. Comme xϕ(n) −−−−−→ x̄ alors yϕ(n) −−−−−→ x̄. Or, d2 (f (xϕ(n) ), f (yϕ(n) )) > ε ∀n d’où la contradiction. Donc
ϕ(n)
n→+∞
n→+∞
n→+∞
f : E1 −→ E2 est bien uniformément continue.
Théorème
Soit (E, k·k) un espace vectoriel normé. Si une boule de rayon r > 0 est précompacte alors E est de dimension
finie.
Tout d’abord, on a
Lemme de Riesz
Soit (E, k·k) un espace vectoriel normé et F ( E un sous-espace fermé. Alors, ∀ε > 0, ∃xε ∈ E tel que kxε k = 1
et dist(x, F ) > 1 − ε.
ε
Démonstration du lemme : Soit x ∈ E tel que x ∈
/ F . Soit δ = dist(x, F ) > 0. ∀ε > 0, ∃yε ⊂ F tel que δ 6 kx − yε k 6 δ + 1−ε
δ
x−yε
x−yε
1
δ
δ
(ε < 1). Soit xε = kx−yε k . Soit y ∈ F quelconque, kxε − yk = y − kx−yε k = kx−yε k kkx − yε ky + yε − xk > kx−yε k > δ+ ε δ .
1−ε
On a donc kxε − yk > 1 − ε ∀y ∈ F . D’où dist(xε , F ) > 1 − ε.
Démonstration du théorème : On vérifie facilement que l’image d’un précompact par une application uniformément continue
est précompact. Comme les trasnlations et les homothéties sont uniformément continues, on peut, sans perte de généralité,
supposer que la boule est centrée en 0 et a un rayon r > 1.
Supposons que B(0, r) (r > 1) est précompacte. Donc B(0, 1) est précompacte. Soit ε = 14 , alors ∃Z = {x1 , . . . , xn } ⊂ B(0, 1) tel
que dist(x, Z) 6 14 ∀x ∈ B(0, 1) (?). Soit F l’espace vectoriel engendré par Z. Comme F ⊃ Z alors dist(x, F ) 6 dist(x, Z) ∀x.
Montrons que F = E. Par l’absurde, supposons que F =
6 E. Alors comme F est finie, F est compact et donc F est fermé dans E.
Par le lemme de Riesz, ∃x ∈ E tel que kxk = 1 et dist(x, F ) > 1 − 14 = 34 . Donc dist(x, Z) > 34 ce qui contredit (?). Donc F = E
et E est de dimension finie.
Théorème d’Arzela-Ascoli
Soit E = C([0, 1], C) muni de la norme kf k = sup |f (x)|. Une partie H de E est précompacte si et seulement si
x∈[0,1]
1. H est borné i. e. ∀c > 0, sup |f (x)| 6 c ∀f ∈ H
x∈[0,1]
2. H est équicontinue : ∀x̄ ∈ [0, 1], ∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que |x − x̄| 6 δ =⇒ |f (x) − f (x̄)| 6 ε ∀f ∈ H.
–3–