Les espaces compacts

CHAPITRE 5
Les espaces compacts
Définition
Soit ( E, d )un espace métrique. On dit qu’il est précompact si pour tout ε > 0on peut recouvrir E par un nombre
fini de sous-ensembles de diamètre 6ε.
Une partie Fde Eest dite précompacte si le sous-espace métrique (F, d)est précompact.
Remarque
Si (E, d)est précompact alors ses sous-ensembles le sont aussi.
Exemple
Dans R , tout intervalle [ a, b ]est précompact. En effet, pour tout ε > 0, soit n∈N tel que
b−a
n< ε
. On recouvre
[a, b]par [a, a +b−a
n]∪[a+b−a n, a + 2b−a n]∪ · · · ∪ [ab−a n, b]. Donc les précompacts de Rsont les bornés.
Propriétés
Soit (E, d)un espace métrique. On a les équivalences suivantes :
1. (E, d)est précompact
2. ∀ε > 0,∃F⊂Efini tel que dist(x, F )6ε∀x∈E
3. ∀ε > 0,∃x1, . . . , xn∈Etels que E=S
i
B(xi, ε)
Démonstration : (1) =⇒(2) Supposons 1. alors ∃F1,...,Fn avec diam ( Fi ) 6ε et E =
S
i
Fi . On choisit xi∈Fi et on pose
F={x1,...,xn}. Donc ∀x∈E,∃itel que x∈Fi=⇒d(x, xi)6εet donc dist(x, F )6ε.
(2) ⇐⇒ (3) Exprimer que ∀x,∃itel que x∈B(x, ε), c’est-à-dire que E=S
i
B(xi, ε).
(3) =⇒(1) Évident.
Remarque
La précompacité n’est pas une notion topologique. C’est par contre une notion uniforme.
Remarque
Soit (E, d)et F⊂E.Fest précompact si ∀ε > 0,∃E1, . . . , En⊂Etels que diam(Ei)6εet F⊂Ei.
Propriétés
Soit (E, d)un espace métrique.
1. Toute réunion de parties précompactes est précompacte.
2. La fermeture d’une partie précompacte est précompacte.
3. Le produit d’espaces précompacts est précompact.
Démonstration :1. Évident d’après la remarque.
2. F⊂SEialors Fsubset SFiet diam(E1) = diam(Ei)6n
3. E =
N
Q
k=1
Ek où ( Ek, dk )est un espace métrique et d ( x, y ) = sup
k
dk ( xk, yk ). Ek =
S
jk
Ejk
kdk
-diamètre ( Ejk
k
) 6ε et E =
N
Q
k=1
Ek=S
j1,j2∈I
Ej1
1×Ej2 2× · · · × EjN
N.
Corollaire
Les précompacts de Rdsont les bornés.
Propriétés
Soit (E, d)est un espace métrique et F⊂E.
1. Si Fest complet alors Fest fermé dans E.
2. Si (E, d)est complet alors Fest fermé dans Esi (F, d)est complet.
– 1 –

Définition
Soit (E, d)un espace métrique. On dit que (E, d)est compact s’il est précompact et complet.
Propriétés
1. Un produit d’espaces compacts est compact.
2. Si (E, d)et F⊂E. Si Fest compact alors Fest fermé et borné.
3. Si (E, d)est compact, alors (F, d)est compact si et seulementsi Fest fermé dans E.
4. Soit (E, d)complet, alors F⊂Eest compact si et seulement si Fest précompact et fermé dans E.
Démonstration :1. C’est clair.
2. Fest fermé car (F, d)est complet.
3. Fest précompact. Comme Eest complet, Fest complet si et seulement si Fest fermé.
4. (E, d)étant complet, Fest complet si et seulement si Fest fermé dans E.
Corollaire
Les compacts de RNsont les fermés bornés.
Théorème
Soit (E, d)un espace métrique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. (E, d)est compact
2. De toute suite (xn)⊂Eon peut extraire une sous-suite convergente.
3. De tout recouvrement (Oi)i∈Ide Epar des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement
Remarque
Bien que la précompacité et la complétude ne soient pas des notions topologiques (mais uniformes), la compacité
elle est une notion topologique.
Théorème
Soit ( E1, d1 )un espace compact et ( E2, d2 )un espace métrique et f: ( E1, d1 ) −→ ( E2, d2 )continue. Alors f ( E1 )
est un compact de E2.
Démonstration : Soit ( Oi )
i∈I
une famille d’ouverts de E2 telle que f ( E1 ) ⊂S
i∈I
Oi . Alors E1⊂f−1S
i∈I
Oi =
S
i∈I
f−1 ( Oi ).
f−1(Oi)est ouvert car fest continue. Or, E1étant compact, ∃J⊂Ifinie tel que E1⊂S
i∈I
f−1(Oi) =⇒f(E1)⊂S
i∈I
Oi.
Théorème
Soit f: (E, d)−→ Rcontinue. Si (E, d)est compact alors fest bornée et atteint ses bornes.
Démonstration : Soit M = sup
x∈E
f ( x ). Alors ∃ ( xn )
n⊂E
tel que f ( xn ) −−−−−→
n→+∞M
. Alors il existe une sous-suite ( xϕ(n) )telle
que xϕ(n)−−−−−→
n→+∞¯x∈E
. Donc f ( xϕ(n) ) −−−−−→
n→+∞M
et f ( xϕ(n) ) −−−−−→
n→+∞f
( ¯x )et donc M = f ( ¯x ). Donc ∃¯x∈E tel que
sup
x∈E
f ( x ) = f ( ¯x ). Soit m = inf
x∈Ef
( x ). Alors ∃ ( yn ) ⊂E tel que f ( yn ) −−−−−→
n→+∞m
. Donc ∃ ( yϕ(n) ) ⊂E telle que yϕ(n)−−−−−→
n→+∞¯y
.
D’où f(yϕ(n))−−−−−→
n→+∞met f(yϕ(n)−−−−−→ n→+∞¯yet donc m=f(¯y).
Théorème
Soit f: ( E1, d1 ) −→ ( E2, d2 )une fonction continue et bijective. Si E1 est compact alors f est bicontinue ( f−1 est
continue).
Démonstration : Montrons que ( f−1 )
−1
de tout fermé est un fermé. Donc, soit F un fermé de E1 . Comme E1 est compact,
alors Fest compact et donc f(F)est compact. D’où f(F)est un fermé de E2.
Proposition
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Toutes les normes sur Esont équivalentes.
Démonstration : Soit ( e1,...,en )une base de E . Alors tout x∈E s’écrit x =
n
P
i=1
xiei où xi∈R . On pose ν0 ( x ) =
n
P
i=1
|xi| .
Alors, ν0 est une norme. Soit N:E−→ R 8+ une norme. On a N ( x ) = Nn
P
i=1
xiei6
n
P
i=1
N ( xiei ) =
n
P
i=1
|xi|N ( ei ) 6
– 2 –

max
16i6nN(ei)n
P
i=1
|xi|=cν0(x).
Soit Rn muni de la norme
n
P
i=1
|xi| et T:
Rn−→ E
x=
x1
.
.
.
xn
7−→ X=n
P
i=1
xiei
. T est linéaire bijective. On a ν0 ( T x ) = kxk1 . Soit S1
la sphère unité de Rn . Elle est fermé et bornée, donc compacte. Donc la sphère unité de E est compacte. Alors N ( x ) 6cν0 ( x ) ∀x
implique que N ( x−y ) 6cν0 ( x−y ). D’où |N ( x ) −N ( y ) |6N ( x−y ). On en déduit que |N ( x ) −N ( y ) |6cν0 ( x−y ). Donc
N: ( E, ν0 ) −→ R+ est continue. Soit
b
S1 la sphère unité de ( E, ν0 ). Donc N:b S1−→ R+ est continue et
b
S1 est compacte. Donc,
∃¯x∈b S1 tel que N ( x ) >N ( ¯x ) ∀x∈b S1 . (On a N ( ¯x ) 6 = 0 car ¯x6 = 0.) Donc si ν0 ( x ) = 1 = ⇒N ( x ) >c = N ( ¯x ) ∀x∈E ,
ν0x
ν0(x)= 1 =⇒Nx ν0(x)>c=⇒N(x)>N(x)>cν0∀x6= 0.
Remarque
Ce résultat est faux en dimension infinie.
Exempe
Soit E=C([0,1]) avec kfk1=R1
0|f(x)|dxet kfk∞= sup
x∈[0,1]
|f(x)|.
On a kfk16kfk∞. Mais kfk∞6ckfk1∀fest impossible car pourfn(x) = xn,kfnk∞= 1 et kfnk1=1
n+1 .
Théorème
Soit f: (E1, d1)−→ (E2, d2)continue. Si (E1, d1)est compact, alors fest uniformément continue.
Démonstration : Il faut montrer que ∀ε > 0, ∃α > 0tel que d1 ( x, y ) 6α = ⇒d2 ( f ( x ) , f ( x )) 6ε . Par l’absurde, partons de
de ∃ε > 0tel que ∀α > 0, ∃xα, yα∈E1 tels que d1 ( xα, yα ) 6α mais d2 ( f ( xα ) , f ( yα )) > ε . On prend α =
1
n
, ∃xn, yn∈E1
tels que d1 ( xn, yn ) =
1
n
et d2 ( f ( xnj ) , f ( yn )) > ε .( E1, d1 )étant compact, ∃ ( xϕ(n) )
n
convergente vers ¯x alors d ( xϕ(n), yϕ(n)6
1
ϕ(n)−−−−−→
n→+∞
0. Comme xϕ(n)−−−−−→
n→+∞¯x
alors yϕ(n)−−−−−→
n→+∞¯x
. Or, d2 ( f ( xϕ(n) ) , f ( yϕ(n) )) >ε∀n d’où la contradiction. Donc
f:E1−→ E2est bien uniformément continue.
Théorème
Soit ( E, k·k )un espace vectoriel normé. Si une boule de rayon r > 0est précompacte alors E est de dimension
finie.
Tout d’abord, on a
Lemme de Riesz
Soit ( E, k·k )un espace vectoriel normé et F(E un sous-espace fermé. Alors, ∀ε > 0, ∃xε∈E tel que kxεk = 1
et dist(x, F )>1−ε.
Démonstration du lemme : Soit x∈E tel que x /∈F . Soit δ = dist ( x, F ) > 0. ∀ε > 0, ∃yε⊂F tel que δ6kx−yεk6δ +
ε
1−εδ
( ε < 1). Soit xε =
x−yε
kx−yεk
. Soit y∈F quelconque, kxε−yk =
y−x−yε
kx−yεk
=
1
kx−yεkkkx−yεky+yε−xk>δ kx−yεk>δ δ+ε
1−εδ
.
On a donc kxε−yk>1−ε∀y∈F. D’où dist(xε, F )>1−ε.
Démonstration du théorème : On vérifie facilement que l’image d’un précompact par une application uniformément continue
est précompact. Comme les trasnlations et les homothéties sont uniformément continues, on peut, sans perte de généralité,
supposer que la boule est centrée en 0 et a un rayon r > 1.
Supposons que B (0 , r )( r > 1) est précompacte. Donc B(0,1) est précompacte. Soit ε =
1
4
, alors ∃Z = {x1,...,xn} ⊂ B(0,1) tel
que dist ( x, Z ) 61
4∀x∈B
(0 , 1) ( ? ). Soit F l’espace vectoriel engendré par Z . Comme F⊃Z alors dist ( x, F ) 6dist ( x, Z ) ∀x .
Montrons que F = E . Par l’absurde, supposons que F6 = E . Alors comme F est finie, F est compact et donc F est fermé dans E .
Par le lemme de Riesz, ∃x∈E tel que kxk = 1 et dist ( x, F ) > 1 −1
4
=
3
4
. Donc dist ( x, Z ) >3
4
ce qui contredit ( ? ). Donc F = E
et Eest de dimension finie.
Théorème d’Arzela-Ascoli
Soit E = C ( [ 0 , 1 ],C )muni de la norme kfk = sup
x∈[0,1]
|f ( x ) | . Une partie H de E est précompacte si et seulement si
1. Hest borné i. e. ∀c > 0,sup
x∈[0,1]
|f(x)|6c∀f∈H
2. Hest équicontinue : ∀¯x∈[0,1],∀ε > 0,∃δ > 0tel que |x−¯x|6δ=⇒ |f(x)−f(¯x)|6ε∀f∈H.
– 3 –