TD4

U.F.R. de Mathématiques
Licence de Mathématiques
S6, M66, année 2013-2014
Probabilités, fiche de T.D. no4
Ex 1. Un couple discret
On suppose que le couple de variables aléatoires discrètes X, Y a une loi donnée
par :
i, j N2, P X i, Y j α
1i j !,
où αest une constante strictement positive qui sera précisée ultérieurement.
1) Expliquer sans calcul pourquoi les marginales Xet Yont même loi.
2) On pose S X Y . Montrer que :
kN, P S k α
k!.
3) En déduire la valeur de αet reconnaître la loi de S.
4) Calculer P X 0. Les variables aléatoires Xet Ysont-elles indépendantes ?
5) Donner sans calcul l’espérance de Set en déduire la valeur de EX. La même
méthode peut-elle servir pour obtenir Var X?
6) Calculer P X Y et en déduire sans calcul P X Y .
Ex 2. Usagers et usagères à la poste
Le nombre de personnes entrant dans un bureau de poste un jour donné est une
variable de Poisson Sde paramètre α. Chaque nouvel arrivant est un arrivant avec
probabilité pet une arrivante avec probabilité q. On se propose de montrer que le nombre
Xd’hommes et le nombre Yde femmes entrant dans le bureau de poste au cours d’une
journée sont deux variables de Poisson indépendantes de paramètres respectifs pα et qα.
1) Calculer P X i, Y j S n pour tout entier net tout couple i, j tel que
i j n.
2) Quelle est la loi du vecteur X, Y ?
3) En déduire les lois de Xet Y.
Ex 3. Lois de Poisson multidimensionnelles
Soit α α1, . . . , αdun vecteur de Rdà composantes toutes strictement positives.
On dit que X X1, . . . , Xdsuit la loi de Poisson de paramètre αsi
k1, . . . , kdNd, P X1k1, . . . , Xdkdeα1αdαk1
1. . . αkd
d
k1!. . . kd!(1)
1) Vérifiez que (1) définit bien une loi de probabilité discrète sur Rd.
2) Que peut-on dire des lois marginales de X?
3) Soit Iun sous-ensemble de 1, d ayant au moins deux éléments. On pose XI
i I Xi. Quelle est la loi de XI?

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Ex 4. Encore un vecteur à marginales uniformes
On considère la fonction hdéfinie sur R2par :
h x, y 1
41 sin πx sin πy 11,12x, y .
1) Vérifier que hest une densité de probabilité.
2) Soit X, Y un vecteur aléatoire dont la loi a pour densité h. Montrer que Xet
Ysuivent la loi uniforme sur 1,1. Calculer Cov X, Y . Les variables aléatoires X
et Ysont elles indépendantes ?
Ex 5. Densité et forme linéaire
Montrez que si le vecteur aléatoire X X1, . . . , Xdest à densité, toute combinaison
linéaire a1X1adXdavec au moins un des ainon nul est une variable aléatoire à
densité.
Ex 6. Tir à l’arc
Dans un stand de tir à l’arc, un archer vise une cible placée sur une grande palissade
(assimilée à un plan vertical). On munit ce plan d’un repère orthonormé de centre celui de
la cible, l’axe des abscisses étant horizontal et celui des ordonnées vertical. On modélise
le point d’impact de la flèche par le vecteur aléatoire gaussien X, Y de densité :
f:x, y 1
2πσ2exp x2y2 2σ2.
Intuitivement le paramètre σmesure l’adresse du tireur. Pour εpositif fixé, plus σest
petit, plus grande sera la probabilité que la flèche atteigne un point à distance inférieure
àεdu centre.
1) Montrer sans calcul que Xet Ysont indépendantes et de même loi que l’on
précisera.
2) On se propose dans cette question de déterminer la loi du vecteur image de
X, Y par un passage en coordonnées polaires. On note ∆ : R0et ϕ:R2∆
0, π, π le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonées polaires pour
le plan privé de la demi-droite ∆. C’est un C1-difféomorphisme dont l’inverse ϕ1est
donné par :
r, u 0, π, π , x, y ϕ 1r, u r cos u, r sin u .
L’évènement Ω : ωΩ; X ω , Y ω R2∆est de probabilité 1puisque PX, Y
∆∆f x, y dxdy0. On pose pour tout ωΩ,R ω , U ω ϕ X ω , Y ω
et on admet qu’il est possible de prolonger R, U à tout Ωde façon à en faire une ap-
plication mesurable, donc un vecteur aléatoire. Comme PΩ Ω 0, la façon dont on
effectue ce prolongement, pourvu qu’il soit mesurable, n’influence pas la loi de R, U .
Déterminer la loi du vecteur aléatoire R, U par sa densité. En déduire que Ret Usont
indépendantes et donner la loi de Ret celle de U.
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Probabilités M66 2013–14
Ex 7. Un vecteur gaussien
Soit X, Y un vecteur aléatoire à valeurs dans R2dont la densité est donnée par :
f x, y 1
π3e2
3x2xy y2
1) Quelle est la loi de X Y ?
2) Calculer les lois marginales de Xet Y. Ces deux variables aléatoires sont-elles
indépendantes ?
Ex 8.
Soit U, V un vecteur aléatoire de densité get X, Y tel que X U2V2et Y V .
Calculer la densité fdu couple X, Y en fonction de g.
Ex 9. Densité isotrope
Soit X, Y un couple de v.a.r. dont la loi possède une densité f x, y g x2y2
par rapport à la mesure de Lebesgue sur R2. Déterminer la loi de la v.a.r. TY
X
Ex 10. Covariances d’une loi multinomiale 1
On considère une suite de népreuves répétées indépendantes, chaque épreuve ayant
krésultats possibles r1, . . . , rk. On note pila probabilité de réalisation du résultat rilors
d’une épreuve donnée. Par exemple si on lance nfois un dé équilibré, k6et pi1 6
pour 1i6. Pour 1i k, notons Xile nombre de réalisations du résultat riau
cours des népreuves.
1) Expliquer sans calcul pourquoi Var X1Xk0.
2) Quelle est la loi de Xi? Que vaut sa variance ?
3) Pour i j, donner la loi et la variance de XiXj.
4) En déduire Cov Xi, Xj.
5) Contrôler ce résultat en développant Var X1Xket en utilisant la première
question.
Ex 11.
1) Vérifier que la fonction g u, v 1
4π1π,π u1π
2,π 2vcos vpeut s’interpréter
comme la densité de probabilité d’un couple U, V de variables aléatoires réelles.
2) On définit :
Xcos Ucos V , Y sin Ucos V , Z sin V
et on note Wle vecteur X, Y, Z . Sur quel sous-ensemble de R3la loi de West-elle
concentrée ? Cette loi est-elle à densité ?
3) Calculer l’espérance et la matrice de covariance de W.
4) Les variables X, Y, Z sont-elles non correlées ?
5) Quelle est la loi de Z? Quelle est la loi du couple X, Y ? Quelles sont les lois
de Xet de Y?
6) Quelle est la loi de Y, Z ; les variables X, Y, Z sont-elles indépendantes ?
1. Il n’est pas nécessaire de connaître la loi multinomiale pour pouvoir faire cet exercice.
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Ex 12.
Soit Xune variable aléatoire réelle de loi à densité f x αeαx 1Rxet Yde
loi à densité g y 1
2π10,2πy.Xet Yétant supposées indépendantes, on pose U
Xcos Y,V X sin Y.
1) Quelle est la loi du couple U, V ?
2) Quelle est la loi de U, celle de V?
3) Uet Vsont-elles indépendantes ?
Ex 13.
Le couple aléatoire X, Y de R2a pour densité
f x, y xex y 1Rx1Ry .
On pose Umin X, Y ,Vmax X, Y .
1) Sur quelle portion Adu plan u, v la loi conjointe du couple U, V est-elle
concentrée ? Montrer que sur Acette loi admet une densité gde la forme
g u, v u v eu v .
2) Calculer l’espérance et la matrice de covariance du couple U, V .
Ex 14. Autour de la loi Gamma
On dit qu’une variable Xsuit une loi Γλ, a avec λ0, a 0si elle admet une
densité par rapport à la mesure de Lebesgue égale à :
fλ,a x
λaxa1
Γaeλx si x0,
0sinon.
On note Γa0ua1eudu.
1) Calculer Γa1en fonction de Γa,a0. En déduire Γn n N. Calculer
EX , Var X. Montrer que pour tout couple a, b ,a0,b0:
ΓaΓbΓa b B a, b où B a, b
1
0
ta11tb1dt.
2) Soient X, Y deux v.a. indépendantes, Xde loi Γλ, a ,Yde loi Γλ, b . On pose
U X Y et VX
X Y . Calculer la loi du vecteur aléatoire U, V , la loi de U, la loi
de V; les v.a. Uet Vsont-elles indépendantes ? Calculer Γ1
2en choisissant a b 1 2.
3) Soit ZX
Y. Donner la densité de Z;EZet Var Zexistent-elles toujours ?
4) Soient Xi i 1nnv.a. indépendantes de loi normale centrée réduite. Donner les
lois de X2
iet de Sn
i1X2
i; retrouver Γ1
2.
5) Soient Xi i 1nnv.a. indépendantes telles que Xisuit la loi Γλ, ai,
Sn
i1Xiet TiXi
S. Calculer la loi du vecteur aléatoire S, T1, . . . , Tn1. Quelle est
la loi de S, quelle est la loi du vecteur aléatoire T1, . . . , Tn1? Les v.a. T1, T2Tn1
sont-elles indépendantes ?
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Probabilités M66 2013–14
Ex 15. Somme de deux v.a. indépendantes
Calculer la loi de la somme de deux v.a. Xet Yindépendantes et de même loi dans
les trois cas suivants :
a) Xet Ysont de loi uniforme sur 0, θ .
b) Xet Ysont de loi exponentielle de paramètre a.
c) Xet Ysont de loi de Poisson de paramètre a.
Ex 16. Une somme mixte
On définit sur le même espace probabilisé une variable aléatoire Nà valeurs dans N
et une variable aléatoire Ude loi uniforme sur 0,1. On pose X N U .
1) Montrez que la fonction de répartition Fde Xest continue sur R.
2) On suppose désormais que Net Usont indépendantes. Montrez que Fest affine
par morceaux. Donnez une méthode simple pour tracer le graphe de Fà partir de celui
de la f.d.r de N.
3) Montrez que Xest à densité et donnez une expression de cette densité à l’aide
des pkP N k .
Ex 17. Produit d’une v.a. discrète par une uniforme
Soient Xet Ydeux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé
Ω,F, P et indépendantes :Xest une variable aléatoire discrète à valeurs dans Ndont la
loi est donnée par P X k pk,kN, et Yest de loi uniforme sur 0,1. Déterminer
la fonction de répartition Fde la variable aléatoire XY . Que peut on dire de F? La loi
de XY est-elle à densité ?
Ex 18. La méthode de Box Muller
Il s’agit d’une méthode de simulation de variables gaussiennes N0,1à partir d’un
générateur de variables de loi uniforme sur 0,1. Elle repose sur le résultat suivant. Si
U1et U2sont indépendantes et de loi uniforme sur 0,1, les variables aléatoires
X: 2 ln U1
1 2 cos 2πU2et Y: 2 ln U1 1 2 sin 2πU2
sont indépendantes et de même loi N0,1.
1) Quelle est la loi du vecteur U1, U2?
2) En déduire la loi de X, Y par changement de variable et conclure.
Ex 19. Loi uniforme sur l’hypographe d’une densité
Soit fune densité de probabilité sur Ret Gson hypographe :
G:x, y R R ; 0 y f x .
Soit M Z, Y un vecteur aléatoire de R R de loi uniforme sur G. Vérifiez que la loi
de la variable aléatoire Za pour densité f.
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