Exercices : variables aléatoires discrètes, indépendance

Lycée Max Linder Terminale S
Exercices : variables aléatoires
discrètes, indépendance
Exercice :
X est la variable aléatoire, qui à un élève donné, associe le nombre de connexions journalières à un
réseau social. La loi de X est donnée ci-dessous.
Nombre de connexions k0 1 2 3 4
P(X = k) 0,05 0,2 0,31 a0,17
. Déterminer la valeur de a.
. Calculer et interpréter P(X 62).
. Calculer et interpréter l’espérance de la variable aléatoire X.
Exercice :
Les faces des dés de Sicherman sont numérotées 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 et 4 sur l’un des dés et 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 et 8
sur l’autre. On lance les deux dés. On note S1la somme des numéros obtenues.
On lance deux dés classiques et on note S2la somme des deux numéros. Comparer les lois de S1et S2.
On pourra s’aider d’un tableau à double entrée des résultats pour chaque situation.
Exercice :
Un dé à 6 , marquées de 1 à 6, est tel que la probabilité d’apparition d’une face est proportionnelle à sa
valeur. On lance une fois ce dé, et on note X le nombre sorti.
. Déterminer la loi de la variable aléatoire X.
. Calculer l’espérance de X.
. Généraliser avec un dé à nfaces.
Exercice :
On lance deux fois de suite un dé à 6 faces non truqué.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque expérience, associe le nombre de « » obtenus.
. L’algorithme ci-dessous permet de compter le nombre de « 6 » obtenus pour une simulation.
Traitement :
Affecter à cla valeur 0
Pour ivariant de 1 à 2
Affecter à aun nombre aléatoire entier entre 1 et 6
Si a= 6
Alors cprend la valeur ...
Fin Si
Fin Pour
Sortie : Afficher c
(a) Quel rôle joue la variable c?
(b) Compléter cet algorithme.
. Modifier cet algorithme afin de simuler 1 000 simulations de l’expérience.
. Déterminer la loi de la variable aléatoire X.
Exercice :
Représenter un schéma de Bernoulli à 4 répétitions. En déduire les valeurs de n
k!pour k∈~0;4.
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Exercice :
On lance cinq fois de suite un dé bien équilibré à 20 faces (« icosaèdre »), et on s’intéresse à l’apparition
de la face « 13 ». On note X la variable aléatoire donnant le nombre de fois où cette face apparaît à
l’issue des cinq lancers.
Reconnaître la loi suivie par la variable aléatoire X et en déduire la valeur de P(X = 4).
Exercice :
La prévalence (fréquence d’apparition) du daltonisme en France est de 8,5 % pour un homme et de
0,4 % pour une femme.
. On choisit au hasard 20 hommes dans la population française. Quelle est la probabilité d’obtenir
au moins deux daltoniens ?
. On choisit au hasard 50 femmes dans la population française. Quelle est la probabilité d’obtenir
au moins une daltonienne ?
Exercice :
Dans un club de tir, le meilleur tireur touche une cible 19 fois sur 20. On note T la variable aléatoire
égale au nombre de tirs réussis par ce tireur lors d’une série de 5 tirs. Les tirs sont supposés
indépendants.
. Préciser la loi de la variable aléatoire T et la représenter graphiquement.
. Quelle est la probabilité que ce tireur réussi exactement trois tirs ?
. Calculer et interpréter P(T >4).
. Calculer et interpréter E(T) et σ(T).
Exercice :
A et B sont deux événements indépendants tels que P(A) = 1
4et P(B) = 1 3.
Calculer P(A ∩B) et P(A ∪B).
Exercice  :
A et B sont deux événements indépendants tels que P(A) = 0,4 et P(B) = 0,7.
. Les événements A et B sont-ils incompatibles ? Justifier.
. Calculer et comparer PA∪Bet PA∩B
Exercice  :
A et B sont deux événements de probabilités non nulles. Indiquer si les affirmations suivantes sont
vraies ou fausses en justifiant.
. Si A et B sont indépendants, alors ils ne sont pas incompatibles.
. Si A et B sont incompatibles, alors ils sont indépendants.
. Si A et B sont indépendants, alors A et A∪B le sont aussi.
. Si A et B sont indépendants, alors A et A∩B le sont aussi.
. Si A et B sont indépendants, alors pour tout événement C, A ∩C et B ∩C le sont aussi.
Exercice  :
La duchesse d’Aquitaine et celle de Bourgogne attendent chacun l’héritier de leur duché. On pose :
A : « l’héritier d’Aquitaine est un
garçon »
B : « l’héritier de Bourgogne est
un garçon »
C : « les deux héritiers sont de
même sexe »
. Calculer la probabilité de l’événement C.
. Étudier l’indépendance de A et B, A et C et B et C.
. A-t-on P(A ∩B∩C) = P(A) ×P(B) ×P(C) ?
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