PROBABILITES VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE: Définition : E

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PROBABILITES
1. VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE:
a. Définition :
E, un ensemble fini de résultats d’une expérience aléatoire
p une probabilité définie sur E
Une
est une application définie sur E et
à valeurs dans ℝ.


b. Remarques :
Une variable aléatoire est généralement notée par :
Soit k un nombre réel, l’événement « X prend la valeur k » est noté :

Une variable aléatoire est :
lorsque l’ensemble E est fini.
c. Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et on lit le
numéro de la face supérieure. Si le numéro est 1,2 ou 3 : on gagne 4 €. Si le
numéro obtenu est 4 ou 5, on gagne 1€.Si le numéro obtenu est 6, on perd 5€.
On définit ainsi une variable aléatoire G qui au numéro obtenu associe le gain du
joueur.
Quelles sont les valeurs prises par G ? :
2. LOI DE PROBABILITE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE :
a. Définition :
E est l’ensemble fini des issues d’une expérience aléatoire.
x1 , x2 , … , xn sont les valeurs prises par une variable aléatoire discrète X définie
sur E.
Définir
de X c’est associer à chaque valeur
xi(avec 1  i  n ), la probabilité de l’événement ( X=xi )
b. Remarque : On présente souvent la loi de probabilité d’une variable aléatoire par
un tableau de valeurs.
c. Déterminer la loi de probabilité de G :
Gain xi (en euro )
P(G=xi)
3. SAVOIR-FAIRE : déterminer une loi de probabilité exercice résolu page 220.
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PROBABILITES
4. ESPERANCE :
a. Définition :
X est une variable aléatoire réelle prenant les valeurs x1 , x2 , … , xn avec les
probabilités : p1 ,p2 , …pn .
est le nombre noté E(X) =
b. Propriété
Pour une expérience donnée,
lorsque N devient grand.
c. Jeu équitable
Définition : E est l’ensemble des issues d’un jeu de hasard.
X est la variable aléatoire définie sur E qui donne le gain du joueur.
On dit que :
d. dans le cas de l’exemple précédent :
5. EXERCICE : Objectif Bac
Voici les règles d’un jeu de hasard. Un joueur mise 3 euros puis lance un dé équilibré à
six faces numérotées de 1 à 6.

S’il obtient un chiffre pair, le joueur reçoit, en euros, le double du chiffre
obtenu.


S’il obtient 1 ou 3, le joueur reçoit 1 euro.
Sinon, il ne reçoit rien.
X est le gain, éventuellement négatif, du joueur, en tenant compte de la mise de départ.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Calculer l’espérance de X : E(X) puis interpréter.