Dynamique du point matériel en repère non galiléen - leprof

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Leçon physique ext 2000
Dynamique du point matériel en repère non galiléen. Exemples. Cas des
référentiels géocentrique & terrestre (PCSI)
A. Bibliographie :
• Ellipses Mécanique Newtonienne du point (le meilleur) : chapitre V. Pour la définition des repères,
voir le chapitre III, & voir le chapitre II pour la composition des accélérations.
• Hachette : Mécanique II, deux chapitres (1 & 2). Pour le programme. Définition étrange du repère
galiléen. Moyen. Pour la composition des accélérations, voir le tome Mécanique I, chapitre 7.
• Tec & Doc mécanique 1ère année, chapitre 9. Moyen, léger pour les marées.
• Dunod : Mécanique I, chapitre 16 (les développements sur la déviation vers l’est & le pendule de
Foucault sont hors sujet). Original mais Ellipses semble plus clair.B. Plan :
B. Plan :
I. RELATION FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE
1. Enoncé en repère non galiléen
2. Exemples
3. Théorème de l’énergie cinétique
4. Théorème du moment cinétique
II. DYNAMIQUE DANS UN REPERE TERRESTRE :
1. Référentiel galiléen
2. Définition des référentiels
3. Lien entre pesanteur & gravitation
4. Applications
III. LES MAREES

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C. Exemple :
I. RELATION FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE :
1. Enoncé en repère non galiléen : introduire le repère absolu Ra galiléen & le repère relatif R
non galiléen. Dans Ra, la RFD s'écrit :
Fam 
.
. La loi de composition des accélérations
cera aaaa  
conduit à la RFD dans R :
cer FFFam 
.
, où l'on a ajouté les forces d'inertie
aux vraies forces. On en déduit que, avec le principe d’équivalence (
)
gi mm 
:
er aga  
. Rappeler
que :
).(2rc VmF 
.
2. Exemples : envisager deux cas simples (problèmes de statique) :
 Mouvement d'entraînement de translation : pendule & aquarium dans un wagon uniformément
accéléré. Alors la force de Coriolis est nulle. La verticale (pendule) est déviée de  (avec
g
ae
tan
), comme l'horizontale (eau). La loi physique simple (verticale orthogonale à
l’horizontale) est vraie dans tout repère, même accéléré : c’est le Principe d’Equivalence,
fondement de la Théorie de la Relativité Générale.
 Mouvement d'entraînement de rotation : équilibre relatif d'un vase en rotation (manip). La force de
Coriolis est nulle (équilibre), il reste la force d'entraînement centrifuge
m r²
. La surface libre est
un paraboloïde => Manip. Ou bien : pendule conique.
3. Théorème de l’énergie cinétique : alors il faut tenir compte du travail de la force d’inertie
d’entraînement, celui de la force de Coriolis étant toujours nul. Pour une rotation uniforme (
cste
),
la force d’entraînement dérive du potentiel :
22
2
1rmWe
.
4. Théorème du moment cinétique : il faut ajouter au moment des forces extérieures celui des
forces d’inertie.
II. DYNAMIQUE DANS UN REPERE TERRESTRE :
1. Référentiel galiléen : rappeler la « bonne définition » d’un référentiel galiléen : l’espace y est
homogène & isotrope, & le temps s’y écoule de façon uniforme.
2. Définition des référentiels : on appelle référentiel géocentrique R* un repère centré au centre
d'inertie de la Terre, dont les axes sont dirigés vers des étoiles fixes, & où l'axe des pôles est supposé
fixe, comme le centre de masse G. R* est en mouvement de translation par rapport au référentiel Ro de
Copernic. On appelle référentiel terrestre R un repère non galiléen, lié à la Terre, en rotation uniforme
autour de l'axe des pôles.
3. Lien entre pesanteur & gravitation : raisonner sur l'équilibre d'un fil à plomb situé au point
M, qui décrit dans R* un cercle de rayon HM = R.cos  ( étant la latitude). Alors la force de Coriolis
est nulle, & la condition d'équilibre dans R s'écrit :
0
 e
FAmT
, où
A
est le champ gravitationnel
(dû essentiellement à la Terre) &
T
la tension du fil. On définit le poids par
T P  0
, & le champ de
pesanteur par
P mg
, soit
HMAg ². 
. Le champ de pesanteur
g
est donc constitué du champ
gravitationnel
A
& du terme centrifuge
HM
2
qui détruit la symétrie sphérique.

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4. Applications : rapide ! l’application essentielle est le phénomène de marée.
 Chute vers l’est : la rotation de la Terre (vecteur ) se manifeste sur la chute des corps par la force
de Coriolis, donc une déviation vers l'est des trajectoires. Ce phénomène se manifeste également par
une usure inégale des deux voies du TGV pour une ligne Nord - Sud.
 Pendule de Foucault : sous l’influence de la force de Coriolis, le plan d’oscillation du pendule
tourne lentement à la vitesse angulaire
sin
.
 Ecoulement des fluides (mouvements des vents des cyclones ou vidange d’un évier) : toujours
l’influence de la force de Coriolis : sens trigo dans l’hémisphère Nord, sens des aiguilles d’une
montre dans l’hémisphère Sud.
III. LES MAREES :
Les notations sont celles du volume d’Ellipses. Si
A
est le champ de gravitation, on appelle
champ de marées la quantité
)()()( GAMAMC  
, où G est le centre d’inertie de la Terre. Alors la
RFD s'écrit, dans le repère R* :
mdv
dt F m C M
  . ( )
, en appelant
F
la somme de toutes les vraies
forces (en excluant donc les forces d'inertie) à l'exception de la force gravitationnelle. C'est ce terme de
marées qui distingue le repère R* d'un repère galiléen, fait souvent négligeable sauf dans l'étude des
marées. Le terme de marées diminue à mesure que la source du champ de gravitation s’éloigne, & donc
on ne tiendra compte que de l’influence de la Lune, soit
L
C
. On calcule, en appelant RT le rayon
terrestre & DTL la distance Terre - Lune :
TL
TL
TL
TL
TL
TTL
LLLL e
D
RGm
e
D
RD
GmGAEAEC 
 .
2
.
11
.)()()( 322
11 
après DL. De même :
TL
TL
TL
TL
TL
TTL
LLLL e
D
RGm
e
D
RD
GmGAEAEC 
 .
2
.
11
.)()()( 322
22 
& les deux termes
sont opposés. On a marée haute en ces points, & marée basse en E2 & E4. La période de révolution
lunaire vaut
jours 32,27
2
L
L
T
, & la période de rotation terrestre vaut
heures 24
2
T
T
T
. Le
mouvement apparent de la lune correspond à :
24h54mnjour 40,1
132,27 1.32,27 
 TL
LT
appLTapp TT TT
T
.
E1 & E3 étant équivalents, il y a deux marées hautes par jour, séparées de
12h27mn
2
app
T
.