VIII- Exemples de problèmes:
Exemple 1:
Un grossiste en fleurs dispose de 395 roses blanches et 553 roses rouges.
Il veut constituer le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ces fleurs.
a) Combien de bouquets pourra-t-il constituer?
b) Quelle sera la composition de chaque bouquet?
Explication:
Si l'on appelle n le nombre de bouquets, a le nombre de roses blanches dans un bouquet, b le
nombre de roses rouges dans un bouquet, on a:
a x n =395 et b x n = 553
Ou encore:
a = 395 : n et b= 553 : n
Comme a et b sont des entiers, cela signifie que n est un diviseur commun à 395 et 553.
De plus, on veut le plus grand nombre de bouquets, donc n est le PGCD de 395 et 553.
Rédaction:
a) Le nombre de bouquets est le PGCD de 395 et 553.
En utilisant l'algorithme d'Euclide on trouve: PGCD(395,553) = 79
Le grossiste pourra donc constituer 79 bouquets
b) 395 : 79 = 5 et 553 : 79 =7
Donc chaque bouquet contiendra 5 roses blanches et 7 roses rouges.
Exemple 2:
On veut carreler une pièce rectangulaire de 7,20 m de longueur et 5,60 m de largeur avec des
dalles carrées, toutes identiques, en utilisant le moins de dalles possible.
a) Quel doit être, en centimètre, le côté d'une de ces dalles?
b) Combien de dalles utilisera-t-on ?
Explication:
Convertissons les mesures en cm: 7,20 m = 720 cm et 5,60 m = 560 cm
Si l'on appelle n le côté d'une dalle, a le nombre de dalles dans le sens de la longuer, b le
nombre de dalles dans le sens de la largeur, on a:
a x n =720 et b x n = 560
Ou encore:
a = 720 : n et b= 560 : n
Comme a et b sont des entiers, cela signifie que n est un diviseur commun à 720 et 560.
De plus, on veut utiliser le moins de dalles possible. Il faut donc que le côté de ces dalles soit
le plus grand possible.Donc n est le PGCD de 720 et 560.
Rédaction:
a) Le côté d'un carré, en cm, est le PGCD de 720 et 560.
En utilisant l'algorithme d'Euclide on trouve: PGCD(720,560) = 80
Le côté d'une dalle sera donc 80 cm
b) 750 : 80 = 9 et 560 : 80 = 7
On utilise donc 7 rangées de 9 dalles
9 x 7 = 63
On utilisera donc.63 dalles
4