TD de Mathématiques, PT

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1 Espaces vectoriels 3
1.1 Indication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Corrections des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Déterminants 15
3 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 28
3.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Fonction dérivable 43
5 Intégration sur un segment 46
5.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Séries numériques 50
6.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Espace préhilbertien 54
7.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8 Intégrales impropres 65
8.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9 Courbes planes 76
10 Enveloppe, développée, développantes 78
10.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11 Equation différentielle 88
11.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
12 Séries entières 97
12.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
13 Espace euclidien 105
13.1 Indication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13.2 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14 Série de Fourier 114
15 Intégrales à paramètre 116
15.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
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16 Forme quadratiques, coniques, quadriques 123
16.1 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
17 Topologie euclidienne 128
18 Calcul différentiel 131

TD 1 – Espaces vectoriels
■Établir qu’une famille est libre, génératrice
Exercice 1
Pour tout x ∈, on pose f ( x ) = x cos( x )et g ( x ) = x sin( x ). Montrer que la famille (cos,sin, f , g )est libre
dans le -espace vectoriel F(,).
Exercice 2
Justifier que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels, puis préciser leur dimension :
1. E =(
a b
b a
!,(
a , b )∈2);
2. F =
Ó a 0
0 a b
0 c d
,(Ó, a , b , c , d )∈5 .
Exercice 3
Vérifier que les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de 4. Déterminer pour chacun
d’eux sa dimension, et une de ses bases.
1. F =n( x , y , z , t )∈4| x + y − z + t = 0o.
2. G =n( x , y , z , t )∈4| x + y = z + t = 0o.
Exercice 4
Soit E un -espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E . On suppose qu’il existe
un entier p >1tel que
up
−1,0et
up = 0.
1. Justifier l’existence d’un vecteur x de E tel que up
−1(
x ),0.
2. Montrer que la famille  x , u ( x ), u
2(
x ),..., up
−1(
x )est libre.
3. En déduire que p 6 n , puis que un = 0.
Exercice 5
Soit E un -espace vectoriel de dimension n , on note E
∗=L(
E ,)l’ensemble des formes linéaires sur
E .
1. Quelle est la dimension de E
∗?
2. Soit ( e
1,...,
en )une base de E .
a) Soit k ∈~1, n . Justifier l’existence d’une unique forme linéaire ï
k
telle que :
∀ i ∈~1, n , ï
k
( ei ) = 
1si i = k
0sinon.
b) Montrer que la famille (ï1,...,ï
n
)est une base de E
∗.
c) Soit èune forme linéaire sur E , déterminer les coordonnées de èdans la base (ï1,...,ï
n
).
Exercice 6
Soit fp la fonction définie sur par fp ( x ) = sin( px ).
1. Soit p et q deux entiers. Calculer I ( p , q ) = Zá
0
fp ( x ) fq ( x )d x .
2. Montrer que la famille  fp )
p ∈∗est libre dans le -espace vectoriel des fonctions de dans .
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TD 1 – Espaces vectoriels
■Justifier que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires
Exercice 7
Soit E un -espace vectoriel de dimension 3. On considère la base B= ( e
1,
e
2,
e
3)de
E . D désigne la
droite vectorielle engendrée par le vecteur ê1= e
1+ 3
e
2−
e
3et
P le plan engendré par les vecteurs
ê2= e
1−
e
3et ê3= 2
e
1−
e
2.
1. Montrer que D et P sont supplémentaires dans E .
2. Soit p la projection sur P parallèlement à D . Déterminer MatB( p ).
3. On pose q = Id− p , justifier que q est un projecteur. Déterminer son image et son noyau.
Exercice 8
Soit E le -espace vectoriel constitué des fonctions à valeurs réelles, de classe ∞sur . On pose
F =n f : x 7→ Ýcos( x ) + Ôsin( x )|(Ý,Ô)∈2oet G =n g ∈ E , g (0) = g (á/2) = 0o.
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E .
2. Justifier qu’ils sont supplémentaires dans E .
Exercice 9
Soit n >1un entier.
1. Montrer que M
n
() = Vect( In )⊕ker(Tr).
2. Soit p le projecteur sur Vect( In )parallèlement à ker(Tr). Pour toute matrice M de M
n
(), détermi-
ner p ( M ).
3. Soit M ∈M
n
(). Quelle est la projection de M sur ker(Tr) parallèlement à Vect( In )?
■Étudier une application linéaire
Exercice 10
Soit n >2un entier. On désigne par u l’application définie sur M
n
()par :
∀ A ∈M
n
(), u ( A ) = A + Tr( A ) In .
1. Montrer que u est un endomorphisme de M
n
().
2. Établir que u est un isomorphisme.
3. Montrer que u
2−(
n + 2) u + ( n + 1)IdM
n
()= 0.
4. En déduire une expression de u
−1en fonction de
u , n et Id
E
.
5. On suppose dans cette question que n = 2.
a) Déterminer la matrice de u dans la base ( E
11,
E
12,
E
21,
E
22)de M2().
b) Justifier que cette matrice est inversible, puis déterminer son inverse.
Exercice 11
Soit E un -ev de dimension 4de base B= ( e
1,
e
2,
e
3,
e
4)et soit
f l’endomorphisme de E dont la
matrice dans la base Best
A =
0−1−1 0
−1 0 0 −1
1 0 0 1
0 1 1 0
.
1. Montrer que f est de rang 2.
2. Déterminer, en fonction des vecteurs de B, une base de ker f et une base de Im f .
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TD 1 – Espaces vectoriels
3. En déduire que Im f = ker f . Sans calculs, déterminer A
2.
4. On pose F = Vect( e
1,
e
2). Montrer que
F et ker f sont supplémentaires dans E .
5. Déterminer une base Cadaptée à la décomposition E = F ⊕ker f . Donner la matrice de f dans cette
base.
6. Déterminer la matrice de passage P entre la base Bet C. Exprimer P
−1. Que vaut
P
−1
AP ?
Exercice 12 (Ensam PT)
On pose E =
n
[ X ], n >3. Soit a , b et c des réels. Pour tout polynôme P de E , on pose :
æ( P ) = Q où Q ( X ) = aP ( X + 2) + bP ( X + 1) + cP ( X ).
1. Montrer que æest un endomorphisme de E . Que peut-on dire de sa matrice dans la base canonique
de E ?
2. Montrer que æest un automorphisme de E si et seulement si a + b + c ,0.
3. Soit P ∈ E , on pose æ( P ) = Q . Montrer que :
Q ( X ) = ( a + b + c ) P ( X ) +
n
¼
k =1
( a 2
k
+ b )
P
( k )(
X )
k !.
4. On suppose que a + b + c = 0.
Montrer que Imæ=
n −1[
X ]si et seulement si 2 a + b ,0.
Exercice 13
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphisme de E . Montrer que les proposi-
tions suivantes sont équivalentes :
(i) ker f et Im f sont supplémentaires dans E ;
(ii) f et f
2ont même rang ;
(iii) f et f
2ont même noyau.
■Effectuer un calcul matriciel
Exercice 14
Une matrice A de M2()est dite nilpotente s’il existe un entier k tel que Ak = 0. On note Nl’ensemble
des matrices nilpotentes de M2().
1. Soit M ∈M2(). Montrer que M
2−Tr(
M ) M + det( M ) I
2= 0.
2. Montrer que A ∈ N si et seulement si det( A ) = 0 et Tr( A ) = 0.
3. Établir que Vect(N) = n A ∈M2()|Tr( A ) = 0o.
Exercice 15
Soit a
1,...,
ann réels non tous nuls et A =
a
1
a
1···
a
1
a
2
a
2···
a
2
.
.
..
.
..
.
.
anan ··· an
.
1. Quel est le rang de A ?
2. Déterminer A
2.
3. Soit s =
n
´
k =1
ak et B = 2 A − sIn . Déterminer B
2, en déduire une une condition nécessaire et suffisante
pour que B soit inversible. Dans ce cas, déterminer B
−1.
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