Terminale ES Devoir à la maison n°5

Terminale ES
Devoir à la maison n°5 : corrigé
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Exercice 1 : n° 11p.221
Le tableau suivant donne la moyenne yi des maxima de tension artérielle en fonction de l’âge xi
d’une population féminine.
âge xi
36
42
48
54
60
66
Tension yi
11,8
14
12,6
15
15,5
15,1
51
14
xi - xb = X
yi - yb = Y
XY
(xi - xb)² =
X²
-15
-2,2
33
225
-9
0
0
81
-3
-1,4
4,2
9
3
1
3
9
9
1,5
13,5
81
15
1,1
16,5
225
70,2
630
a=
b=
XY/X²
yb - axb
0,11
8,32
à 70 ans, x = 70 alors y = 0,11(70) + 8,32
16,12
soit
cela semble normal, et confirmé sur le graphique
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Exercice 2 : n° 36 p.58
1. f est la fonction définie sur [0 ; 60] par : f(x) = 75x² - x3.
a) Calculer f’(x) et étudier le signe de f"(x).
b) Dresser le tableau de variation de f.
la fonction f est une fonction polynôme donc définie et dérivable sur R, donc sur I = [0 ; 60]
on a f’(x) = 150x – 3x² = 3x(50 – x)
f’(x) = 0 ⇔ 3x(50 – x) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 50 les seules valeurs dans I.
x 0
f'
f(x)
0
50
+
60
−
62500
54000
La dérivée s’annule et change de signe en x = 50, donc admet un extremum. La fonction est
croissante sur [0 ;50], puis décroissante sur [50 ;60] donc admet un maximum en x = 50 qui vaut
62500.
c) Tracer la courbe représentative de f dans un repère (unités : 1 cm pour 10 en abscisses et 1 cm
pour 10 000 en ordonnées).
2.À la suite d’une épidémie dans une région, on a constaté que le nombre de malades, n jours
après l’apparition des premiers cas, est donné par f(n) , avec n entier et 0 ≤ n ≤ 60.
Déterminer le jour où le nombre de malades est maximal et donner le nombre de malades ce
jour-là.
Le maximum est atteint en n = 50 et vaut 62500, donc au 50e jour il y a 62500 malades.
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Exercice 3 : n° 32 p.84 - 85
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Dire laquelle ?
2
1. f est la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par: f(x) = - 3x + 5
x²
Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1
est...
a) y = -7x + 3;
b) y = -7x + 11;
c) y = x+3.
4
En effet f est dérivable de dérivée f’(x) = - - 3. L’équation de la tangente en x = 1 est
x
y = f’(1) (x – 1) + f(1) avec f(1) = 4 et f’(1) = -7 d’où le résultat après calculs.
1
2. g est une fonction strictement croissante sur [5 ; 7] et g(5) = -3, g(7) = 1 .On pose h =
g
a) h n’est pas définie sur [5 ; 7] ;
b) h est strictement décroissante sur [5 ; 7] ;
c) h est strictement croissante sur [5 ; 7].
Comme g est strictement croissante sur [5 ; 7] d’une valeur négative -3 à une valeur positive 1,
d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une valeur entre 5 et 7 telle que g
1
s’annule, donc n’est pas définie en cette valeur.
g
2
1
3. F est la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par F(x) =
–
x+1 x
F est une primitive d’une fonction f sur ]0 ; + ∞ [.
Une autre primitive G de f sur ]0 ; + ∞ [ est définie par:
4x + 2
a)
x² + x
3x² + 5x – 2
b)
2(x² + x)
x3 + x² + x – 1
c)
x(x + 1)
Deux primitives d’une même fonction diffère d’une constante, or après calculs, on trouve
3x² + 5x – 2  2 – 1 3
 = ou on peut aussi montrer que G’ = F’
-
2(x² + x) x + 1 x 2
x+1
4. u est la fonction définie sur R par : u(x) =
(x² + 2x + 3)3
Une primitive U de u sur R est définie par...
-1
a)
4(x² + 2x + 3)
-4
b)
(x² + 2x + 3)²
-1
c)
4(x² + 2x + 3)²
-1
En dérivant
on trouve u(x)
4(x² + 2x + 3)²
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