Cours4-Statistiques - Lycée Pierre Gilles de Gennes

Chapitre
4
Statistiques
CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Statistique descriptive, analyse de
données
Caractéristiques de dispersion : variance,
écart-type. •Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer
une série statistique : (moyenne, écart-
type) et (médiane, écart interquartile).
On utilise la calculatrice ou un logiciel pour
déterminer la variance et l’écart-type d’une
série statistique.
Diagramme en boîte. •Étudier une série statistique ou mener
une comparaison pertinente de deux séries
statistiques à l’aide d’un logiciel ou d’une
calculatrice.
Des travaux réalisés à l’aide d’un logiciel
permettent de faire observer des exemples
d’effets de structure lors du calcul de
moyennes.
1

Première S Chapitre 4 - Statistiques
2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

Table des matières
4 Statistiques 1
I - Diagramme en boite (ou boite à moustache) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II - Variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III - Résumé d’une série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Dans ce chapitre, on considère des séries à caractères quantitatifs discrètes ou continues (avec dans le cas d’une
série continue l’hypothèse d’une répartition uniforme à l’intérieur de chaque classe).
Notation
•pest un entier supérieur ou égal à 1;
•x1,x2, ... , xpsont les valeurs ou les centres des classes ;
•n1,n2, ... , npsont les effectifs des valeurs x1,x2, ... , xp;
•f1,f2, ... , fpsont les fréquences des valeurs x1,x2, ... , xp;
•Nest l’effectif total : N=n1+n2+... +np=
p
X
i=1
ni. Donc fi=ni
N∀i= 1,2, ..., p et
p
X
i=1
fi= 1.
I - Diagramme en boite (ou boite à moustache)
On considère une série ordonnée par ordre croissant : x16x26... 6xp.
Méthode pour calculer les quartiles
•Cas d’un caractère quantitatif discret
– Le premier quartile Q1est la valeur xidu caractère dont l’indice iest le plus petit entier supérieur ou égal
àn
4.
– Le troisième quartile Q3est la valeur xidu caractère dont l’indice iest le plus petit entier supérieur ou
égal à 3n
4.
•Cas d’un caractère quantitatif continu
Le premier quartile Q1est l’abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées croissantes d’ordonnée 0,25
et le troisième quartiles Q3est l’abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées d’ordonnée 0,75.
Remarques :
•Une série admet trois quartiles : le deuxième quartile Q2n’est pas utilisé ;
•Attention les calculatrices donnent pour Q1la valeur médiane de la sous série constituée des valeurs de la
série comprises entre la valeur minimale et la valeur médiane ; dans ce cas Q1n’est pas nécessairement une valeur
de la série ce qui est contradictoire avec la définition ci-dessus. Pour retrouver les mêmes résultats que ceux du
cours (lorsqu’ils sont différents), il faut prendre la plus grande valeur de la série inférieure au quartile trouvé par
la calculatrice.
•On peut définir de manière analogue les déciles d’une série : on utilisera en générale seulement le premier
décile D1et la neuvième décile D9.
Un diagramme en boite est un rectangle delimité par Q1et Q3:
3

Première S Chapitre 4 - Statistiques
min max
Q1M e Q3
Q3−Q1
e
On peut également faire apparaître le premier et le neuvième décile de la série, ainsi que les valeurs extrêmes qui
sont en dehors de l’intervalle interdécile.
min max
D1D9
Q1M e Q3
Exemple 1
Exercice 22 du livre (avec utilisation de la calculatrice).
II - Variance et écart type
Définition 1
La variance d’une série statistique est notée Vet a pour valeur :
V=n1(x1−x)2+n2(x2−x)2+... +np(xp−x)2
n1+n2+... +np
=1
N
p
X
i=1
ni(xi−x)2(moyenne des carrés des écarts).
On note s=√Vl’écart type de la série.
Théorème 1
La variance peut aussi se calculer des deux manières suivantes :
(1) V=
p
X
i=1
fi(xi−x)2. (2) V=1
N
p
X
i=1
nix2
i−x2.
Démonstration
(1) V=1
N
p
X
i=1
ni(xi−x)2=
p
X
i=1
ni
N(xi−x)2=
p
X
i=1
fi(xi−x)2;
(2) V=1
N
p
X
i=1
ni(xi−x)2=1
N
p
X
i=1
ni(x2
i−2xix+x2) = 1
N
p
X
i=1
nix2
i−2x1
N
p
X
i=1
nixi
|{z }
x
+x21
N
p
X
i=1
ni
|{z }
N
.
V=1
N
p
X
i=1
nix2
i−2x2+x2=1
N
p
X
i=1
nix2
i−x2.
Remarque : Dans la pratique, on utilise la formule (2) pour calculer la variance.
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Première S Chapitre 4 - Statistiques
Exemple 2
Une équipe de football dresse le bilan de sa dernière saison :
Nombre de buts marqués par match 0 1 2 3 4 5
Nombre de matchs 17 23 13 7 4 1
Le nombre moyen de buts marqués par match est : x=17 ×0 + 23 ×1 + 13 ×2 + 7 ×3 + 4 ×4 + 1 ×5
17 + 23 + 13 + 7 + 4 + 1 =91 65 = 1,4.
La variance est :
V=1
65 (17 ×02+ 23 ×12+ 13 ×22+ 7 ×32+ 4 ×42+ 1 ×52)−91 65 2
=227
91 −8281 4225 =6474 4225 ≃1,53.
Donc, l’écart-type est s=r6474
4225 =√6474 65 ≃1,24.
Théorème 2
(1) La moyenne xest la valeur qui minimise la fonction de dispersion des carrés des écarts, notée d,
définie par : d(x) =
p
X
i=1
ni(xi−x)2.
(2) La médiane M e est la valeur qui minimise la fonction de dispersion des écarts absolus, notée fet
définie par f(x) =
p
X
i=1
ni|xi−x|oà x1< x2< ... < xp.
Remarque : L’écart type, contrairement à la variance, possède la même unité que les valeurs de la série, il
permet de mesurer la dispersion de la série autour de la moyenne.
III - Résumé d’une série statistique
Résumer une série, c’est indiquer la répartition des données en utilisant différents indicateurs. Deux questions
peuvent alors être posées :
•Autour de quelle valeur centrale les données sont-elles réparties ?
•Quelle est l’importance de la dispersion des données autour de cette valeur centrale ?
On utilise habituellement un paramètre de position indiquant un tendance centrale et un paramètre de dispersion.
Ainsi pour résumer une série, on peut déterminer puis, interpréter suivant l’étude désirée, l’un des couples définis
dans le tableau ci-dessous :
Paramètre de tendance centrale Paramètre de dispersion Propriété
médiane : Me écart interquartile : Q3−Q1peu sensible aux valeurs extrêmes
moyenne : xécart-type : ssensible aux valeurs extrêmes
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