Fonctions trigonométriques réciproques

ULCO-IUT GTE 2012-2013
TP, Math´ematiques DUT App 1
Fonctions trigonom´ etriques r´ eciproques
Exercice 1. (Bijections)
a) Qu’est-ce qu’une bijection ? Donner une d´efinition et des exemples.
Iet J´etant deux intervalles de R. On dit qu’une fonction f:(I−→ J
x7→ f(x)est une bijection si
les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :
a) fconserve la diff´erence, c’est `a dire x16=x2⇒f(x1)6=f(x2). On dit dans ce cas que fest
injective. En particulier les fonctions strictement monotones sont injectives.
b) Tout ´el´ement de l’intervalle Jest l’image d’un ´el´ement de I. On dit dans ce cas que fest
surjective.
Voici quelques exemples :
f:(R−→ R
x7→ xest une bijection.
g:([−1,1] −→ [−1,1]
x7→ xest une bijection.
h:([−1,1] −→ [−2,2]
x7→ xn’est pas une bijection. Elle n’est pas surjective, par exemple 2 n’est
l’image d’aucun r´eel de l’intervalle [-1,1].
u:(R−→ R
x7→ x2n’est pas une bijection. Elle n’est ni injective ni surjective.
v:(R+−→ R
x7→ x2n’est pas une bijection. Elle est injective mais pas surjective.
w:(R+−→ R+
x7→ x2est une bijection.
b) Montrer que la restriction `a l’intervalle [0, π] de la fonction cos ainsi que les restrictions `a [−π
2,π 2]
et `a ] −π
2,π 2[, respectivement des fonctions sin et tan sont des bijections.
Tra¸cons le tableau de variation de la fonction ([0, π]−→ [−1,1]
x7→ cos(x):
x
cos(x)
0π
11
−1−1
Cette fonction est injective car elle est strictement d´ecroissante. Elle est surjective car, comme on
le voit sur le tableau, tout r´eel de l’intervalle [−1,1] a bien un ant´ec´edent sur [0, π].

Le mˆeme raisonnent s’applique aux fonctions ([−π
2,π 2]−→ [−1,1]
x7→ sin(x)et (]−π
2,π 2[−→ R
x7→ tan(x)dont
les tableaux de variations sont les suivants :
x
sin(x)
−π
2
π
2
−1−1
11
x
tan(x)
−π
2
π
2
−∞−∞
∞∞
Des r´esultats de l’exercice pr´ec´edent, nous savons qu’il est possible de poser les d´efinitions sui-
vantes :
D´efinition. On appelle arc cosinus et on note acos, la fonction d´efinie sur [−1,1] par la relation
y=acos(x)⇔(y∈[0, π]
cos(y) = x
Remarque. Comparer avec la d´efinition de la fonction exp.
La fonction exponentielle avait ´et´e d´efinie comme ´etant la fonction r´eciproque de la fonction
logarithme, c’est `a dire la fonction d´efinie sur Rpar la relation y= exp(x)⇔ln(y) = x.
Exercice 2. a) Ecrire les d´efinitions exactes des fonctions asin et atan.
La fonction asin est la fonction d´efinie sur [−1,1] par la relation y=asin(x)⇔(y∈[−π
2,π 2]
sin(y) = x
La fonction atan est la fonction d´efinie sur Rpar la relation y=atan(x)⇔(y∈]−π
2,π 2[
tan(y) = x.
b) Dresser les tableaux de variations des fonctions asin,acos et atan.
x
arccos(x)
−11
ππ
00
x
arcsin(x)
−11
−π
2
−π
2
π
2
π
2
x
arctan(x)
−∞ +∞
−π
2
−π
2
π
2
π
2
c) acos(−1) = π,acos(1) = 0, acos(0) = π
2,acos(1
√2) = π
4,acos(1 2) = π 3,acos(√3 2) = π 6.
d) asin(−1) = −π
2,asin(1) = π 2,asin(0) = 0, asin(1
√2) = π
4,asin(1 2) = π 6,asin(√3 2) = π 3.
e) atan(−1) = −π
4,atan(1) = π 4,atan(0) = 0, atan(√3) = π 3,atan(1
√3) = π
6.
Exercice 3. Soit xun r´eel strictement positif.
a) Montrer que si θ=atan(x) alors π
2−θ=atan(1 x).
θ=atan(x) signifie que : (−π
2< θ < π 2
tan(θ) = x. Sachant que xest strictement positif, on peut mˆeme
´ecrire 0 < θ < π
2, d’o`u 0 <π 2−θ < π 2. Puisque d’autre part :
tan(π
2−θ) = sin(π
2−θ)
cos(π
2−θ)=cos(θ)
sin(θ)=1 tan(θ)=1 x, on d´eduit que
π
2−θ=atan(1 x).
b) atan(x) + atan(1
x) = θ+π 2−θ=π 2.

Exercice 4.
a) Soit x∈[−1,1], montrer que sin(acos(x)) = cos(asin(x)) = √1−x2.
Nous savons que cos(arccos(x)) = xor sin2(arccos(x) + cos2(arccos(x)) = 1 donc
sin2(arccos(x)) = 1 −x2.
Puisque, d’autre part, sin(arccos(x)) ≥0, on d´eduit que sin(arccos(x)) = √1−x2.
On montre de mˆeme que cos(asin(x)) = √1−x2.
b) Pour x∈R, montrer que cos(atan(x)) = 1
√1 + x2et sin(atan(x)) = x √1 + x2.
Nous savons que tan(arctan(x)) = x, c’est `a dire que sin(arctan(x))
cos(arctan(x)) =x.
Ainsi, sin2(arctan(x)) = x2cos2(arctan(x)) d’o`u 1 −cos2(arctan(x)) = x2cos2(arctan(x)) et
cos2(arctan(x)) = 1
1 + x2. Puisque cos(arctan(x)) >0, on d´eduit cos(arctan(x)) = 1
√1 + x2.
Enfin, sin2(arctan(x)) = 1 −cos2(arctan(x)) = 1 −1
1 + x2=x2 1 + x2. On conclut en remarquant
que sin(arctan(x)) est du mˆeme signe que x.
Exercice 5. (D´eriv´ees)
a) En reprenant le cours sur les exponentielles, dire pour quelle raison, nous pouvons affirmer que
les fonctions trigonom´etriques r´eciproques sont d´erivables.
On peut montrer, comme pour la fonction exponentielle, que les courbes repr´esentatives des
fonctions arccos arcsin et arctan s’obtiennent `a partir des courbes repr´esentatives des fonctions
cos sin et tan. Elles admettent donc des tangentes en tout point et correspondent par cons´equent
`a des fonctions d´erivables.
b) Toujours, en s’inspirant de ce qui a ´et´e fait pour la fonction exp, pr´esiser l’expression et le domaine
de d´efinition des d´eriv´ees des fonctions trigonom´etriques r´eciproques.
Puisque cos(acos(x)) = x, on d´eduit par d´erivation que arccos0(x) = −1
sin(acos(x)) =−1
√1−x2.
De mˆeme la relation sin(asin(x)) = xentraˆıne arcsin0(x) = 1
cos(asin(x)) =1
√1−x2.
Les fonctions arccos et arcsin sont en particulier d´erivables sur ] −1,1[.
Enfin, tan(arctan(x)) = xentraˆıne arctan0(x) = cos2(arctan(x)) = 1
1 + x2.
c) Retrouver que pour tout x > 0, atan(x) + atan(1
x) = π 2La fonction f:x7→ atan(x) + atan(1 x)
est d´erivable sur R+∗et f0(x) = 1
1 + x2−1 x2
1
1 + 1
x2
= 0.
fest donc constante sur R+∗. On conclut en remarquant que f(1) = π
2.