Fonctions trigonométriques réciproques

ULCO-IUT GTE
TP, Mathématiques
2012-2013
DUT App 1
Fonctions trigonométriques réciproques
Exercice 1. (Bijections)
a) Qu’est-ce qu’une bijection ? Donner une définition et des exemples.
(
I −→ J
I et J étant deux intervalles de R. On dit qu’une fonction f :
x 7→ f (x)
les deux conditions suivantes sont vérifiées :
est une bijection si
a) f conserve la différence, c’est à dire x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ). On dit dans ce cas que f est
injective. En particulier les fonctions strictement monotones sont injectives.
b) Tout élément de l’intervalle J est l’image d’un élément de I. On dit dans ce cas que f est
surjective.
Voici
( quelques exemples :
R −→ R
est une bijection.
f:
x 7→ x
(
[−1, 1] −→ [−1, 1]
est une bijection.
g:
x 7→ x
(
[−1, 1] −→ [−2, 2]
n’est pas une bijection. Elle n’est pas surjective, par exemple 2 n’est
h:
x 7→ x
l’image
( d’aucun réel de l’intervalle [-1,1].
R −→ R
u:
n’est pas une bijection. Elle n’est ni injective ni surjective.
x 7→ x2
(
R+ −→ R
n’est pas une bijection. Elle est injective mais pas surjective.
v:
x 7→ x2
(
R+ −→ R+
est une bijection.
w:
x 7→ x2
b) Montrer que la restriction à l’intervalle [0, π] de la fonction cos ainsi que les restrictions à [− π2 , π2 ]
et à ] − π2 , π2 [, respectivement des fonctions sin et tan sont des bijections.
(
[0, π] −→ [−1, 1]
Traçons le tableau de variation de la fonction
:
x 7→ cos(x)
x
0
π
1
cos(x)
−1
Cette fonction est injective car elle est strictement décroissante. Elle est surjective car, comme on
le voit sur le tableau, tout réel de l’intervalle [−1, 1] a bien un antécédent sur [0, π].
(
[− π2 , π2 ] −→ [−1, 1]
Le même raisonnent s’applique aux fonctions
x 7→ sin(x)
les tableaux de variations sont les suivants :
x
π
2
− π2
(
] − π2 , π2 [−→ R
et
x 7→ tan(x)
π
2
− π2
x
dont
∞
1
sin(x)
tan(x)
−1
−∞
Des résultats de l’exercice précédent, nous savons qu’il est possible de poser les définitions suivantes :
Définition. On( appelle arc cosinus et on note acos, la fonction définie sur [−1, 1] par la relation
y ∈ [0, π]
y = acos(x) ⇔
cos(y) = x
Remarque. Comparer avec la définition de la fonction exp.
La fonction exponentielle avait été définie comme étant la fonction réciproque de la fonction
logarithme, c’est à dire la fonction définie sur R par la relation y = exp(x) ⇔ ln(y) = x.
Exercice 2. a) Ecrire les définitions exactes des fonctions asin et atan.
(
y ∈ [− π2 , π2 ]
La fonction asin est la fonction définie sur [−1, 1] par la relation y = asin(x) ⇔
sin(y) = x
(
y ∈] − π2 , π2 [
La fonction atan est la fonction définie sur R par la relation y = atan(x) ⇔
.
tan(y) = x
b) Dresser les tableaux de variations des fonctions asin, acos et atan.
x
−1
x
1
−1
π
x
1
−∞
π
2
arccos(x)
arcsin(x)
π
2
arctan(x)
− π2
0
− π2
√
3
π
2 ) = 6.
√
asin( 23 ) = π3 .
c) acos(−1) = π, acos(1) = 0, acos(0) = π2 , acos( √12 ) = π4 , acos( 12 ) = π3 , acos(
d) asin(−1) = − π2 , asin(1) = π2 , asin(0) = 0, asin( √12 ) = π4 , asin( 12 ) = π6 ,
√
e) atan(−1) = − π4 , atan(1) = π4 , atan(0) = 0, atan( 3) = π3 , atan( √13 ) = π6 .
Exercice 3. Soit x un réel strictement positif.
a) Montrer que si θ = atan(x)
( alors
π
2
− θ = atan( x1 ).
− π2 < θ < π2
. Sachant que x est strictement positif, on peut même
tan(θ) = x
écrire 0 < θ < π2 , d’où 0 < π2 − θ < π2 . Puisque d’autre part :
sin( π2 − θ)
cos(θ)
1
1
π
tan( 2 − θ) =
=
=
= , on déduit que
cos( π2 − θ)
sin(θ)
tan(θ)
x
π
1
2 − θ = atan( x ).
θ = atan(x) signifie que :
b) atan(x) + atan( x1 ) = θ +
π
2
− θ = π2 .
+∞
Exercice 4.
√
a) Soit x ∈ [−1, 1], montrer que sin(acos(x)) = cos(asin(x)) = 1 − x2 .
Nous savons que cos(arccos(x)) = x or sin2 (arccos(x) + cos2 (arccos(x)) = 1 donc
sin2 (arccos(x)) = 1 − x2 .
√
Puisque, d’autre part, sin(arccos(x)) ≥ 0,√on déduit que sin(arccos(x)) = 1 − x2 .
On montre de même que cos(asin(x)) = 1 − x2 .
x
1
et sin(atan(x)) = √
.
b) Pour x ∈ R, montrer que cos(atan(x)) = √
2
1+x
1 + x2
sin(arctan(x))
Nous savons que tan(arctan(x)) = x, c’est à dire que
= x.
cos(arctan(x))
Ainsi, sin2 (arctan(x)) = x2 cos2 (arctan(x)) d’où 1 − cos2 (arctan(x)) = x2 cos2 (arctan(x)) et
1
1
. Puisque cos(arctan(x)) > 0, on déduit cos(arctan(x)) = √
.
cos2 (arctan(x)) =
1 + x2
1 + x2
x2
1
=
. On conclut en remarquant
Enfin, sin2 (arctan(x)) = 1 − cos2 (arctan(x)) = 1 −
1 + x2
1 + x2
que sin(arctan(x)) est du même signe que x.
Exercice 5. (Dérivées)
a) En reprenant le cours sur les exponentielles, dire pour quelle raison, nous pouvons affirmer que
les fonctions trigonométriques réciproques sont dérivables.
On peut montrer, comme pour la fonction exponentielle, que les courbes représentatives des
fonctions arccos arcsin et arctan s’obtiennent à partir des courbes représentatives des fonctions
cos sin et tan. Elles admettent donc des tangentes en tout point et correspondent par conséquent
à des fonctions dérivables.
b) Toujours, en s’inspirant de ce qui a été fait pour la fonction exp, présiser l’expression et le domaine
de définition des dérivées des fonctions trigonométriques réciproques.
1
1
.
= −√
Puisque cos(acos(x)) = x, on déduit par dérivation que arccos0 (x) = −
sin(acos(x))
1 − x2
1
1
De même la relation sin(asin(x)) = x entraı̂ne arcsin0 (x) =
.
=√
cos(asin(x))
1 − x2
Les fonctions arccos et arcsin sont en particulier dérivables sur ] − 1, 1[.
1
Enfin, tan(arctan(x)) = x entraı̂ne arctan0 (x) = cos2 (arctan(x)) =
.
1 + x2
c) Retrouver que pour tout x > 0, atan(x) + atan( x1 ) = π2 La fonction f : x 7→ atan(x) + atan( x1 )
1
1
1
est dérivable sur R+∗ et f 0 (x) =
−
= 0.
1 + x2 x2 1 + x12
f est donc constante sur R+∗ . On conclut en remarquant que f (1) = π2 .