M1 MEEF 2nd degré, CAPES de Mathématiques Écrit blanc du 29

M1 MEEF 2nd degr´e, CAPES de Math´ematiques
´
Ecrit blanc du 29 septembre 2014
Dur´ee : 5h
Une attention particuli`ere sera port´ee lors de la correction `a la lisibilit´e de la copie et `a la qualit´e
de la r´edaction. Par ailleurs, si un(e) candidat(e) d´etecte ce qu’il/elle pense ˆetre une erreur d’´enonc´e,
il/elle le signale tr`es clairement sur sa copie, propose une correction et poursuit l’´epreuve en cons´e-
quence.
Ce sujet comporte 5 pages num´erot´ees de 1 `a 5.
Questions de cours
1. ´ Ecrire la d´efinition de la continuit´e uniforme d’une fonction fd´efinie sur un intervalle Ide R.
Citer une fonction uniform´ement continue sur R, puis une fonction continue sur Rqui n’est pas
uniform´ement continue.
2. ´ Enoncer le th´eor`eme de Heine.
3. ´ Enoncer un th´eor`eme du point fixe de votre choix.
4. ´ Enoncer la formule des probabilit´es totales.
5. ´ Enoncer au choix une loi des grands nombres ou le th´eor`eme central limite.
Premier probl`eme
Le but de ce probl`eme est d’´etudier la s´erie Pn≥11
n2. On ne supposera donc pas que la convergence
de cette s´erie ou sa somme sont connues.
Partie A
1. On consid`ere la fonction fd´efinie sur [0, π/2] qui v´erifie f(0) = 0 et, pour tout x∈]0, π/2],
f(x) = 1
sin x−1 x.
(a) Donner le d´eveloppement limit´e de la fonction sinus en 0 `a l’ordre 3.
(b) En d´eduire que fest continue.
(c) Montrer ´egalement que f0, la d´eriv´ee de f, existe et est continue sur [0, π/2].
(d) On d´efinit la fonction gsur [0, π/2] par g(0)=1, et pour tout x∈]0, π/2], g(x) = x/ sin(x).
Pour tout r´eel xde [0, π/2], exprimer g(x) en fonction de xet f(x) et en d´eduire que gest
de classe C1sur [0, π/2].
2. Si φd´esigne une fonction d´efinie et de classe C1sur [0, π/2], montrer `a l’aide d’une int´egration
par parties que la suite (Rπ/2
0φ(x) sin(nx)dx) converge vers 0 lorsque ntend vers l’infini.
Partie B
1. Justifier la convergence de l’int´egrale
Z+∞
0
1−cos x
x2dx.
2. En d´eduire la nature de l’int´egrale
Z+∞
0
sin x
xdx.
On pourra utiliser une int´egration par parties.
1

3. Soit nun entier naturel non nul.
Calculer, pour tout nombre complexe ztel que ezest diff´erent de 1, la somme
n
X
k=−n
ekz .
En d´eduire, pour tout x∈]0, π/2] que
1+2
n
X
k=1
cos(2kx) = sin((2n+ 1)x)
sin x.
4. Soit
In=Zπ/2
0
sin((2n+ 1)x)
sin xdx.
(a) V´erifier que Inest convergente.
(b) En utilisant la question B.3, calculer In.
(c) D´emontrer que
In=Zπ/2
0
f(x) sin((2n+ 1)x)dx +Zπ/2
0
sin((2n+ 1)x)
xdx
o`u fest la fonction d´efinie dans la partie A.
(d) D´emontrer que
Zπ/2
0
sin((2n+ 1)x)
xdx =Z(2n+1)π/2
0
sin x
x‘dx
et en d´eduire la valeur de Z+∞
0
sin x
xdx.
Partie C
On note Jnl’int´egrale d´efinie par
Jn=1
πZπ
0
x2sin((2n+ 1)x)
sin xdx
1. V´erifier que Jnest convergente.
2. D´emontrer, par exemple en utilisant les r´esultats de la question B.3, que
Jn=π2
3+
n
X
k=1
1
k2.
3. D´emontrer ´egalement que
Jn=1
πZπ/2
0x2+ (π−x)2sin((2n+ 1)x)
sin xdx.
4. Puis que
Jn=1
πZπ/2
02(x−π)g(x) + π2f(x)sin((2n+ 1)x)dx +πZπ/2 0
sin((2n+ 1)x
xdx,
o`u fet gsont les fonctions d´efinies dans la partie A.
2

5. En utilisant la question pr´ec´edente et la partie A, d´emontrer que la suite (Jn) est convergente
et que l’on a
lim
nJn=πZ+∞
0
sin x
xdx.
6. En d´eduire la valeur de
S=
+∞
X
k=1
1
k2.
7. On consid`ere pour cette question une variable al´eatoire X`a valeurs dans N∗de loi donn´ee par :
Pour tout k∈N∗,P(X=k) = 1
Sk2,
o`u Sd´esigne la somme de la s´erie de la question pr´ec´edente.
(a) Que peut-on dire de la famille d’´ev´enements (Ak)k∈N∗= ({X=k})k∈N∗?
(b) La variable al´eatoire Xest-elle int´egrable ?
(c) La variable al´eatoire 1/X est-elle int´egrable ?
(d) D´eterminer la loi de la variable al´eatoire Y= 2X.
Deuxi`eme probl`eme
Autour des suites de Cauchy et de la continuit´e
Dans ce probl`eme, on red´emontre plusieurs des r´esultats fondamentaux de l’analyse r´eelle, en
particulier sur la convergence des suites croissantes major´ees ou des suites de Cauchy sur Ret le
th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. Il est donc fondamental de ne pas supposer ces r´esultats connus !
Dans l’ensemble de ce probl`eme, on se donne deux r´eels aet b, avec a<bet on note I= [a, b].
1. Convergence des suites croissantes major´ees.
On rappelle la caract´erisation de la borne sup´erieure d’un ensemble A⊂R: le r´eel Mest la
borne sup´erieure de Asi et seulement si Aest inclus dans ] − ∞, M] et si, pour tout  > 0,
A∩[M−, M] est non vide. S’il n’est pas possible d’exhiber un tel r´eel M, l’ensemble Aest non
major´e et on a sup A= +∞.
(a) On consid`ere une suite croissante (un) et on suppose qu’elle est born´ee. En utilisant la
caract´erisation de la borne sup´erieure, montrer que la suite (un) converge et que sa limite
est ´egale `a supnun.
(b) Montrer que si une suite (un) est croissante et non major´ee, alors elle diverge vers +∞.
(c) Montrer que toute suite convergente est major´ee.
(d) Donner un exemple de suite born´ee non convergente, et un exemple de suite convergente
non monotone.
2. Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass. Le but de cette question est de d´emontrer que, de toute
suite born´ee, on peut extraire une sous-suite convergente.
Soit (un) une suite `a valeurs dans l’intervalle [a, b].
(a) On construit deux suites (an) et (bn) de la fa¸con suivante : a0=aet b0=bpuis, pour tout
n≥0,
– Si l’intervalle [an,(an+bn)/2] contient une infinit´e de termes de la suite (un), on pose
an+1 =anet bn+1 = (an+bn)/2.
– Sinon, on pose an+1 = (an+bn)/2 et bn+1 =bn.
Montrer que la suite (an) est croissante et born´ee, que la suite (bn) est d´ecroissante et
minor´ee.
3

(b) En d´eduire que les suites (an) et (bn) sont convergentes. Montrer ´egalement qu’elles ad-
mettent la mˆeme limite.
(c) Montrer que la fonction φ:N→Nconstruite de la fa¸con suivante :
φ(0) = 0 et, pour tout n≥0, φ(n+ 1) = inf{k > φ(n), uk∈[an+1, bn+1]}
est bien d´efinie et strictement croissante sur N.
(d) Justifier que la suite (uφ(n)) est convergente.
(e) Conclure.
(f) Que peut-on dire de la suite (φ(n)−n) (signe et monotonie ´eventuelle) ?
(g) Quel est le nom de la m´ethode algorithmique d´ecrite dans les questions pr´ec´edentes ?
3. Convergence des suites de Cauchy r´eelles. Dans cette question, on consid`ere une suite
r´eelle de Cauchy (un), c’est-`a-dire que
∀ > 0,∃N∈Ntel que ∀n>N et ∀p > N, |un−up|< .
(a) Montrer que la suite (un) est born´ee. Pour ce faire, on pourra par exemple utiliser la
d´efinition ci-dessus avec = 1.
(b) En d´eduire qu’elle admet une sous-suite (uφ(n)) convergente. On notera `la limite de cette
sous-suite.
(c) Montrer que, pour tout  > 0, il existe un rang Ntel que, pour tout n≥N,
|un−uφ(n)| ≤ /2
puis qu’il existe un rang ˜ Ntel que pour tout n≥˜ N, |un−`|< .
(d) Conclure que (un) converge.
(e) Montrer par ailleurs que toute suite convergente est une suite de Cauchy.
(f) ´ Etendre ces r´esultats aux suites d’un espace vectoriel de dimension finie. On pourra com-
mencer par justifier qu’une suite d’un espace vectoriel de dimension finie est convergente
si et seulement chacune des suites form´ees par ses coordonn´ees dans une base orthonorm´ee
est convergente.
4. Convergence absolue des s´eries. On consid`ere une s´erie de terme g´en´eral (un) et on suppose
qu’elle est absolument convergente, c’est-`a-dire que Pk|uk|<∞. On note Sn=Pn
k=0 uket
Tn=Pn
k=0 |uk|.
(a) Montrer que la suite (Tn) est de Cauchy, et en d´eduire que la suite (Sn) est de Cauchy.
(b) Conclure.
(c) Donner un exemple de s´erie qui converge sans ˆetre absolument convergente.
5. S´eries altern´ees. On se donne une suite (un) v´erifiant
– pour tout n≥0, (−1)nun≥0,
– la suite (|un|) est d´ecroissante et tend vers 0.
On note Sn=Pn
k=0 uk.
(a) Montrer que la suite (Sn) v´erifie : pour tout n≥0,
S2n+1 ≤S2n+3 ≤S2n+2 ≤S2n
(b) Que peut-on dire de la monotonie des suites (S2n) et (S2n+1) ? De la limite de la suite
(S2n+1 −S2n) ?
(c) Conclure quant `a la convergence de la suite (Sn).
6. Limite et continuit´e.
4

(a) Soit (xn) une suite r´eelle admettant une limite `∈Ret fune fonction continue sur R.
Montrer (uniquement en utilisant les d´efinitions de la limite d’une suite et de la continuit´e
d’une fonction) que la suite (f(xn)) converge vers f(`).
(b) Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle Iet `un point de I. Montrer que si toute
suite (xn) de Iconvergeant vers `v´erifie que (f(xn)) converge vers f(`), alors, pour tout
r´eel positif, il existe un r´eel η > 0 tel que pour tout x∈Iv´erifiant |x−`| ≤ η, on a
|f(x)−f(`)| ≤ .On pourra raisonner par contrapos´ee.
(c) Donner un exemple de suite (xn) admettant une limite finie `et de fonction ftelle que la
suite (f(xn)) ne converge pas vers f(`).
7. Th´eor`eme des bornes. Soit fune fonction continue sur un intervalle [a, b], aet b´etant deux
r´eels fix´es. On note M= sup[a,b]f.
(a) Justifier l’existence d’une suite (xn) de [a, b] telle que (f(xn)) converge vers M.
(b) Montrer (en appliquant l’un des th´eor`emes pr´ec´edemment d´emontr´es) que (xn) admet une
sous-suite convergente, de limite not´ee α∈[a, b]. Que peut-on dire de f(α) ?
(c) En d´eduire le th´eor`eme des bornes (qui stipule que toute fonction continue sur un intervalle
admet un maximum et un minimum).
8. Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. Soit fune fonction continue sur un intervalle [a, b].
(a) On suppose pour cette question que f(a)<0 et f(b)>0. Construire une suite d’intervalles
([an, bn]) dont la longueur tend vers 0 et v´erifiant pour tout n:f(an)≤0≤f(bn) et
an≤an+1 ≤bn+1 ≤bn.´ Etudier la limite des suites (an) et (bn) et en d´eduire l’existence
d’un r´eel c0∈[a, b] tel que f(c0) = 0.
(b) Montrer maintenant que pour tout r´eel λcompris entre f(a) et f(b), il existe un r´eel
cλ∈[a, b] tel que f(cλ) = λ.
(c) Montrer en utilisant le r´esultat de la question pr´ec´edente ainsi que le th´eor`eme des bornes
que f([a, b]) est un intervalle.
9. Th´eor`eme de Rolle. Soit fune fonction continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ et telle que
f(a) = f(b) = 0. On supposera que fn’est pas constante.
(a) Montrer que fadmet un minimum global met un maximum global Msur [a,b] et que l’un
des deux est diff´erent de f(a).
(b) On suppose que Mest diff´erent de f(a) et on note c∈]a, b[ un r´eel tel que f(c) = M.
Montrer que pour tout h > 0 tel que c−h∈[a, b] (respectivement c+h∈[a, b]), on a
f(c−h)−f(c)
−h≥0respectivement f(c+h)−f(c) h≤0.
(c) Conclure que f0(c) = 0.
10. Th´eor`eme (ou ´egalit´e) des accroissements finis. Soit fune fonction continue sur [a, b] et
d´erivable sur ]a, b[. On note gla fonction d´efinie sur [a, b] par
g:x7→ f(x)−xf(b)−f(a)
b−a.
(a) Montrer que gv´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme de Rolle et en d´eduire l’existence d’un
r´eel c∈]a, b[ tel que g0(c) = 0.
(b) Expliciter f0(c) puis ´enoncer le th´eor`eme des accroissements finis.
(c) Que signifie graphiquement ce r´esultat ?
(d) ´ Enoncer (sans la d´emontrer) l’in´egalit´e des accroissements finis, en pr´ecisant soigneusement
les hypoth`eses.
5