Le probl`eme des sous-groupes de congruence

Le probl`eme des sous-groupes de congruence
Bulois Micha¨ el
11 d´ecembre 2004
Introduction
On s’int´eresse ici `a SL2(A), o`u Aest l’anneau des entiers d’un corps K, avec K=Q,
A=Zou bien Kest une extension quadratique de Qet A=Oest un Z-module de
dimension 2. Un r´esultat sur les groupes de Lie affirme que SLn(A) poss`ede la propri´et´e
du sous-groupe normal pour n>3 ; c’est `a dire que tout sous-groupe normal du r´eseau
SLn(A) est soit fini et contenu dans le centre, soit d’indice fini dans SL2(A). Or, ceci est
faux dans le cas de SL2(A). La seconde question que l’on se pose alors est de savoir si tout
sous-groupe d’indice fini de SLn(A) contient un sous-groupe de la forme Ker(SLn(A)→
SLn(A/I)), o`u Iest un id´eal de A. Si c’est le cas, on dit que SLn(A) poss`ede la propri´et´e
des sous-groupes de congruence. Ici encore, SLn(A) poss`ede la propri´et´e des sous-groupes
de congruence pour n>3, alors que ceci est faux pour n= 2. L’objectif de ce papier est
de d´ecrire la m´ethode employ´e dans le chapitre 3 du livre indien de B. Sury [Su].
Sommaire
1. Pr´eliminaires
1.1 Quelques r´esultats
1.2 Groupes finis de type de Lie et probl`eme du sous-groupe de congruence
2. Sous-groupes non de congruence dans SL2(Z)
2.1 Contraintes sur certains sous-quotients
2.2 Th´eor`eme de Fricke et crit`ere de Wohlfahrt
2.3 Contre-exemples plus syst´ematiques
3. Reseaux de l’espace hyperbolique `a quotients libres non ab´eliens
3.1 Le demi-espace hyperbolique et son groupe d’isom´etries
3.2 Th´eor`eme de Grunewald-Schwermer
1 Pr´eliminaires
1.1 Quelques r´esultats
Dans le cadre de notre ´etude, nous aurons besoin des deux r´esultats suivants :
1

Lemme 1.1 (du ping pong). Soit Gun groupe agissant sur un ensemble S. Supposons
que S1et S2soient des sous-ensembles de S, avec S2non inclus dans S1, que G1et G2
soient des sous-groupes de G tels que G1ait au moins 3 ´el´ements et que les propri´et´es
suivantes soient satisfaites : ∀g∈G1\ {1}, g(S2)⊂S1et ∀h∈G2\ {1}, h(S1)⊂S2.
Alors, le sous-groupe engendr´e par G1et G2est isomorphe au produit libre de G1et G2.
D´emonstration. Nous allons montrer que les mots de la forme g1h1...gr, puis h0g1h1...gr,
o`u gi∈G1\{1}et hi∈G2\{1}, ne peuvent ˆetre triviaux. Il est alors facile de se ramener
`a un de ces deux cas par conjugaison par un ´el´ement h∈G2appropri´e pour montrer la
non-trivialit´e de tous les mots sur G1et G2.
Un mot de la forme g1h1...gr, envoie S2dans S1. Comme S26⊂ S1,g1h1...grest diff´erent
de 1.
Supposons maintenant que h0g1h1...gr= 1. Alors comme h0:S1→S2est injectif,
g=g1h1...gr:S2→S1est surjectif donc bijectif. Soit maintenant g0∈G1\{1, g−1}.gg0
envoie S2dans S1=g(S2). Donc g0envoie S2dans S1∩S2. On en d´eduit que g−1
0∈G1
v´erifie : S2⊂g−1
0(S1∩S2)⊂S1, ce qui est absurde.
Th´eor`eme 1.2. Soit Fkle groupe non ab´elien libre `a kg´en´erateurs (k>2), alors Fk
peut ˆetre vu comme sous-groupe d’indice fini de F2.
D´emonstration. On sait que Fkest le groupe fondamental du bouquet de kcercles :
Or, on sait que le bouquet de kcercles est un revˆetement `a k−1 feuillets du bouquet
de 2 cercles (voir par exemple [Go]). Donc Fkapparaˆıt comme un sous-groupe d’indice
k−1 dans F2.
Par exemple F4apparait dans F2comme sous-groupe d’indice 3 :
F4={a;b2;ba2b−1;baba−1b−1}.
1.2 Groupes finis de type de Lie et probl`eme du sous-groupe
de congruence
Maintenant, posons les quelques d´efinitions suivantes. Etant donn´e un entier m > 0,
on appelle sous-groupe principal de congruence de niveau met on note Γ(m) le sous-
groupe de SL2(Z) : {g=a b
c d ∈SL2(Z)|g≡Id mod m}. Autrement dit,
Γ(m) = Ker(SL2(Z)→SL2(Z/mZ)). C’est donc un sous-groupe normal d’indice fini
dans SL2(Z). Tout sous-groupe de SL2(Z) contenant un sous-groupe principal de congruence
est appel´e un sous-groupe de congruence. En particulier, tout sous-groupe de congruence
est d’indice fini. La question que l’on se pose alors pour SL2(Z), est de savoir si tout
sous-groupe d’indice fini est un sous-groupe de congruence ; cela s’appelle posseder la
propri´et´e des sous-groupe de congruence ; on dira aussi avoir la CSP (pour congruence
subgroup property). Nous allons en fait d´emontrer que SL2(Z) ne poss`ede pas la propri´et´e
des sous-groupes de congruence.
Avant de pouvoir montrer cela, il nous faut ´etudier un peu la structure de SL2(Z). On a
la
2

Propri´et´e 1.3. Le sous-groupe engendr´e par A=1 2
0 1 et B=1 0 2 1 est libre
en Aet Bet est d’indice 2 dans Γ(2), donc d’indice fini dans SL2(Z).
D´emonstration. Posons G1=hAi,G2=hBi,S1={z∈C| |Re(z)|>1}et S2={z∈
C| |z|<1}. Alors, les hypoth`eses du lemme du ping pong sont satisfaites et hA;Biest
libre en Aet B.
Montrons maintenant que hA;Biest d’indice 2 dans Γ(2). La m´ethode ci-dessous est due
`a Reiner : Pour g=a b
c d ∈Γ(2), on raisonne par r´ecurrence sur |c|pour montrer
que g∈ ±hA;Bi. Si c= 0 alors ad = 1 et ±g∈ hAi. Si |c|>0, alors on ´ecrit a= 2q1c+r1
avec 0 <|r1|<|c|et on a A−q1g=r1∗
c∗. Ensuite, on ´ecrit c= 2q2r1+r2avec
|r2|<|r1|<|c|. Donc par hypoth`ese de r´ecurrence B−q2A−q1g=r1∗
r2∗∈ ±hA;Bi.
Donc ±g∈ hA;Bi. Enfin, −Id /∈ hA;Bicar c’est un ´el´ement d’ordre 2.
2 Sous-groupes non de congruence dans SL2(Z)
Dans cette section, nous allons tout d’abord prouver de mani`ere relativement th´eorique
que SL2(Z) ne poss`ede pas la propri´et´e des sous-groupes de congruence, puis nous
´enoncerons le crit`ere de Wohlfahrt imposant une condition n´ecessaire sur les sous-groupes
de congruence, ce qui nous permettra de conclure sur un exemple de sous-groupe non de
congruence dans SL2(Z).
2.1 Contraintes sur certains sous-quotients
On dit que Gest impliqu´e dans As’il existe B, sous-groupe d’indice fini de Atel que
Gsoit quotient de B.
A l’aide des trois r´esultats suivants, nous allons montrer que le fait de poss´eder la propri´et´e
des sous-groupes de congruence impose des contraintes sur un sous-groupe Gimpliqu´e
dans SL2(Z), contraintes qui sont incompatibles avec la pr´esence d’un groupe libre dans
SL2(Z).
Lemme 2.1. Soit Gun groupe fini simple impliqu´e dans P SL2(Z/mZ), alors Gest
impliqu´e dans P SL2(Z/prZ)pour un nombre premier pet un exposant r>1.
D´emonstration. Soit
k
Y
i=1
pri
i, la d´ecomposition en facteurs premiers de m. Alors, par le
th´eor`eme des restes chinois : P SL2(Z/mZ)∼
=
ϕQk
i=1 P SL2(Z/pri
iZ)o`u ϕ= (ϕi)i∈[|1,k|]
avec ϕi:P SL2(Z/mZ)→P SL2(Z/pri
iZ). Soient Aet Btels que G∼
=A/B avec
P SL2(Z/mZ)⊇A)B. Alors, par l’isomorphisme ϕ,ona:∃i, ϕi(B)(ϕi(A). Comme
A/B est simple, Best distingu´e maximal dans A. Or B⊆B.(A∩K) A o`u K= ker(ϕi).
Supposons B.(A∩K) = A, auquel cas tout a∈As’´ecrit a=bk avec b∈Bet k∈K
d’o`u ϕi(A)⊆ϕi(B) ce qui contredit le choix de i. D’o`u B.(A∩K) = B, c’est-`a-dire
3

A∩K=B∩Ket
ϕi(A)/ϕi(B)∼
=A/(A∩K)
B/(B∩K)∼
=A/B ∼ =G.
Conclusion, Gest impliqu´e dans P SL2(Z/pri
iZ).
Lemme 2.2. Soit Gun groupe fini simple impliqu´e dans P SL2(Z/prZ)pour un nombre
premier p. Alors Gest impliqu´e dans P SL2(Z/pZ).
D´emonstration. Soit Kle noyau du morphisme canonique π:P SL2(Z/prZ)→P SL2(Z/pZ).
Montrons que Kest un p-groupe. Tout ´el´ement xde Ks’´ecrit x=Id +pM avec
M∈M2(Z/prZ). Donc xpr−1=Id +
pr−1
X
i=1
pr−1+il
i!Mi. Or la valuation en pde i! est
plus petite que i−1 donc xpr−1= 1 et tout ´el´ement de Kest d’ordre une puissance de p.
Kest donc bien un p-groupe, il est en particulier nilpotent.
Par ailleurs, on a :
P SL2(Z/piZ)
∨
AϕG
avec A∩K  A, et comme ϕest surjectif, ϕ(A∩K) A. Or ϕ(A∩K) est nilpotent et
n’est pas ´egal `a G, donc ϕ(A∩K) = {1};ϕpasse au quotient et :
P SL2(Z/pZ)
∨
∼
=P SL2(Z/piZ)/K
A/(A∩K)¯ϕG.
Donc Gest impliqu´e dans P SL2(Z/pZ).
Lemme 2.3. Les qsous-groupes de Sylow de P SL2(Fpr)sont ab´eliens pour q6= 2 ;p,q
premiers.
D´emonstration. Cette d´emonstration est un cas particulier d’un article de A.J. Weir [W2].
Notons l=pr. Montrons que les q-Sylows de GL2(Fl) sont ab´eliens pour q6= 2. Tout
d’abord, |GL2(Fl)|=l(l−1)(l2−1). Si q=p, un p-Sylow est donn´e par 1Fl
0 1 qui est
ab´elien. Nous supposerons donc dans la suite q6=p. Trois cas se pr´esentent : soit q|l−1,
soit q|l2−1 et q-l−1, soit les q-Sylows sont trivaux.
Int´eressons nous au premier cas : on ´ecrit l=kqr+ 1 avec k∧q= 1, r>1. Alors
l2−1 = qr(2k+qrk2) o`u (2k+qrk2)∧q= 1 (car q6= 2, r>1). On en d´eduit que les
q-Sylows de GL2(Fl) sont d’ordre q2r. Or le q-Sylow (cyclique) Sqde (Z/pZ)∗est d’ordre
qr. Donc Sq0
0Sqest un q-Sylow ab´elien de GL2(Fl).
Supposons maintenant que q-(l−1) et l2−1 = kqravec k∧q= 1 et r>1. Alors,
regardons Fl2comme un espace vectoriel de dimension 2 sur Fl; la multiplication par
un ´el´ement non nul de Fl2d´efinit un automorphisme de Fl2. Ceci induit une application
ϕ: (Fl2)∗→GL2(Fl). ϕest injective donc |Im(F∗
l2)|=kqret un q-Sylow de GL2(Z/pZ)
est isomorphe `a un sous-groupe de (Fl2)∗et est donc cyclique.
4

On sait que tout groupe libre de rang fini se plonge comme sous-groupe d’indice fini
dans P SL2(Z). En cons´equence, tout groupe fini Gest impliqu´e dans P SL2(Z) et on a :
P SL2(Z)⊃F⊃No`u Nest d’indice fini dans P SL2(Z) avec F/N ∼
=G. Supposons que
SL2(Z) ait la CSP. Alors, comme N est d’indice fini dans P SL2(Z), il existe m∈Ntel
que N⊇Γ(m) et on a P SL2(Z)/Γ(m)∼
=P SL2(Z/mZ)⊃F/Γ(m)⊃N/Γ(m). Donc
G∼
=(F/Γ(m))/(N/Γ(m)) est impliqu´e dans P SL2(Z/mZ). En prenant Gsimple, on
sait par les lemmes 2.1 et 2.2 que Gest impliqu´e dans P SL2(Z/pZ) pour un nombre
premier p. Or, si on pose G:= P SL3(Z/qZ) et P SL2(Z/pZ)⊃A⊃Bavec G∼
=A/B,
les q-Sylows de P SL2(Z/pZ) sont ab´eliens d’apr`es le lemme 2.3. Les q-Sylows de A sont
donc ab´eliens et leur image dans G´egalement. Or l’application : A→Gest surjective
donc les q-Sylows de G(qui sont image des q-Sylows de A) sont ab´eliens. Ceci constitue
une contradiction car un q-Sylow de G([W1]) est donn´e par
{M∈P SL3(Z/qZ)|M=
1∗ ∗
0 1 ∗
0 0 1 
}
qui est clairement non ab´elien. En conclusion SL2(Z) n’a pas la CSP.
2.2 Th´eor`eme de Fricke et crit`ere de Wohlfahrt
Pour exhiber un sous-groupe non de congruence par le raisonnement ci-dessus, il nous
faudrait ´ecrire P SL3(Z/3Z) comme quotient d’un groupe libre et regarder l’image du
groupe diviseur dans F2puis dans SL2(Z), ce qui est relativement laborieux. Nous allons
donc ´enoncer ici le crit`ere de Wohlfahrt [WF], bas´e sur un th´eor`eme de Fricke, qui permet
de trouver des exemples plus syst´ematiques de sous-groupes non de congruence.
Tout d’abord, introduisons quelques notions. Nous savons que SL2(R) agit sur H2,
l’espace hyperbolique de dimension 2, vu comme le demi-plan des nombres complexes `a
partie imaginaire strictement positive. Cette action s’effectue de la fa¸con suivante :
a b
c d ·z=az +b
cz +d.
Cette action peut s’´etendre en une action sur H2=H2∪R∪ {∞}. Nous dirons d’une
matrice P∈SL2(Z) qu’elle est parabolique si elle fixe un seul point ζde H2. Alors ζ∈
Q∪{∞} et il existe A∈SL2(Z) tel que P=A−1UmAavec A(ζ) = ∞et U=1 1
0 1 .
L’entier mci-dessus est d´efini de fa¸con unique par Pet on appelle |m|l’amplitude de
P. Si un sous-groupe Γ de SL2(Z) contient des matrices paraboliques P, on appelle leurs
points fixes les sommets de Γ. Etant donn´e un groupe Γ ⊂SL2(Z) et un sommet ζde
Γ, le stabilisateur de ζdans Γ est engendr´e par un ´el´ement Pdont l’amplitude d´efinit
l’amplitude de ζ; cette amplitude ne d´epend pas de P.
Tout ceci nous permet de d´efinir niveau g´en´eral d’un groupe Γ ⊂SL2(Z) comme ´etant
le plus petit commun multiple des amplitudes de ses sommets (s’il existe). On appelle
alors ˆ Γ(m) la cloture normale de Umet on peut facilement v´erifier pour un sous groupe
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