Structures Algébriques 1

Structures Alg´ebriques 1 - Feuille de TD 2
Exercice 1.On consid`ere l’ensemble SL2(Z) des matrices
M=a b
c d(a, b, c, d ∈Z, ad −bc = det M= 1).
a) Montrer que SL2(Z) est un groupe si on l’´equipe de l’op´eration interne
(not´ee ·) d´efinie comme l’op´eration de multiplication des matrices 2 ×2
et que ce groupe contient les trois matrices
T:= 1 1
0 1, U := 0−1 1 0 , V := 0−1 1−1.
S’agit-t’il d’un groupe fini ? d’un groupe ab´elien ?
b) V´erifier que Uest d’ordre fini dans ce groupe SL2(Z) et calculer cet ordre.
c) Soit
M=a b
c d∈SL2(Z).
On suppose que qet rsont deux entiers tels que a=cq +r. Calculer
U·T−q·M.
d) Montrer que le groupe SL2(Z) admet Tet Ucomme g´en´erateurs, ce que
l’on exprimera SL2(Z) = hT, Ui.
e) Montrer que SL2(Z) = hU, V i. Quel est l’ordre de Vdans SL2(Z) ?
Exercice 2 (groupes di´edraux).Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a
3 et (G, ·) un groupe dans lequels existent `a la fois un ´el´ement rd’ordre net un
´el´ement sd’ordre 2 tels que G=hr, siet que s·r=r−1·s. Prouver que (G, ·) est
un groupe non ab´elien d’ordre 2n.
Exercice 3.On consid`ere le groupe (S10,◦) des permutations d’un ensemble
`a 10 ´el´ements num´erot´es {1, ..., 10}.
a) Quel est l’ordre de ce groupe ?
b) Calculer l’ordre dans ce groupe de la permutation (dite cycle ) not´ee
σ=1 2 3) qui `a 1 associe 2, `a 2 associe 3, `a 3 associe 1 et laisse inchang´es
les entiers de 4 `a 10.
c) Calculer l’ordre de la permutation τ: (4 7 5 8) qui `a 4 associe 7, `a 7
associe 5, `a 5 associe 8, `a 8 associe 4 et laisse 1,2,3,6,9,10 inchang´es. En
d´eduire l’ordre de σ◦τ.
Exercice 4.Montrer que pour tout N∈N∗, le groupe multiplicatif des racines
N`emes de l’unit´e dans Cest un groupe cyclique dont on donnera explicitement un
g´en´erateur. Quel est l’ordre de l’´el´ement e2iπk/N de ce groupe (k∈ {0, ..., N −1}) ?
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2 STRUCTURES ALG´ EBRIQUES 1 - FEUILLE DE TD 2
Exercice 5 (groupes monog`enes).
a) Montrer que le groupe additif (Q,+) n’est pas monog`ene. En d´eduire qu’il
en est de mˆeme pour le groupe (R,+).
b) Montrer que (Q,+) = h1/n!, n ∈N∗i.
Exercice 6.Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 et p1, ..., pmses
diviseurs premiers distincts.
a) Montrer que l’ensemble Gndes ´el´ements ¯ade Z/nZtels que asoit premier
avec nh´erite d’une structure de groupe ab´elien (multiplicatif) si on le
munit de l’op´eration de multiplication modulo n. Montrer que l’ordre de
ce groupe est ´egal `a ϕ(n) = nQm
j=1(1−1/pj) (cette fonction de ns’appelle
la fonction d’Euler). En d´eduire que l’on a ¯aϕ(n)=¯ 1 pour tout ¯a∈Gn.
b) En d´eduire que ¯ap= ¯apour tout ¯a∈Z/pZlorsque pest premier (petit
th´eor`eme de Fermat).
c) Que vaut l’ordre du groupe multiplicatif G18 ? Calculer les ordres de tous
les ´el´ements de ce groupe.
Exercice 7.Soient (H, ·) et (K, ·) deux groupes multiplicatifs. On ´equipe
G=H×Kde l’op´eration interne (h0, k0)•(h1, k1) := (h0·h1, k0·k1), ce qui
permet d’´equiper Gd’une structure de groupe.
a) Soient hun ´el´ement de Hd’ordre met kun ´el´ement de Kd’ordre n. Que
vaut l’ordre de (h, k) en tant qu’´el´ement de G?
b) On suppose Het Ktous deux cycliques d’ordre finis (respectivement M
et N). Montrer que Gest cyclique si et seulement pgcd(M, N) = 1. Quel
est l’ordre de G?
Exercice 8.Soit G=haiun groupe cyclique d’ordre n≥2, l’op´eration ´etant
not´ee multiplicativement.
a) On suppose que Hest un sous-groupe de G. Soit mle plus petit entier
strictement positif tel que am∈H. Pourquoi mexiste-t’il ? Montrer que
n´ecessairement m|net que l’ordre de H(consid´er´e comme groupe) vaut
m/n.
b) Montrer que si dest un diviseur de n,Gposs`ede un unique sous-groupe
d’ordre d.
Exercice 9.Soit Gun groupe non cyclique d’ordre 6 ; on rappelle que G
poss`ede au moins un ´el´ement ad’ordre 2 (voir l’exercice 14 de la feuille 1).
a) Montrer que si best un ´el´ement d’ordre 2 de Gqui commute avec a,
n´ecessairement a=b(consid´erer pour cela le sous-groupe ha, bi).
b) Montrer que si b∈G\ {1, a}, alors a·best d’ordre 3 d`es que best d’ordre
2. En d´eduire que Gposs`ede n´ecessairement au moins un ´el´ement cqui
est d’ordre 3.
c) Montrer que si aet cne commutent pas, G={1, a, c, c2, a ·c, a ·c2}. En
d´eduire que c·a=a·c2.
d) Comparer la table du groupe G`a celle du groupe S3si l’on note ala
transposition (1 2) et cle cycle (1 2 3).