Structures Algébriques 1

Structures Algébriques 1 - Feuille de TD 2
Exercice 1. On considère l’ensemble SL2 (Z) des matrices
a b
M=
(a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = det M = 1).
c d
a) Montrer que SL2 (Z) est un groupe si on l’équipe de l’opération interne
(notée ·) définie comme l’opération de multiplication des matrices 2 × 2
et que ce groupe contient les trois matrices
1 1
0 −1
0 −1
T :=
, U :=
, V :=
.
0 1
1 0
1 −1
S’agit-t’il d’un groupe fini ? d’un groupe abélien ?
b) Vérifier que U est d’ordre fini dans ce groupe SL2 (Z) et calculer cet ordre.
c) Soit
a b
∈ SL2 (Z).
c d
On suppose que q et r sont deux entiers tels que a = cq + r. Calculer
U · T −q · M .
M=
d) Montrer que le groupe SL2 (Z) admet T et U comme générateurs, ce que
l’on exprimera SL2 (Z) = hT, U i.
e) Montrer que SL2 (Z) = hU, V i. Quel est l’ordre de V dans SL2 (Z) ?
Exercice 2 (groupes diédraux). Soit n un entier naturel supérieur ou égal à
3 et (G, ·) un groupe dans lequels existent à la fois un élément r d’ordre n et un
élément s d’ordre 2 tels que G = hr, si et que s · r = r−1 · s. Prouver que (G, ·) est
un groupe non abélien d’ordre 2n.
Exercice 3. On considère le groupe (S10 , ◦) des permutations d’un ensemble
à 10 éléments numérotés {1, ..., 10}.
a) Quel est l’ordre de ce groupe ?
b) Calculer l’ordre dans ce groupe de la permutation (dite cycle ) notée
σ = 1 2 3) qui à 1 associe 2, à 2 associe 3, à 3 associe 1 et laisse inchangés
les entiers de 4 à 10.
c) Calculer l’ordre de la permutation τ : (4 7 5 8) qui à 4 associe 7, à 7
associe 5, à 5 associe 8, à 8 associe 4 et laisse 1, 2, 3, 6, 9, 10 inchangés. En
déduire l’ordre de σ ◦ τ .
Exercice 4. Montrer que pour tout N ∈ N∗ , le groupe multiplicatif des racines
N
de l’unité dans C est un groupe cyclique dont on donnera explicitement un
générateur. Quel est l’ordre de l’élément e2iπk/N de ce groupe (k ∈ {0, ..., N − 1}) ?
èmes
1
2
STRUCTURES ALGÉBRIQUES 1 - FEUILLE DE TD 2
Exercice 5 (groupes monogènes).
a) Montrer que le groupe additif (Q, +) n’est pas monogène. En déduire qu’il
en est de même pour le groupe (R, +).
b) Montrer que (Q, +) = h1/n!, n ∈ N∗ i.
Exercice 6. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et p1 , ..., pm ses
diviseurs premiers distincts.
a) Montrer que l’ensemble Gn des éléments ā de Z/nZ tels que a soit premier
avec n hérite d’une structure de groupe abélien (multiplicatif) si on le
munit de l’opération de multiplication
modulo n. Montrer que l’ordre de
Qm
ce groupe est égal à ϕ(n) = n j=1 (1−1/pj ) (cette fonction de n s’appelle
la fonction d’Euler). En déduire que l’on a āϕ(n) = 1̄ pour tout ā ∈ Gn .
b) En déduire que āp = ā pour tout ā ∈ Z/pZ lorsque p est premier (petit
théorème de Fermat).
c) Que vaut l’ordre du groupe multiplicatif G18 ? Calculer les ordres de tous
les éléments de ce groupe.
Exercice 7. Soient (H, ·) et (K, ·) deux groupes multiplicatifs. On équipe
G = H × K de l’opération interne (h0 , k0 ) • (h1 , k1 ) := (h0 · h1 , k0 · k1 ), ce qui
permet d’équiper G d’une structure de groupe.
a) Soient h un élément de H d’ordre m et k un élément de K d’ordre n. Que
vaut l’ordre de (h, k) en tant qu’élément de G ?
b) On suppose H et K tous deux cycliques d’ordre finis (respectivement M
et N ). Montrer que G est cyclique si et seulement pgcd(M, N ) = 1. Quel
est l’ordre de G ?
Exercice 8. Soit G = hai un groupe cyclique d’ordre n ≥ 2, l’opération étant
notée multiplicativement.
a) On suppose que H est un sous-groupe de G. Soit m le plus petit entier
strictement positif tel que am ∈ H. Pourquoi m existe-t’il ? Montrer que
nécessairement m|n et que l’ordre de H (considéré comme groupe) vaut
m/n.
b) Montrer que si d est un diviseur de n, G possède un unique sous-groupe
d’ordre d.
Exercice 9. Soit G un groupe non cyclique d’ordre 6 ; on rappelle que G
possède au moins un élément a d’ordre 2 (voir l’exercice 14 de la feuille 1).
a) Montrer que si b est un élément d’ordre 2 de G qui commute avec a,
nécessairement a = b (considérer pour cela le sous-groupe ha, bi).
b) Montrer que si b ∈ G \ {1, a}, alors a · b est d’ordre 3 dès que b est d’ordre
2. En déduire que G possède nécessairement au moins un élément c qui
est d’ordre 3.
c) Montrer que si a et c ne commutent pas, G = {1, a, c, c2 , a · c, a · c2 }. En
déduire que c · a = a · c2 .
d) Comparer la table du groupe G à celle du groupe S3 si l’on note a la
transposition (1 2) et c le cycle (1 2 3).