Groupes abéliens finis

GROUPES ABÉLIENS FINIS
Chapitre 3
Table des matières
1. Groupes monogènes, groupes cycliques ........................ 1
2. Morphismes de groupes cycliques .............................. 4
3. Sous-groupes d’un groupe cyclique ............................ 5
4. Groupes d’ordre premier ...................................... 8
5. Décomposition cyclique des groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . 9
Pour tout entier n > 0, on notera Znl’ensemble Z/nZ={¯ 0, . . . , n −1}.
1. Groupes monogènes, groupes cycliques
Nous rappelons ici la notion de groupe monogène définie au chapitre
1. Un groupe Gengendré par un élément a∈Gest appelé groupe mo-
nogène, on écrit
G=hai={ak;k∈Z}, o(a) = n
En notation additive, on écrit
G=hai={ka ;k∈Z}
Il existe des groupes monogènes infinis, tels que Zet des groupes mono-
gènes finis.
c
Septembre 2015, Khalid Koufany

2CHAPITRE 3
Définition 1.1. — On dit qu’un groupe Gest cyclique lorsqu’il est
monogène et fini. Tout élément ade Gtel que G=haiest appelé un
générateur de G. On a donc, si |G|=n,
G={e, a, a2, . . . , an−1}.
En notation additive, on écrit
G={0, a, 2a, . . . , (n−1)a}.
Proposition 1.2. — Si Gest un groupe monogène et si fest un mor-
phisme de groupes de Gdans un autre groupe G0, alors f(G)est monogène
Démonstration. — En effet, si G=haiavec a∈G, alors f(G) = hf(a)i,
puisque fest un morphisme de groupes.
Pour tout entier n > 0, le groupe additif Znest cyclique.. En ef-
fet, (Z,+) et monogène engendré par 1. Le morphisme (projection ca-
nonique) π:Z→Znest surjectif, donc Znest monogène, engendré
par π(1) = ¯ 1. Comme le groupe Znest fini d’ordre n, il est cyclique
Un={1, ξ, . . . , ξn−1}.
Exemples 1.3. — 1. Pour tout entier n > 0, le groupe additif Zn
est cyclique. En effet, (Z,+) et monogène engendré par 1. Le mor-
phisme (projection canonique) π:Z→Znest surjectif, donc Zn
est monogène, engendré par π(1) = ¯ 1. Comme le groupe Znest fini
d’ordre n, il est cyclique.
2. Le groupe multiplicatif Un={z∈C;zn= 1}des racines nièmes
de l’unité dans C, est groupe cyclique d’ordre nengendré par par
ζ=e2iπ
n. En effet, considérons le morphisme de groupes π(Z,+) →
(C×,×)tel que π(k) = e2ikπ/n. Son image π(Z) = Unest un groupe
cyclique d’ordre n, engendré par π(1) = e2iπ/n.
Proposition 1.4. — Si G=haiest un groupe cyclique d’ordre n, alors
(k∈Zet ak=e)⇐⇒ k∈nZ
et nest le plus petit entier strictement positif tel que an=e.
Démonstration. — En effet, l’element aest dordre n(voir Proposition
9.1 du chapitre 1).
Pour n≥2, on note ϕ(n)le cardinal de l’ensemble des entiers ktels
que 1≤k≤n−1et pgcd(k, n)=1(c-à-d. net kpremiers entre eux).
On convient que ϕ(1) = 1. La fonction ϕ:N∗→N∗ainsi définie est

LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S5 3
appelée la fonction d’Euler ou caractéristique d’Euler.
Les propriétés de la fonction d’Euler sont étudiées dans l’exercice 16 de
la feuille 3.
Proposition 1.5. — Soient Gun groupe cyclique d’ordre net a∈Gun
générateur de G.
a) Pour tout k∈Z, l’ordre de ak∈Gest o(ak) = n
pgcd(n,k). En parti-
culier, akest un générateur de Gsi et seulement si pgcd(n, k) = 1.
b) Il existe ϕ(n)générateurs distincts dans G.
Démonstration. — Soit k∈Z. Posons d= pgcd(n, k)∈N∗. Alors n=
dn0et k=dk0avec pgcd(n0, k0) = 1. Pour tout m∈N, on a (ak)m=
e⇐⇒ akm =e⇐⇒ n|km ⇐⇒ n0|k0m⇐⇒ n0|m. Ainsi n0est le
plus petit entier non nul tel que (ak)n0=eet par suite n0=o(ak).
Exemple 1.6. — (a) Le groupe additif Znest cyclique d’ordre net en-
gendré par ¯ 1. Ses générateurs sont de la forme ¯ k=k¯ 1avec 0≤k≤n−1
et k∧n= 1.
(b) le groupe multiplicatif Unest cyclique d’ordre net engendré par
ξ=e2iπ/n. Ses générateurs sont de la forme ξkavec 0≤k≤n−1et
k∧n= 1.
(c) Soit a∈U30. Alors il existe un entier ktel que 0≤k≤29 tel que
a=ξkavec ξ=e2iπ/30 =eiπ/15.
o(a) = 6 ⇐⇒ 30
pgcd(k,30) = 6
⇐⇒ 5
pgcd(k,30) = 1
⇐⇒ pgcd(k, 30) = 5
⇐⇒ k= 5,25
On en déduit qu’il y a deux élément d’ordre 6 qui sont ξ5=eiπ/3et
ξ25 =e5iπ/3.
Lemme 1.7. — Soient Gun groupe cyclique d’ordre n. Alors Gest iso-
morphe au groupe Z/nZ. En particulier, Gest ablien.
Démonstration. — Soit a∈Gun générateur de G. L’homomrphisme
fa:k7→ akde Zdans Gest surjectif car hai=G. Son noyau est nZoù
nest l’ordre o(a)de a. Par factorisation, on en déduit un isomorphisme
fa:¯ k7→ akde Z/nZsur G.

4CHAPITRE 3
2. Morphismes de groupes cycliques
Proposition 2.1. — Soient Gun groupe cyclique et a∈Gun généra-
teur de G.
1. Soit fun homomorphisme surjectif de Gsur un autre groupe G0.
Alors G0est cyclique, a0=f(a)engendre G0et |G0|divise |G|. En
particulier, tout groupe quotient de Gest cyclique.
2. Soit G0un groupe cyclique tel que |G0|divise |G|. Soit a0∈G0. Il
existe un unique homomorphisme fde Gdans G0tel que f(a) = a0.
Pour que fsoit surjectif, il faut et il suffit que a0soit un générateur
de G0.
Démonstration. — 1. Puisque fest surjectif, pour tout y∈G0il existe
x∈Gtel que f(x) = y. Or il existe k,0≤k≤n−1tel que x=ak, et
donc y=f(ak) = f(a)ket par suite f(a)engendre G0. De plus, comme
fest surjectif, G0est isomorphe à G/Ker(f)et donc |G0|divise |G|.
2. Posons |G|=net |G0|=n0. D’après le théorème de Lagrange,
m:= o(a0)divise n0. Or n0divise n, donc nZ⊂mZ. Considérons
l’homomorphisme canonique g:k7→ a0kde Zsur ha0i. Son noyau est
mZ. Par (restriction à Z/nZde la) factorisation, il existe un homomor-
phisme ¯gde Z/nZsur ha0itel que ¯g(¯ k) = a0kpour tout ¯ k∈Z/nZ.
Soit fal’isomorphisme de Z/nZsur Gdonné par le Lemme 1.7. Alors
f= ¯g◦f−1
a∈Hom(G, G0)est tel que f(a) = ¯g(f−1 a(a)) = ¯g(¯
1) = a0. Il
est unique car la donnée de f(a) = a0détermine f(ak) = a0kpour tout
k∈Z. Pour que fsoit surjective, il faut et il suffit que a0engendre G0
car Im(f) = Im(g) = ha0i.
Corollaire 2.2. — Deux groupes cycliques Get G0sont isomorphes si
et seulement s’ils ont le même ordre. Supposons cette condition vérifiée.
Soit a∈Gun générateur de G. Alors l’application θ:f7→ f(a)est une
bijection de l’ensemble Isom(G, G0)des isomorphismes de Gdans G0,
sur l’ensemble des générateurs de G0.
Démonstration. — Si Get Gsont isomorphes, alors ils ont le même ordre.
Réciproquement, s’il Get G0ont le même cardinal, alors d’après le lemme
1.7, ils sont isomorphes.
Si mest un entier et si Gest un groupe, alors on note fml’application
de Gdans Gdonnée par fm:x7→ xm.

LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S5 5
Lemme 2.3. — Soit Gun groupe cyclique d’ordre n. Le groupe Aut(G)
est d’ordre ϕ(n)et ses éléments sont les applications fkavec kun entier
0≤k≤n−1premier avec n.
Démonstration. — Soit a∈Gun générateur de G. D’après le corollaire ?,
les automorphismes de Gsont déterminer par le choix d’un générateur a0
de G. Or d’après le corollaire 2.2 les générateurs de Gsont de la forme
akavec 0≤k≤n−1et k∧n= 1. On a donc ϕ(n)automorphismes.
Comme les applications fksont des automorphismes (car Gétant cyclique
est abélien) et qu’ils sont au nombre de ϕ(n)on déduit qu’ils forment le
groupe Aut(G). Ils sont donc au nombre de |Z×
n|=ϕ(n).
Remarque 2.4. — En notation additive, les éléments de Aut(G)sont
les applications fk:G→Gtelles que fk(x) = kx.
Examinons le cas du groupe additif Zn. Ce groupe est cyclique d’ordre
nengendré par ¯ 1. Les automorphismes de Znsont les multiplications
fk: ¯x7→ k¯x=¯ k¯xpar les éléments ¯ kinversible dans l’anneau (Zn,+,×)
(car k∧n= 1), c’est-à-dire les éléments ¯ k∈Z×
n.
3. Sous-groupes d’un groupe cyclique
Proposition 3.1. — Soient Gun groupe cyclique d’ordre net aun gé-
nérateur de G. Tout sous-groupe de Gest cyclique et pour tout diviseur
dde n, il existe un unique sous-groupe Hdde Gd’ordre d. En posant
δ=n/d, ce sous-groupe est caractérisé par
Hd=Ker(fd) = {x∈G:xd=e}
=Im(fδ) = {y∈G:∃x∈G, yδ=x}
=haδi
Démonstration. — Comme Gest abélien, pour tout k∈N,fk:x7→ xk
est un endomorphisme de G. Soit dun diviseur de net posons δ=n/d.
Pour tout x∈G, on a (xd)δ= (xδ)d=xn=eet donc Im(fd)⊂Ker(fδ)
et Im(fδ)⊂Ker(fd). Or o(aδ) = det o(ad) = δ, donc haδiest un
sous-groupe d’ordre det hadiest un sous-groupe d’ordre δde G. On a
Im(fd) = {(ak)d: 0 ≤k≤n−1}={(ad)k: 0 ≤k≤n−1}=hadi.
De même Im(fδ) = haδi. Ainsi |Im(fd)|=δet |Im(fδ)|=d. Or d’après
le théorème de Lagrange, |Im(fd)|=|G|
|Ker(fd)|, donc |Ker(fd)|=d. De
même |Ker(fδ)|=δ. Les inclusions précédentes sont donc des égalités
puisque les cardinaux des deux membres sont égaux. Nous avons donc