ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D`EXERCICES 1 Notation

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D’EXERCICES 1
DANIELE FAENZI
Notation. Soit Gun groupe.
– Le symbole D(G)désigne le groupe dérivé de G, c’est à dire le groupe :
D(G) = h{[g, h]|(g, h)∈G×G}i,
où [g, h]est le commutateur [g, h] = ghg−1h−1.
– Si Hest un sous-groupe de G,ona:
HG=h{ghg−1∈G|(h, g)∈H×G}i,
NG(H) = {g∈G|gHg−1=H}.
– On note par ZG(A)le centralisateur d’une partie A⊂G,
ZG(A) = {g∈G∀a∈A, gag−1∈A}.
– La fonction indicatrice d’Euler ϕassocie à un nombre naturel nle
nombre ϕ(n)d’entiers positifs inférieurs à net premiers avec n.
Exercice 1. On note par Snle groupe des permutations de néléments.
(1) Démontrer que le groupe symétrique Snest engendré par un cycle
de longueur net une transposition.
(2) Décrire tous les sous-groupes de S3. Lesquels sont distingués ?
Exercice 2 (Groupes cycliques).Soit n∈N, et Gle groupe cyclique d’ordre
n,G=Z/nZ.
(1) Montrer que tout sous-groupe de Gest cyclique.
(2) Montrer que tout groupe quotient de Gest aussi cyclique.
(3) Montrer que, si d|n, il existe un unique sous-groupe de Gd’ordre d.
(4) Déduire que :
n=X
d|n
ϕ(d).
(5) Donner un exemple d’un groupe Hdont tous le sous-groupes sont
cycliques, mais qui n’est pas abélien. Si Hest abélien, est-il cyclique ?
Exercice 3 (Groupes d’indice fini).Soient A,Bdeux sous-groupes de G.
(1) On suppose (G:A)<∞. Montrer alors que A∩Best d’indice fini
dans B.
(2) On suppose en plus que (G:B)<∞. Montrer alors que A∩Best
d’indice fini dans G.
(3) Généraliser au cas d’un nombre fini de sous-groupes.
Date: 7 février 2008.
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(4) Montrer que :
\
(Z:A)<∞
A={0}.
Exercice 4 (Théorèmes d’isomorphisme).Soient H, K, G des groupes.
(1) Si on a HGet K≤G, montrer que H∩Kest distingué dans K
et que :
K/(K∩H) = HK/H.
(2) Si en plus on a KG, montrer HKet K/H G/H. Montrer
aussi : G/H
K/H ∼
=G/K.
Exercice 5. Soit Hun sous-groupe d’un groupe G.
(1) Démontrer que :
HNG(H)≤G,
H≤HGG,
et que :
HG=H⇐⇒ NG(H) = G⇐⇒ HG.
(2) Démontrer que tout quotient abélien de Gest quotient de G/D(G).
Exercice 6. Soient Het Ksous-groupes d’un groupe G.
(1) Est-ce que KHGimplique KG?(Indication : considérer le
groupe engendré par (12)(34) et (13)(24) dans le groupe alterné A4).
(2) Est-ce que HGimplique KGsi Kest caractéristique dans H
(c’est à dire, stable pour tout automorphisme de H) ?
Exercice 7 (Groupes d’ordre pn).Soit Gun groupe d’ordre pn, avec p
premier et n > 0.
(1) Montrer que le centre de Gn’est pas trivial. (Indication : faire agir
Gpar conjugaison sur lui-même).
(2) En déduire que, pour tout 0< m < n, il existe un sous-groupe
distingué de Gd’ordre pm.(Indication : traiter d’abord le cas G
abélien.)
Exercice 8 (Groupes d’ordre p2).Soit Z=ZG(G)le centre d’un groupe G.
(1) Montrer que, si G/Z est cyclique, alors Gest abélien.
(2) Déduire que, pour tout nombre premier p, il existe exactement deux
groupes d’ordre p2non isomorphes :
Z/pZ×Z/pZ,et Z/p2Z.
Exercice 9 (Groupes d’indice fini, suite).Soit Gun groupe et Aun sous-
groupe de Gd’indice fini.
(1) Montrer que le sous-ensemble Ides parties de Gdonné par :
I={gAg−1|g∈G},
est de cardinal fini.

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(2) En utilisant le point précédent, montrer qu’il existe un sous-groupe
Bde Anormal dans Get d’indice fini dans G.
(3) Montrer qu’un groupe infini simple ne contient pas de sous-groupe
propre d’indice fini.
Exercice 10 (Sous-groupes de plus petit indice).Soit Gun groupe fini, et
soit |G|=pr1
1· · · prm
m, une décomposition en facteurs premiers de l’ordre de
G, avec p1<· · · < pm.
(1) Démontrer que si Hest un sous-groupe de Gd’indice p1, alors Hest
distingué dans G.(Indication : faire agir Hsur G/H).
(2) Montrer avec un exemple que l’énoncé au point (1) n’est plus vrai si
on enlève l’hypothèse p1<· · · < pm.
Exercice 11 (Sous-groupes normales de plus petit ordre).Avec les notations
de l’exercice 10, démontrer que si HGet |H|=p1, alors Hest central,
i.e. H⊂ZG(G).(Indication : faire opérer Gsur Hpar conjugaison).
Exercice 12. Soit GL(2,R)le groupe des matrices (2,2) inversibles à coef-
ficients réels.
(1) Montrer que H:= 1p
0 1 , p ∈Z,est un sous-groupe abélien.
(2) Montrer qu’il est monogène. Est-il normal ?
(3) Soient A:= 0−1
1 1 et B:= 0 1 −1 0deux matrices.
(a) Montrer que Aet Bappartiennent à GL(2,Z), calculer leur
ordre et montrer que Hest contenu dans hA, Bi.
(b) Que pensez-vous des assertions suivantes ?
– “un groupe engendré par des éléments d’ordre fini est fini.”
– “tous les éléments d’un groupe engendré par des éléments
d’ordre fini sont d’ordre fini.”
(c) Le groupe engendré par Aet Best-il abélien ?
(d) Calculer l’intersection du groupe cyclique engendré par Aet du
groupe cyclique engendré par B.
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