ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D’EXERCICES 1 DANIELE FAENZI Notation. Soit G un groupe. – Le symbole D(G) désigne le groupe dérivé de G, c’est à dire le groupe : D(G) = h{[g, h] | (g, h) ∈ G × G}i, où [g, h] est le commutateur [g, h] = ghg −1 h−1 . – Si H est un sous-groupe de G, on a : H G = h{ghg −1 ∈ G | (h, g) ∈ H × G}i, NG (H) = {g ∈ G | gHg −1 = H}. – On note par ZG (A) le centralisateur d’une partie A ⊂ G, ZG (A) = {g ∈ G ∀a ∈ A, gag −1 ∈ A}. – La fonction indicatrice d’Euler ϕ associe à un nombre naturel n le nombre ϕ(n) d’entiers positifs inférieurs à n et premiers avec n. Exercice 1. On note par Sn le groupe des permutations de n éléments. (1) Démontrer que le groupe symétrique Sn est engendré par un cycle de longueur n et une transposition. (2) Décrire tous les sous-groupes de S3 . Lesquels sont distingués ? Exercice 2 (Groupes cycliques). Soit n ∈ N, et G le groupe cyclique d’ordre n, G = Z/nZ. (1) Montrer que tout sous-groupe de G est cyclique. (2) Montrer que tout groupe quotient de G est aussi cyclique. (3) Montrer que, si d|n, il existe un unique sous-groupe de G d’ordre d. (4) Déduire que : n= X ϕ(d). d|n (5) Donner un exemple d’un groupe H dont tous le sous-groupes sont cycliques, mais qui n’est pas abélien. Si H est abélien, est-il cyclique ? Exercice 3 (Groupes d’indice fini). Soient A, B deux sous-groupes de G. (1) On suppose (G : A) < ∞. Montrer alors que A ∩ B est d’indice fini dans B. (2) On suppose en plus que (G : B) < ∞. Montrer alors que A ∩ B est d’indice fini dans G. (3) Généraliser au cas d’un nombre fini de sous-groupes. Date: 7 février 2008. 1 2 DANIELE FAENZI (4) Montrer que : \ A = {0}. (Z : A)<∞ Exercice 4 (Théorèmes d’isomorphisme). Soient H, K, G des groupes. (1) Si on a H G et K ≤ G, montrer que H ∩ K est distingué dans K et que : K/(K ∩ H) = HK/H. (2) Si en plus on a K G, montrer H K et K/H G/H. Montrer aussi : G/H ∼ = G/K. K/H Exercice 5. Soit H un sous-groupe d’un groupe G. (1) Démontrer que : H NG (H) ≤ G, H ≤ H G G, et que : H G = H ⇐⇒ NG (H) = G ⇐⇒ H G. (2) Démontrer que tout quotient abélien de G est quotient de G/D(G). Exercice 6. Soient H et K sous-groupes d’un groupe G. (1) Est-ce que K H G implique K G ? (Indication : considérer le groupe engendré par (12)(34) et (13)(24) dans le groupe alterné A4 ). (2) Est-ce que H G implique K G si K est caractéristique dans H (c’est à dire, stable pour tout automorphisme de H) ? Exercice 7 (Groupes d’ordre pn ). Soit G un groupe d’ordre pn , avec p premier et n > 0. (1) Montrer que le centre de G n’est pas trivial. (Indication : faire agir G par conjugaison sur lui-même). (2) En déduire que, pour tout 0 < m < n, il existe un sous-groupe distingué de G d’ordre pm . (Indication : traiter d’abord le cas G abélien.) Exercice 8 (Groupes d’ordre p2 ). Soit Z = ZG (G) le centre d’un groupe G. (1) Montrer que, si G/Z est cyclique, alors G est abélien. (2) Déduire que, pour tout nombre premier p, il existe exactement deux groupes d’ordre p2 non isomorphes : Z/pZ × Z/pZ, et Z/p2 Z. Exercice 9 (Groupes d’indice fini, suite). Soit G un groupe et A un sousgroupe de G d’indice fini. (1) Montrer que le sous-ensemble I des parties de G donné par : I = {gAg −1 | g ∈ G}, est de cardinal fini. ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D’EXERCICES 1 3 (2) En utilisant le point précédent, montrer qu’il existe un sous-groupe B de A normal dans G et d’indice fini dans G. (3) Montrer qu’un groupe infini simple ne contient pas de sous-groupe propre d’indice fini. Exercice 10 (Sous-groupes de plus petit indice). Soit G un groupe fini, et soit |G| = pr11 · · · prmm , une décomposition en facteurs premiers de l’ordre de G, avec p1 < · · · < pm . (1) Démontrer que si H est un sous-groupe de G d’indice p1 , alors H est distingué dans G. (Indication : faire agir H sur G/H). (2) Montrer avec un exemple que l’énoncé au point (1) n’est plus vrai si on enlève l’hypothèse p1 < · · · < pm . Exercice 11 (Sous-groupes normales de plus petit ordre). Avec les notations de l’exercice 10, démontrer que si H G et |H| = p1 , alors H est central, i.e. H ⊂ ZG (G). (Indication : faire opérer G sur H par conjugaison). Exercice 12. Soit GL(2, R) le groupe des matrices (2, 2) inversibles à coefficients réels. 1 p (1) Montrer que H := , p ∈ Z, est un sous-groupe abélien. 0 1 (2) Montrer qu’il est monogène. Est-il normal ? 0 −1 0 1 (3) Soient A := et B := deux matrices. 1 1 −1 0 (a) Montrer que A et B appartiennent à GL(2, Z), calculer leur ordre et montrer que H est contenu dans hA, Bi. (b) Que pensez-vous des assertions suivantes ? – “un groupe engendré par des éléments d’ordre fini est fini.” – “tous les éléments d’un groupe engendré par des éléments d’ordre fini sont d’ordre fini.” (c) Le groupe engendré par A et B est-il abélien ? (d) Calculer l’intersection du groupe cyclique engendré par A et du groupe cyclique engendré par B. E-mail address: [email protected] Université de Pau et des Pays de l’Adour, L.M.A., I.P.R.A. Avenue de l’université BP 1155, 64013 PAU Cedex, Téléphone : +33(0)5 59 40 75 15, Télécopie : +33(0)5 59 40 70 01