Continuité - Dérivation Cours

Continuité - Dérivation Cours
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
 Gérard Hirsch – Maths54 1
Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION
1. CONTINUITE
1. 1 Continuité en un point
Définition
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct
des bornes de I)
f est continue en a si
li
m
x→a
f(x)
=
f(a)
Si f n’est pas continue en a, on dit que f est discontinue en a
Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique
qui
peut être tracée d’un trait continu (sans lever le crayon de la feuille) de la borne inférieure à
la
borne supérieure de l’intervalle.
1.2 Continuité à gauche de a - Continuité à droite de a
f est continue à gauche de a si
li
m
x→a
−
f(x)
=
f(a)
f est continue à droite de a si
lim
x→a
+
f(x)
=
f(a)
Cas des fonctions définies en a et par des expressions différentes à gauche et à droite de a
(on dit que f est définie par morceaux)

Continuité - Dérivation Cours
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
 Gérard Hirsch – Maths54 2
f est continue en a si lim
x→a
−
f(x)
=
lim
x→a
+
f(x)
=
f(a)
Si l’une des limites à gauche, ou à droite (ou encore les deux limites) n’existent pas
ou
si
lim
x→a
−
f(x) ≠lim
x→a
+
f(x) alors f est discontinue en a
Exemple 1: La fonction f définie sur I
=
0,
+
∞
]
[
par f(x) =1
x n’est pas définie en a=0,
elle n’est pas continue a=0, elle est discontinue à droite de a
=
0
Exemple 2: La fonction partie entière E, notée E , définie par :
∀x∈R, ∃n
∈
Z,
unique tel que n
≤
x
<
n
+
1
n est appelée la partie entière de x, et notée E(x)
E(2,57) =2, E(π)=E(3,14159.....)
=
3 , E(4)
=
4 et E(
−
0,54)
=
−1
et
lim
x→1
−
x≠1
E(x) =0
E(1) =1
lim
x→1
+
x≠1
E(x)
=
0
La fonction partie entière E est continue sur chacun des intervalles n,n+1
][
(n ∈Z)
La fonction partie entière E n’est continue pour aucune valeur n entier relatif
(n ∈Z)
(elle est continue à droite pour n entier relatif
(n
∈
Z))
on écrit E fonction partie entière est continue sur
R
−
Z

Continuité - Dérivation Cours
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
 Gérard Hirsch – Maths54 3
La fonction partie entière E est une fonction en escalier
1.3 Continuité sur un intervalle
f définie sur un intervalle ouvert I =a,b
]
[
est continue sur I si f est continue en tout réel a
de
l’intervalle I.
f définie sur un intervalle fermé I=a,b
[
] est continue sur I, si f est continue sur
l’intervalle
ouvert a,b
][
, continue à droite de a et à gauche de b
(soit li
m
x→a
+f(x) =f(a) e
t
li
m
x→b
−f(x)
=
f(
b
))
1.3 Continuité des fonctions usuelles
Les propriétés des fonctions continues se déduisent des propriétés des limites
• Si f et g sont continues en a, il en est de même pour f+g et
λ
f(
λ
∈
R)
•
Si f et g sont continues en a, il en est de même pour f g et si g(a)
≠
0 pour
f
g
• Si f est continue en a, f l’est aussi
•
Si f est continue en a et si g est continue en f(a) alors g
ο
f est continue en a
En particulier les fonctions suivantes sont continues
• les fonctions x a x
n
(n ∈N)
sont continues sur
R
• les fonctions polynômes sont continues sur
R
•
les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle où le dénominateur ne
s’annule pas

Continuité - Dérivation Cours
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Gérard Hirsch – Maths54 4
• la fonction
xax
est continue sur 0,
+
∞
[
[
• les fonctions x a sinx et x a cosx sont continues sur
R
•
la fonction
xatanx
est continue sur
−
π
2+kπ,
π
2+kπ
 (k ∈Z)
Exemple : Soit f la fonction définie sur R par
f(x) =3x
−
5six
<
2
x
2
−3six≥2
f est une fonction polynôme du premier degré sur
−
∞
,2
]
[
, elle est donc continue
sur −∞,2
][
f est une fonction polynôme du deuxième degré sur l’intervalle 2 ,
+
∞
]
[
, elle est donc
continue sur 2 ,+∞
]
[
. Cette fonction est même continue à droite de 2 de par la définition
de
la fonction
f est continue sur −
∞
,2
][
∪2,
+
∞
]
[
Démontrons que f est continue à gauche de 2
f(2) =22−3=1 et li
m
x→2
x<2
f(x) =li
m
x→2
x<2
(3x
−
5)
=
1 et f est continue à gauche de 2
f est donc continue à droite et à gauche de 2 donc en 2 et f est continue sur R
2. PROLONGEMENT par CONTINUITE
Lorsque la fonction f n’est pas définie en a et possède une limite finie L en a , on définit
une nouvelle fonction
f
~

Continuité - Dérivation Cours
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
 Gérard Hirsch – Maths54 5
f
~
(x) =f(x) si x ∈I−a
{}
lim
x→a
f(x)=L
La fonction f
~
(lire f tilde) est appelée prolongement par continuité de f en a
Exemple :
Soit la fonction f définie sur
R
∗
par f(x) =x sin 1
xsi x ≠0
pour x ≠0, −x≤xsin 1
x≤x
et en appliquant le théorème des gendarmes
lim
x→0
x≠0
x sin 1
x=0
alors le prolongement par continuité de f en 0 est la fonction f
~
avec
f
~
(x) =x sin 1 xsi x ≠0
0six=0
3 FONCTIONS CONTINUES sur un INTERVALLE
3.1 Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur un intervalle I (borné ou non) alors f prend au moins une fois sur I
toute
valeur de l’intervalle
m,M
][
où
m
=
inf
x
∈
I
f(x) et M
=
sup
x
∈
I
f(x)