1/11 COMPOSITION DE PHYSIQUE – B – (XELC) Activité Optique I

X Physique B PC 2011 — Énoncé 1/11
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE–ÉCOLESNORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2011 FILIÈREPC
COMPOSITIONDEPHYSIQUE–B–(XELC)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
ActivitéOptique
Lorsqu’unelumièrepolarisée rectilignementpénètredansunesubstance isotropeoptiquement
active, lalumière émergentea,danstouslescas,quellequesoitladirection depolarisationinitiale
etl’épaisseur traversée,unepolarisationrectiligne.Cependant, ladirection depolarisationa
tourné,c’estlaraison pourlaquelleon parledepouvoir rotatoire.
Onseproposedansce problèmed’étudierquelquespropriétésetmodèlesdesubstancesou
matériauxprésentantce genred’activitéoptiqueappelée aussipouvoir rotatoire.
Constantesusuelles
Céléritédelalumièredanslevide:c=3,00 ×108m·s−1
Permittivitédu vide:ε0=8,82 ×10−12 F·m−1
Perméabilitédu vide:µ0=4π×10−7H·m−1
Massedel’électron:m=9,11 ×10−31 kg
Charge élémentaire:e=1,60 ×10−19 C
I.Introduction
Unelumièremonochromatiquepolarisée rectilignementselonl’axeOxpénètre enz=0
dansunesubstance optiquementactive.Elle émerge enz=ℓavec unepolarisationquifaitun
angleαavec l’axeOx(voirfigure1).L’algébrisation del’angle est telleque(~ex,~ey)= +π
2.
I.1Quelle(s)source(s)permet(tent) d’obtenirunelumièrequasi-monochromatique?
Comment réaliserunesource delumièremonochromatiquepolarisée rectilignement?
I.2Proposer,enquelqueslignes,un protocole expérimentalpermettantdevérifierqueleplan
depolarisation d’unelumièrepolarisée rectilignementetayant traverséun milieuoptiquement
actif,atourné.
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x~
E
α
z
vide
z=ℓ
ℓ
substance
optiquement
active
z=0
vide
y
~
k
Figure1.
II.ThéoriedeFRESNEL:notion debiréfringencecirculaire
LathéoriephénoménologiquedeFresnelpermetderendre comptedu pouvoir rotatoire
en postulantquelemilieuoptiquementactiftransmet,avec desindicesoptiquesdifférents,des
ondespolariséescirculairementgauche etdroite.Lorsqu’uneondepolarisée circulairementgauche
(respectivementdroite)sepropage, lemilieuse comporte commeun milieu d’indice optiqueng
(respectivementnd).
Cettehypothèsed’existence dedeuxindicesoptiquespourdesondescirculairesexpliquele
termebiréfringence circulaire.
Onconsidère,danscettepartie, le champélectrique~ E(~r,t)d’uneondeplaneprogressive
harmonique(O.P.P.H.)depulsationωsepropageantselonl’axeOzdansun milieu d’indice
optiquen.On note:
~
E(~r,t)=R(~ E(~r,t)) =R(~
E0expîiÄ~ k·~r−ωtäó)
où:
•~ E0estun vecteurconstantdontlescomposantes sontéventuellementcomplexes.Onle
nommeamplitude complexe du champ~ E(~r,t);
•~ kestlevecteurd’onde:~ k=ω
cn~ez=2π λ0
n~ez(λ0désignelalongueurd’ondedanslevide
et~ezlevecteurunitairedel’axezdirigédanslesensdeszcroissants).
Danslabase cartésienne(~ex,~ey,~ez),on noteindifféremment~ E0=E0x~ex+E0y~ey+E0z~ezou
~
E0ÄE0x,E0y,E0zä.
II.1Quelle estlapolarisation du champélectrique:
–si~ E0(E0x,E0y,0)oùE0xetE0ysont réels?
–si~ E0ÄE0x,E0y,0äoùE0xetE0ysontdescomplexesquelconques?
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–si~ E0(E0,iE0,0)oùE0est réelpositif?
–si~ E0(E0,−iE0,0)oùE0est réelpositif?
II.2Décomposerl’O.P.P.H.(E0,0,0)avec E0réelensommededeuxO.P.P.H.polariséescircu-
lairementgauche etdroite.
L’O.P.P.H.d’amplitude(E0,0,0)pénètredansun milieuoptiquementactifsitué entrez=0
etz=ℓ.On note:
n0=ng+nd
2etδn=nd−ng 2
II.3Exprimerngetndenfonction den0etδnpuismontrerqueleplan depolarisation del’onde
atournéd’un angle:
α=ω
2c(nd−ng)ℓ[π]
II.4Onseplace,danscettequestion,dansle casoùngetndsontindépendantsdeladirection
depropagation(biréfringence ditenaturelle).Lorsqu’on place un miroirparfaitenz=ℓ,etque
l’ons’intéresseàl’onderéfléchie enz=0, l’anglederotation du plan depolarisationest-il doublé
(casdelafigure2.b)ouest-il compensé(casdelafigure2.a)?Justifiez votreréponse.
x~
E
~
k
α
α
z
z=ℓ
substance
optiquement
actve
z=0
y
x
2α
α
α
z
~
k
z=ℓ
substance
optiquement
active
z=0
y
~
E
Figure2.
III.BiréfringencecirculaireinduiteoueffetFARADAY
MichaëlFaraday adécouvert en1845 que,sousl’action d’un champmagnétostatique~ B0
appliquéparallèlementàladirection depropagation delalumière, les substancesoptiquement
inactivesacquièrentlapropriétédebiréfringence circulaire étudiée danslapartieprécédente.
Cettepropriété constituel’effetFaraday.
Onsepropose,danscettepartie,dedévelopperun modèlemicroscopiquerendantcomptede
cettebiréfringence circulaireinduiteparle champmagnétostatique.
III.1Modèledel’électronélastiquementlié
Ons’intéresseàun atomeou unemoléculedelasubstance placé dansun champmagnéto-
statiqueuniforme~ B0.L’onde électromagnétiqueinteragitavec leschargesdesatomesmaisles
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noyauxétantbeaucoup pluslourdsquelesélectrons,onles supposeimmobileseton ne considère
quelesmouvementsdesélectrons.Ceux-ciseront représentésparlenuagequ’ilsforment.
On négligetouteinteractionentrelesélectrons.
Chaquenuage électronique estsoumisà:
–uneforce derappelélastique−mω2
1
−−→
OMoùOdésignelaposition du noyau,Mcelledu
barycentredu nuage électronique,mlamassedel’électronetω1unepulsationcaractéris-
tique;
–laforce −e~ E(M,t)traduisantl’interactionentrelalumière etl’électron(−edésignela
chargedel’électron);
–laforce −e~v∧~ B0où~v=d−−→
OM
dt
R
.
Leréférentield’étudeR(O,x,y,z)centrésurlenoyauOestsupposégaliléen.
Lalumière estmodélisée paruneO.P.P.H.sepropageantselonl’axeOz.Le champélectrique
s’écrit:
~
E(M,t)=E0cos(kgz−ωt)~ex−E0sin(kgz−ωt)~eyoùkg=ng
ω
c
On négligera:
–l’interaction del’électronavec le champmagnétiquedel’O.P.P.H.
–lavariationspatialedu champélectriqueàl’échelledu déplacementdel’électronc’est-à-dire
quekgz=ϕoùϕestune constante.
III.1.1On note~ B0=B0~ezet−−→
OM=x~ex+y~ey+z~ez.
Déterminerlestroiséquationsliantx,y,zetleursdérivéespar rapport autemps.
III.1.2On nes’intéressedésormaisqu’aurégimeforcé.Vérifierquex(t)=acos(ϕ−ωt)et
y(t)=−asin(ϕ−ωt)sontsolutionsdu mouvementetexprimeraenfonction dee,m,ω1,ω,E0
etB0.
III.1.3On noteNladensitévolumiqued’électrons.Donnerl’expression du vecteurdensité
volumiquede courant~ j(M,t)enfonction desvecteursdebaseainsiquedea,N,e,ω,cos(ϕ−ωt)
etsin(ϕ−ωt).
III.1.4Montrerquele champélectrique~ E(M,t)estsolution del’équation:
∆~ E−1
c2
∂2~
E
∂t2=µ0
∂~ j
∂t
III.1.5Montrerque:
n2
g=1+ω2
p
ω2
1+ωcω−ω2
oùl’on donneral’expression deω2
penfonction deN,e,metε0etcelledeωcenfonction dee,m
etB0.
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III.1.6Déterminerdemême,enladémontrant, l’expression dendenfonction deω,ω1,ωcetωp.
III.2ConstantedeVERDET
LephysicienfrançaisÉmileVerdet(1824-1866)amisenévidence expérimentalementque
l’anglederotationα(définicommesurlafigure1)du plan depolarisation delalumière est
proportionnelàl’épaisseurℓdu matériautraversé etàlamesurealgébriqueB0:
α=VeℓB0
LefacteurdeproportionnalitéVeestnomméconstantedeVerdet.
III.2.1En utilisant,entreautres, lerésultatdelaquestionII.3etenadmettantquepourles
substancesconsidérées, lesordresdegrandeursont telsque
ω2
p
ω2
1±ωcω−ω2
≪1,|ωc|≪ω1et
ω≪ω1,donnerune expression delaconstantedeVerdetenfonction dee,ωp,λ=2πc
ω,λ1=
2πc
ω1
,metc.
III.2.2Lorsqu’on place un miroirparfaitenz=ℓ,etquel’ons’intéresseàl’onderéfléchie en
z=0,onconstate expérimentalementquel’anglederotation du plan depolarisationestdoublé
(commedansle casdelafigure2.b).Lemodèlemicroscopiqueprécédent rend-il comptede cette
observation?
III.2.3Application numérique
Pourlaplupart desliquidesilluminésparunelumièredelongueurd’ondeλ=632 nmetàla
températureusuelle, l’ordredegrandeurdelaconstantedeVerdetestde102deg·T−1·m−1.
Considéronsun liquideplacé dansun solénoïde comportantn=105spires/met traversé,sur
une épaisseurℓ=30 cm,paruneondeplanepolarisée rectilignement.Ensupposantquele
solénoïde crée le champmagnétostatiquequiseraitcréé parun solénoïde"infini",calculerl’ordre
degrandeurdu courantIdanslesolénoïdepourquelarotation du plan depolarisationsoitde
10 deg.
IV.Biréfringencecirculairenaturelle:du microscopiqueaumacroscopique
On développe,danscettepartie,un modèlesimplifiéquirend comptedu pouvoir rotatoire
naturel(enl’absence de champmagnétique extérieur) d’unesubstance traversée surunetrès
faible épaisseurparuneondelumineusepolarisée rectilignement.
IV.1Dipôlesinduitsdansunemoléculehélicoïdale
Lepouvoir rotatoiren’existequepourdesmoléculespossédantune certainedissymétrie.Sur
un modèledemoléculesayantunegéométriehélicoïdale,onseproposedemettre enévidence
l’apparition dedipôlesélectrique etmagnétiqueinduits.Lescomposésorganiquesdelafamille
deshélicènespossèdentunetelleforme:àtitred’informationonareprésentésurlapartiedroite
delafigure3, l’hexahélicène.
OntravailledansleréférentielR(O,~eX,~eY,~eZ)supposégaliléen.
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